Ngân hàng đề / … / Lớp 11 / Toán / Toán 11 – Kết nối tri thức / Chương V. Giới hạn. Hàm số liên tục / Bài tập cuối chương V
Nội dung đề
Phần I. Tự luận
Cho hai dãy số (un _{n} n n _{n} n lim n → + ∞ u n = 1 \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }{u}_{n}=1 n → + ∞ lim u n = 1 lim n → + ∞ v n = b ∈ R \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }{v}_{n}=b\in ℝ n → + ∞ lim v n = b ∈ R
lim n → + ∞ ( u n + v n ) = 1 + b \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }({u}_{n}+{v}_{n})=1+b n → + ∞ lim ( u n + v n ) = 1 + b
lim n → + ∞ v n u n = b \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{{v}_{n}}{{u}_{n}}=b n → + ∞ lim u n v n = b
lim n → + ∞ ( u n + v n ) = b \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }({u}_{n}+{v}_{n})=b n → + ∞ lim ( u n + v n ) = b
lim n → + ∞ u n v n = 1 b \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{{u}_{n}}{{v}_{n}}=\frac{1}{b} n → + ∞ lim v n u n = b 1
Số khẳng định đúng là
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Với lim n → + ∞ u n = 1 \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }{u}_{n}=1 n → + ∞ lim u n = 1 lim n → + ∞ v n = b ∈ R \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }{v}_{n}=b\in ℝ n → + ∞ lim v n = b ∈ R
+) lim n → + ∞ ( u n + v n ) = lim n → + ∞ u n + lim n → + ∞ v n = 1 + b \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }({u}_{n}+{v}_{n})=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }{u}_{n}+\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }{v}_{n}=1+b n → + ∞ lim ( u n + v n ) = n → + ∞ lim u n + n → + ∞ lim v n = 1 + b
+)lim n → + ∞ v n u n = lim n → + ∞ v n lim n → + ∞ u n = b 1 = b \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{{v}_{n}}{{u}_{n}}=\frac{\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }{v}_{n}}{\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }{u}_{n}}=\frac{b}{1}=b n → + ∞ lim u n v n = n → + ∞ l i m u n n → + ∞ l i m v n = 1 b = b
+) Khẳng định (4) đúng khi b ≠ 0.
Vậy có 2 khẳng định đúng.
Cho
L = lim n → + ∞ ( n 3 − 2 n + 1 ) L=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }({n}^{3}-2n+1) L = n → + ∞ lim ( n 3 − 2 n + 1 ) . Giá trị của L là
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Ta có
L = lim n → + ∞ ( n 3 − 2 n + 1 ) = lim n → + ∞ n 3 ( 1 − 2 n + 1 n 3 ) = + ∞ L=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }({n}^{3}-2n+1)=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }{n}^{3}(1-\frac{2}{n}+\frac{1}{{n}^{3}})=+\infty L = n → + ∞ lim ( n 3 − 2 n + 1 ) = n → + ∞ lim n 3 ( 1 − n 2 + n 3 1 ) = + ∞ .
