Giải SBT Toán lớp 11 – KNTT – Tập 1 Bài tập cuối chương V có đáp án

Với $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }{u}_{n}=1$và $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }{v}_{n}=b\in ℝ$ , ta có:

+) $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }({u}_{n}+{v}_{n})=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }{u}_{n}+\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }{v}_{n}=1+b$nên khẳng định (1) đúng, khẳng định (3) sai.

+)$\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{{v}_{n}}{{u}_{n}}=\frac{\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }{v}_{n}}{\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }{u}_{n}}=\frac{b}{1}=b$ nên khẳng định (2) đúng.

+) Khẳng định (4) đúng khi b ≠ 0.

Vậy có 2 khẳng định đúng.

Ta có $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{2{n}^{2}+n-1}{a{n}^{2}+1}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{n}-\frac{1}{{n}^{2}}}{a+\frac{1}{{n}^{2}}}=\frac{2}{a}$.

Mà $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{2{n}^{2}+n-1}{a{n}^{2}+1}=1$ nên $\frac{2}{a}=1$ , suy ra a = 2.

Do đó, a$^{2}$ – 2a = 2$^{2}$ – 2 . 2 = 0.

Ta có $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }{u}_{n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\sqrt{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1})$

$=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{n}(n+2-n-1)}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n-1}}$

$=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}$

$=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=\frac{1}{2}$

Đáp án đúng là: B

Nhận thấy tổng $S=-\frac{2}{3}+\frac{2}{9}-\frac{2}{27}+...+{(-1)}^{n}\frac{2}{{3}^{n}}+...$là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu ${u}_{1}=-\frac{2}{3}$ và công bội $q=-\frac{1}{3}$ .

Do đó, $S=\frac{{u}_{1}}{1-q}=\frac{-\frac{2}{3}}{1-(-\frac{1}{3})}=-\frac{1}{2}$ .

Do $\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x)=3$ và $\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }f(x)=-3$ nên $\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }f(x)$ .

Vậy không tồn tại $\underset{x\rightarrow 1}{\lim }f(x)$ .

Đáp án đúng là: A

Ta có giới hạn của f(x) khi x → 1 tồn tại khi và chỉ khi .

Điều đó có nghĩa là 2 = m + 1, suy ra m = 1.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }(2x+b)=2.1+b=2+b$;

$\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }(x+a)=1+a$.

Vì hàm số $f(x)=\{\begin{matrix}{x}^{2}+a\ n{ê}^{'}u\ x\le 1 \\ 2x+b\ n{ê}^{'}u\ x>1\end{matrix}$ có giới hạn khi x → 1 nên $\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }f(x)$ , tức là 2 + b = 1 + a, từ đó suy ra a – b = 1.

Vì x → 1$^{+}$ nên x > 1, suy ra x – 1 > 0, do đó $\sqrt{x-1}$có nghĩa.

Ta có $\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }\frac{x-1}{\sqrt{x-1}}=\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }\frac{{(\sqrt{x-1})}^{2}}{\sqrt{x-1}}=\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }\sqrt{x-1}=\sqrt{1-1}=0$ .

Ta có $\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }\frac{{x}^{2}-x}{|x|}=\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }\frac{{x}^{2}-x}{-x}=\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }(-x+1)=-0+1=1$ ;

$\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }\frac{{x}^{2}-x}{|x|}=\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }\frac{{x}^{2}-x}{x}=\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }(x-1)=0-1=-1$.

Suy ra $\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }f(x)$ .

Vậy không tồn tại giới hạn $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }f(x)$ .

Ta có $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{{x}^{2}+2}-x}{x}=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }\frac{|x|\sqrt{1+\frac{2}{{x}^{2}}}-x}{x}$

$=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }\frac{-x\sqrt{1+\frac{2}{{x}^{2}}}-x}{x}=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }(-\sqrt{1+\frac{2}{{x}^{2}}}-1)=-2$.

Đáp án đúng là: C

+ Với x < – 1 thì f(x) = 1 – x là hàm đa thức nên nó liên tục trên (– ∞; – 1).

