Giải SGK Toán 12 Bài 17. Phương trình mặt cầu

Phần mềm như Google Maps sử dụng công thức Haversine và phương pháp hình học cầu để tính toán khoảng cách giữa hai điểm dựa trên tọa độ địa lý của chúng.

Xuất phát từ việc chuyển đổi tọa độ địa lý sang tọa độ không gian Oxyz, tính góc giữa hai điểm trên bề mặt hình cầu và sau đó chuyển đổi góc đó thành khoảng cách cung tròn.

Điểm M(x; y; z) thuộc mặt cầu (S) khi và chỉ khi IM = R

Û $\sqrt {{{\left( {x - a} \right)}^2} + {{\left( {y - b} \right)}^2} + {{\left( {z - c} \right)}^2}} = R$ hay (x – a)$^{2}$ + (y − b)$^{2}$ + (z – c)$^{2}$ = R$^{2}$.

a) Mặt cầu (S) có tâm $I\left( { - 2;0; - \frac{1}{2}} \right)$ và $R = \frac{3}{2}$.

b) Có $IM = \sqrt {{4^2} + {0^2} + {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {73} }}{2} > R$.

Do đó điểm M nằm ngoài mặt cầu.

a) Mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ, bán kính R = 1 có phương trình là:

x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ = 1.

b) Đoạn thẳng AB có trung điểm $J\left( {\frac{3}{2}; - 2;\frac{1}{2}} \right)$.

Mặt cầu (S) có bán kính $R = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - 2} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {14} }}{2}$.

Mặt cầu (S) có tâm $J\left( {\frac{3}{2}; - 2;\frac{1}{2}} \right)$ và $R = \frac{{\sqrt {14} }}{2}$ có phương trình là:

${\left( {x - \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{7}{2}$.

Ta viết phương trình mặt cầu (S) dưới dạng:

x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 4x + 6y – 12 = 0

Û x$^{2}$ – 4x + 4 + y$^{2}$ + 6y + 9 + z$^{2}$ = 25

Û (x – 2)$^{2}$ + (y + 3)$^{2}$ + z$^{2}$ = 25.

Vậy (S) là mặt cầu có tâm I(2; −3; 0) và R = 5.