Biết
lim n → + ∞ 2 n 2 + n − 1 a n 2 + 1 = 1 \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{2{n}^{2}+n-1}{a{n}^{2}+1}=1 n → + ∞ lim a n 2 + 1 2 n 2 + n − 1 = 1 với a là tham số. Giá trị của a
2 ^{2} 2 – 2a là
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Ta có lim n → + ∞ 2 n 2 + n − 1 a n 2 + 1 = lim n → + ∞ 2 + 1 n − 1 n 2 a + 1 n 2 = 2 a \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{2{n}^{2}+n-1}{a{n}^{2}+1}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{n}-\frac{1}{{n}^{2}}}{a+\frac{1}{{n}^{2}}}=\frac{2}{a} n → + ∞ lim a n 2 + 1 2 n 2 + n − 1 = n → + ∞ lim a + n 2 1 2 + n 1 − n 2 1 = a 2
Mà lim n → + ∞ 2 n 2 + n − 1 a n 2 + 1 = 1 \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{2{n}^{2}+n-1}{a{n}^{2}+1}=1 n → + ∞ lim a n 2 + 1 2 n 2 + n − 1 = 1 2 a = 1 \frac{2}{a}=1 a 2 = 1
Do đó, a2 ^{2} 2 2 ^{2} 2
Cho
u n = n ( n + 2 − n + 1 ) {u}_{n}=\sqrt{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}) u n = n ( n + 2 − n + 1 ) . Khi đó
lim n → + ∞ u n \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }{u}_{n} n → + ∞ lim u n bằng
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Ta có lim n → + ∞ u n = lim n → + ∞ n ( n + 2 − n + 1 ) \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }{u}_{n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\sqrt{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}) n → + ∞ lim u n = n → + ∞ lim n ( n + 2 − n + 1 )
= lim n → + ∞ n ( n + 2 − n − 1 ) n + 2 + n − 1 =\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{n}(n+2-n-1)}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n-1}} = n → + ∞ lim n + 2 + n − 1 n ( n + 2 − n − 1 )
= lim n → + ∞ n n + 2 + n + 1 =\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}} = n → + ∞ lim n + 2 + n + 1 n
= lim n → + ∞ 1 1 + 2 n + 1 + 1 n = 1 2 =\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=\frac{1}{2} = n → + ∞ lim 1 + n 2 + 1 + n 1 1 = 2 1
Phần II. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn
Tính tổng
S = − 2 3 + 2 9 − 2 27 + . . . + ( − 1 ) n 2 3 n + . . . S=-\frac{2}{3}+\frac{2}{9}-\frac{2}{27}+...+{(-1)}^{n}\frac{2}{{3}^{n}}+... S = − 3 2 + 9 2 − 27 2 + ... + ( − 1 ) n 3 n 2 + ...
A
Đáp án A: S = 1 2 S=\frac{1}{2} S = 2 1
B
Đáp án B: S = − 1 2 S=-\frac{1}{2} S = − 2 1
C
Đáp án C: S = – 3.
D
Đáp án D: S = 3.
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án: B
Đáp án đúng là: B
Nhận thấy tổng S = − 2 3 + 2 9 − 2 27 + . . . + ( − 1 ) n 2 3 n + . . . S=-\frac{2}{3}+\frac{2}{9}-\frac{2}{27}+...+{(-1)}^{n}\frac{2}{{3}^{n}}+... S = − 3 2 + 9 2 − 27 2 + ... + ( − 1 ) n 3 n 2 + ... u 1 = − 2 3 {u}_{1}=-\frac{2}{3} u 1 = − 3 2 q = − 1 3 q=-\frac{1}{3} q = − 3 1
Do đó, S = u 1 1 − q = − 2 3 1 − ( − 1 3 ) = − 1 2 S=\frac{{u}_{1}}{1-q}=\frac{-\frac{2}{3}}{1-(-\frac{1}{3})}=-\frac{1}{2} S = 1 − q u 1 = 1 − ( − 3 1 ) − 3 2 = − 2 1
Phần III. Tự luận
Cho hàm số f(x) thỏa mãn
lim x → 1 + f ( x ) = 3 \underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x)=3 x → 1 + lim f ( x ) = 3 và
lim x → 1 − f ( x ) = − 3 \underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }f(x)=-3 x → 1 − lim f ( x ) = − 3 . Khẳng định đúng là
Phần IV. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn
Cho hàm số f(x) thỏa mãn
lim x → 1 + f ( x ) = 2 \underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x)=2 x → 1 + lim f ( x ) = 2 và
lim x → 1 − f ( x ) = m + 1 \underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }f(x)=m+1 x → 1 − lim f ( x ) = m + 1 . Biết giới hạn của f(x) khi x → 1 tồn tại. Giá trị của m là
A
Đáp án A: m = 1.
B
Đáp án B: m = – 1.
C
Đáp án C: m = 3.
D
Đáp án D: Không tồn tại m.
Biết hàm số
f ( x ) = { x 2 + a n e ^ ′ u x ≤ 1 2 x + b n e ^ ′ u x > 1 f(x)=\{\begin{matrix}{x}^{2}+a\ n{ê}^{'}u\ x\le 1 \\ 2x+b\ n{ê}^{'}u\ x>1\end{matrix} f ( x ) = { x 2 + a n e ^ ′ u x ≤ 1 2 x + b n e ^ ′ u x > 1 có giới hạn khi x → 1. Giá trị của a – b bằng
A
Đáp án A: – 1.