+ Với – 1 < x < 1 thì f(x) = 2 luôn liên tục trên (– 1; 1).

+ Với x > 1 thì f(x) = 1 – x luôn liên tục trên (1; + ∞).

Do đó, hàm số đã cho liên tục trên các khoảng (– ∞; – 1); (– 1; 1) và (1; + ∞).

+ Xét tại điểm x = – 1, ta có f(– 1) = 1 – (– 1) = 2;

$\underset{x\rightarrow -{1}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow -{1}^{-}}{\lim }(1-x)=1-(-1)=2$; $\underset{x\rightarrow -{1}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow -{1}^{+}}{\lim }2=2$.

Do đó, $\underset{x\rightarrow -{1}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow -{1}^{+}}{\lim }f(x)=f(-1)$ nên hàm số đã cho liên tục tại x = – 1.

+ Xét tại điểm x = 1, ta có f(1) = 2;

$\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }2=2$; $\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }(1-x)=1-1=0$ .

Do đó, $\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x)$ nên hàm số đã cho không liên tục tại x = 1.

Vậy hàm số f(x) liên tục trên [– 1; 1) là mệnh đề đúng.

Với x ≠ – 1 thì $f(x)=\frac{{x}^{2}+3x+2}{x+1}$ là hàm phân thức nên nó liên tục trên ℝ \{– 1}.

Vậy hàm số f(x) liên tục trên ℝ khi nó liên tục tại x = – 1.

Ta có $\underset{x\rightarrow -1}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow -1}{\lim }\frac{{x}^{2}+3x+2}{x+1}=\underset{x\rightarrow -1}{\lim }\frac{(x+2)(x+1)}{x+1}=\underset{x\rightarrow -1}{\lim }(x+2)=-1+2=1$ .

Hàm số đã cho liên tục tại x = – 1 khi và chỉ khi $\underset{x\rightarrow -1}{\lim }f(x)=f(-1)\Leftrightarrow m=1$ .

Biểu thức $\frac{x(x-1)}{\sqrt{x-1}}$ xác định khi x – 1 > 0, tức là x > 1.

Do đó, hàm số $f(x)=\frac{x(x-1)}{\sqrt{x-1}}$ có tập xác định là (1; + ∞).

Vậy hàm số này liên tục trên (1; + ∞).

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số f(x) = x$^{7}$ + x$^{5}$ – 1.

Đây là hàm đa thức nên nó liên tục trên ℝ.

Do đó, hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 1] và [1; 2].

Ta có f(0) = 0$^{7}$ + 0$^{5}$ – 1 = – 1 < 0; f(1) = 1$^{7}$ + 1$^{5}$ – 1 = 1 > 0 và f(2) = 2$^{7}$ + 2$^{5}$ – 1 > 0.

Suy ra f(0) . f(1) < 0.

Do vậy tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (0; 1) sao cho f(c) = 0.

Từ đó suy ra f(x) = 0 hay phương trình x$^{7}$ + x$^{5}$ = 1 có nghiệm trong khoảng (0; 1).

Đặt ${v}_{n}=\frac{{u}_{n}}{n+1}$ , ta có $|{v}_{n}|=|\frac{{u}_{n}}{n+1}|\le \frac{1}{n+1}$ .

Mà $\frac{1}{n+1}\rightarrow 0$ khi n → + ∞.

Khi đó $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }{v}_{n}=0$ . Vậy $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{{u}_{n}}{n+1}=0$ .

Vì 1, 2, ..., n là một cấp số cộng gồm n số hạng với u$_{1}$ = 1 và công sai d = 1.

Do đó 1 + 2 + ... + n = $\frac{n(n+1)}{2}$ .

Ta có ${u}_{n}=\frac{n\sqrt{1+2+...+n}}{2{n}^{2}+3}=\frac{n\sqrt{\frac{n(n+1)}{2}}}{2{n}^{2}+3}=\frac{n\sqrt{n(n+1)}}{\sqrt{2}(2{n}^{2}+3)}$ .

