Giải SGK Toán 11 CTST Bài 2. Giới hạn của hàm số có đáp án

Quan sát hình bên, cho biết hình chữ nhật OHMK thay đổi nhưng điểm M luôn nằm trên đồ thị hàm số $y=\frac{1}{{x}^{2}}$ (x > 0). Diện tích hình chữ nhật sẽ thay đổi như thế nào khi điểm H tiến gần đến gốc tọa độ? Khi H tiến xa sang phía bên phải thì sao?

Xét hàm số $y=f(x)=\frac{2{x}^{2}-2}{x-1}$.

a) Bảng sau đây cho biết giá trị của hàm số tại một số điểm gần điểm 1.

Có nhận xét gì về giá trị của hàm số khi x càng gần đến 1?

b) Ở Hình 1, M là điểm trên đồ thị hàm số y = f(x); H và P lần lượt là hình chiếu của M trên trục hoành và trục tung. Khi điểm H thay đổi gần về điểm (1; 0) trên trục hoành thì điểm P thay đổi như thế nào?

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\rightarrow 3}{\lim }(2{x}^{2}-x)$;

Tìm các giới hạn sau:

b) $\underset{x\rightarrow -1}{\lim }\frac{{x}^{2}+2x+1}{x+1}$.

Cho hai hàm số y = f(x) = 2x và y = g(x) = $\frac{x}{x+1}$.

a) Giả sử (x$_{n}$) là dãy số bất kì thỏa mãn x$_{n}$ ≠ – 1 với mọi n và x$_{n}$ → 1 khi n → +∞. Tìm giới hạn lim[f(x$_{n}$) + g(x$_{n}$)].

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\rightarrow -2}{\lim }({x}^{2}+5x-2)$;

b) $\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{{x}^{2}-1}{x-1}$.

Giá cước vận chuyển bưu kiện giữa hai thành phố do một đơn vị được cho bởi bảng sau:

Nếu chỉ xét trên khoảng từ 0 đến 5 (tính theo 100 gam) thì hàm số giá cước (tính theo nghìn đồng) xác định như sau:

$f(x)=\{\begin{matrix}6\ khi\ x\in (0;1] \\ 7\ khi\ x\in (1;\ 2{,}5] \\ 10\ khi\ x\in (2{,}5;\ 5]\end{matrix}$.

Đồ thị của hàm số như Hình 2.

a) Giả sử (x$_{n}$) là dãy số bất kì sao cho x$_{n}$ ∈ (1; 2,5) và lim x$_{n}$ = 1. Tìm lim f(x$_{n}$).

b) Giả sử $({x}_{n}^{'})$ là dãy số bất kì sao cho $({x}_{n}^{'})\in (0;1)$và $\lim f({x}_{n}^{'})$. Tìm $\lim f({x}_{n}^{'})$.

c) Nhận xét về kết quả ở a) và b).

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{matrix}1-2x\ khi\ x\le -1 \\ {x}^{2}+2\ khi\ x>-1\end{matrix}$.

Tìm các giới hạn $\underset{x\rightarrow -{1}^{+}}{\lim }f(x),\underset{x\rightarrow -{1}^{-}}{\lim }f(x)$ và $\underset{x\rightarrow -1}{\lim }f(x)$ (nếu có).

Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{x}$ có đồ thị như Hình 3.

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, nêu nhận xét về giá trị f(x) khi x càng lớn (dần tới +∞)?

b) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

Từ đồ thị và bảng trên, nêu nhận xét về giá trị f(x) khi x càng bé (dần tới – ∞)?

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{1-3{x}^{2}}{{x}^{2}+2x}$;

b) $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }\frac{2}{x+1}$.

Một cái hồ đang chứa 200m$^{3}$ nước mặn với nồng độ muối 10kg/m$^{3}$. Người ta ngọt hóa nước hồ bằng cách bơm nước ngọt vào hồ với tốc độ 2m$^{3}$/phút.

a) Viết biểu thức C(t) biểu thị nồng độ muối trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm.

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\rightarrow {3}^{-}}{\lim }\frac{2x}{x-3}$;

Tìm các giới hạn sau:

b) $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }(3x-1)$.

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\rightarrow -2}{\lim }({x}^{2}-7x+4)$;

b) $\underset{x\rightarrow 3}{\lim }\frac{x-3}{{x}^{2}-9}$;

Tìm các giới hạn sau:

c) $\underset{x\rightarrow 1}{\lim }\frac{3-\sqrt{x+8}}{x-1}$.

Cho hàm số $f(x)=\{\begin{matrix}-{x}^{2}\ khi\ x<1 \\ x\ khi\ x\ge 1\end{matrix}$.

Tìm các giới hạn sau: $\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x);\ \underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }f(x);\ \underset{x\rightarrow 1}{\lim }f(x)$ (nếu có).

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{4x+3}{2x}$;

b) $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }\frac{2}{3x+1}$;

c) $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{{x}^{2}+1}}{x+1}$.

Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\rightarrow -{1}^{+}}{\lim }\frac{1}{x+1}$;

b) $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }(1-{x}^{2})$;

Tìm các giới hạn sau:

c) $\underset{x\rightarrow {3}^{+}}{\lim }\frac{x}{3-x}$.

Trong hồ có chứa 6 000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muốn là 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút.

a) Chứng tỏ rằng nồng độ muối của nước trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là $C(t)=\frac{30t}{400+t}$ (gam/lít).

Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f > 0 không đổi. Gọi d và d’ lần lượt là khoảng cách từ vật thật và ảnh của nó tới quang tâm O của thấu kính (Hình 5). Ta có công thức $\frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{1}{f}$ hay $d'=\frac{df}{d-f}$.

Xét hàm số $g(d)=\frac{df}{d-f}$. Tìm các giới hạn sau đây và giải thích ý nghĩa.

a) $\underset{d\rightarrow {f}^{+}}{\lim }g(d)$;

Tìm các giới hạn sau đây và giải thích ý nghĩa.

b) $\underset{d\rightarrow +\infty }{\lim }g(d)$.