B
Đáp án B: 0.
C
Đáp án C: 1.
D
Đáp án D: 3.
Phần V. Tự luận
Giới hạn
lim x → 1 + x − 1 x − 1 \underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }\frac{x-1}{\sqrt{x-1}} x → 1 + lim x − 1 x − 1 là
Cho
f ( x ) = x 2 − x ∣ x ∣ f(x)=\frac{{x}^{2}-x}{|x|} f ( x ) = ∣ x ∣ x 2 − x . Khi đó, giới hạn
lim x → 0 f ( x ) \underset{x\rightarrow 0}{\lim }f(x) x → 0 lim f ( x ) là
Giới hạn
lim x → − ∞ x 2 + 2 − x x \underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{{x}^{2}+2}-x}{x} x → − ∞ lim x x 2 + 2 − x là
Phần VI. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn
Cho hàm số
f ( x ) = { 2 n e ^ ′ u − 1 < x ≤ 1 1 − x n e ^ ′ u x ≤ − 1 h o a c x > 1 f(x)=\{\begin{matrix}2\ n{ê}^{'}u\ -1<x\le 1 \\ 1-x\ n{ê}^{'}u\ x\le -1\ hoac\ x\ >1\end{matrix} f ( x ) = { 2 n e ^ ′ u − 1 < x ≤ 1 1 − x n e ^ ′ u x ≤ − 1 h o a c x > 1 . Mệnh đề đúng là
A
Đáp án A: Hàm số f(x) liên tục trên [– 1; 1].
B
Đáp án B: Hàm số f(x) liên tục trên (– 1; 1].
C
Đáp án C: Hàm số f(x) liên tục trên [– 1; 1).
D
Đáp án D: Hàm số f(x) liên tục trên ℝ.
Phần VII. Tự luận
Xét hàm số
f ( x ) = { x 2 + 3 x + 2 x + 1 n e ^ ′ u x ≠ − 1 m n e ^ ′ u x = − 1 f(x)=\{\begin{matrix}\frac{{x}^{2}+3x+2}{x+1}\ n{ê}^{'}u\ x\ne -1 \\ m\ n{ê}^{'}u\ x=-1\end{matrix} f ( x ) = { x + 1 x 2 + 3 x + 2 n e ^ ′ u x = − 1 m n e ^ ′ u x = − 1 với m là tham số. Hàm số f(x) liên tục trên ℝ khi
Cho hàm số
f ( x ) = x ( x − 1 ) x − 1 f(x)=\frac{x(x-1)}{\sqrt{x-1}} f ( x ) = x − 1 x ( x − 1 ) . Hàm số này liên tục trên
Phần VIII. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn
Cho phương trình x
7 ^{7} 7 + x
5 ^{5} 5 = 1. Mệnh đề đúng là
A
Đáp án A: Phương trình có nghiệm âm.
B
Đáp án B: Phương trình có nghiệm trong khoảng (0; 1).
C
Đáp án C: Phương trình có nghiệm trong khoảng (1; 2).
D
Đáp án D: Phương trình vô nghiệm.
Phần IX. Tự luận
Cho dãy số (u
n _{n} n ) thỏa mãn |u
n _{n} n | ≤ 1. Tính
lim n → + ∞ u n n + 1 \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{{u}_{n}}{n+1} n → + ∞ lim n + 1 u n .
Tìm giới hạn của dãy số (u
n _{n} n ) với
u n = n 1 + 2 + . . . + n 2 n 2 + 3 {u}_{n}=\frac{n\sqrt{1+2+...+n}}{2{n}^{2}+3} u n = 2 n 2 + 3 n 1 + 2 + ... + n .
Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:
a) − 0,(31);
Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:
b) 2,(121).
Cho hình vuông H1 _{1} 1 2 _{2} 2 2 _{2} 2 3 _{3} 3
Tiếp tục quá trình trên ta nhận được dãy hình vuông H1 _{1} 1 2 _{2} 2 3 _{3} 3 n _{n} n n _{n} n n _{n} n
a) Tính sn _{n} n
b) Tính tổng T = s
1 _{1} 1 + s
2 _{2} 2 + ... + s
n _{n} n + ...
Tìm a là số thực thỏa mãn
lim x → + ∞ ( 2 x 2 + 1 x 2 + 2 x + 3 + a 2 + 3 a ) = 0 \underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }(\frac{2{x}^{2}+1}{{x}^{2}+2x+3}+{a}^{2}+3a)=0 x → + ∞ lim ( x 2 + 2 x + 3 2 x 2 + 1 + a 2 + 3 a ) = 0 .
Tính các giới hạn sau:
a) lim x → − ∞ x ( x + 1 ) ( 2 x − 1 ) 5 x 3 + x + 7 \underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }\frac{x(x+1)(2x-1)}{5{x}^{3}+x+7} x → − ∞ lim 5 x 3 + x + 7 x ( x + 1 ) ( 2 x − 1 )
Tính các giới hạn sau:
b) lim x → − ∞ ( x 3 − 1 ) ( 2 − x 5 ) \underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }({x}^{3}-1)(2-{x}^{5}) x → − ∞ lim ( x 3 − 1 ) ( 2 − x 5 )
Tính các giới hạn sau:
c) lim x → + ∞ ( x 3 + x 2 + 1 3 − x ) \underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }(\sqrt[3]{{x}^{3}+{x}^{2}+1}-x) x → + ∞ lim ( 3 x 3 + x 2 + 1 − x )
Tính
lim x → − ∞ ( 1 − x ) ( 1 − 2 x ) . . . ( 1 − 2018 x ) \underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }(1-x)(1-2x)...(1-2018x) x → − ∞ lim ( 1 − x ) ( 1 − 2 x ) ... ( 1 − 2018 x )
Biết lim x → 0 sin x x = 1 \underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1 x → 0 lim x s i n x = 1
a) lim x → 0 sin x x 3 \underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{\sin x}{{x}^{3}} x → 0 lim x 3 s i n x
Biết lim x → 0 sin x x = 1 \underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1 x → 0 lim x s i n x = 1
b) lim x → 0 + sin x x 2 \underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }\frac{\sin x}{{x}^{2}} x → 0 + lim x 2 s i n x
Biết lim x → 0 sin x x = 1 \underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1 x → 0 lim x s i n x = 1
c) lim x → 0 − sin x x 2 \underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }\frac{\sin x}{{x}^{2}} x → 0 − lim x 2 s i n x
Tính
lim x → 0 x sin 1 x \underset{x\rightarrow 0}{\lim }x\sin \frac{1}{x} x → 0 lim x sin x 1 .
Cho hàm số
f ( x ) = x − 1 − 1 − x x f(x)=\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{1-x}}{x} f ( x ) = x x − 1 − 1 − x . Phải bổ sung thêm giá trị f(0) bằng bao nhiêu để hàm số f(x) liên tục tại x = 0?
Cho hàm số f ( x ) = { 1 x n e ^ ′ u x ≠ 0 2 n e ^ ′ u x = 0 f(x)=\{\begin{matrix}\frac{1}{x}\ n{ê}^{'}u\ x\ne 0 \\ 2\ n{ê}^{'}u\ x=0\end{matrix} f ( x ) = { x 1 n e ^ ′ u x = 0 2 n e ^ ′ u x = 0
a) Chứng minh rằng f(– 1) ∙ f(1) < 0.
b) Chứng minh rằng phương trình f(x) = 0 không có nghiệm thuộc khoảng (– 1; 1).
c) Có kết luận gì về tính liên tục của hàm số f(x) trên đoạn [– 1; 1]?
Một điểm dịch vụ trông giữ xe ô tô thu phí 30 nghìn đồng trong giờ đầu tiên và thu thêm 20 nghìn đồng cho mỗi giờ tiếp theo.
a) Viết hàm số f(x) mô tả số tiền phí theo thời gian trông giữ.
b) Xét tính liên tục của hàm số này.
Tất cả đề Bài tập cuối chương V · Các bộ sách Toán Lớp 11