Vậy $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }{u}_{n}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{n\sqrt{n(n+1)}}{\sqrt{2}(2{n}^{2}+3)}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{1+\frac{1}{n}}}{\sqrt{2}(2+\frac{3}{{n}^{2}})}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$ .

a) Ta có − 0,(31) = – (0,31 + 0,0031 + ... + 0,00...31 + ...)

$=-(\frac{31}{100}+\frac{31}{{100}^{2}}+...+\frac{31}{{100}^{n}}+...)$

$=-\frac{\frac{31}{100}}{1-\frac{1}{100}}=-\frac{31}{99}$

b) Ta có 2,(121) = 2 + 0,121 + 0,000121 + ... + 0,000...121 + ...

$=2+\frac{121}{1000}+\frac{121}{{1000}^{2}}+...+\frac{121}{{1000}^{n}}+...$

$=2+\frac{\frac{121}{1000}}{1-\frac{1}{1000}}=2+\frac{121}{999}=\frac{2119}{999}$ .

a) Áp dụng định lí Pythagore, ta có cạnh của hình vuông H$_{2}$ là

${a}_{2}=\sqrt{{(\frac{a}{4})}^{2}+{(\frac{3a}{4})}^{2}}=a\sqrt{\frac{5}{8}}$.

Khi đó diện tích của hình vuông H$_{2}$ là ${s}_{2}={(a\sqrt{\frac{5}{8}})}^{2}=\frac{5}{8}{a}^{2}$ .

Mà diện tích của hình vuông H$_{1}$ là s$_{1}$ = a$^{2}$.

Do đó, ${s}_{2}=\frac{5}{8}{a}^{2}=\frac{5}{8}{s}_{1}$ .

Lí luận tương tự, ta có ${s}_{3}=\frac{5}{8}{s}_{2},\ ....,\ {s}_{n}=\frac{5}{8}{s}_{n-1}={(\frac{5}{8})}^{n-1}{a}^{2}$.

b) Ta có T = s$_{1}$ + s$_{2}$ + ... + s$_{n}$ + ... $={a}^{2}[1+\frac{5}{8}+{(\frac{5}{8})}^{2}+...+{(\frac{5}{8})}^{n-1}+...]$ .

Vì $1,\ \frac{5}{8},\ {(\frac{5}{8})}^{2},...,{(\frac{5}{8})}^{n-1},...$ là cấp số nhân lùi vô hạn với u$_{1}$ = 1 và công bội q =$\frac{5}{8}$ nên

$1+\ \frac{5}{8}+{(\frac{5}{8})}^{2}+...+{(\frac{5}{8})}^{n-1}+...=\frac{1}{1-\frac{5}{8}}=\frac{8}{3}$.

Vậy $T=\frac{8{a}^{2}}{3}$ .

Ta có $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }(\frac{2{x}^{2}+1}{{x}^{2}+2x+3}+{a}^{2}+3a)=\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }(\frac{2+\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{2}{x}+\frac{3}{{x}^{2}}}+{a}^{2}+3a)$= 2 + a$^{2}$ + 3a.

Để $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }(\frac{2{x}^{2}+1}{{x}^{2}+2x+3}+{a}^{2}+3a)=0$ thì 2 + a$^{2}$ + 3a = 0.

Giải phương trình bậc hai a$^{2}$ + 3a + 2 = 0 ta được a = – 1 và a = – 2.

Vậy a ∈ {– 1; – 2} thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a)$\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }\frac{x(x+1)(2x-1)}{5{x}^{3}+x+7}=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }\frac{{x}^{3}(1+\frac{1}{x})(2-\frac{1}{x})}{{x}^{3}(5+\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{7}{{x}^{3}})}$

$=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }\frac{(1+\frac{1}{x})(2-\frac{1}{x})}{5+\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{7}{{x}^{3}}}=\frac{2}{5}$

.

b) $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }({x}^{3}-1)(2-{x}^{5})=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }{x}^{3}(1-\frac{1}{{x}^{3}}){x}^{5}(\frac{2}{{x}^{5}}-1)\ =\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }{x}^{8}(1-\frac{1}{{x}^{3}})(\frac{2}{{x}^{5}}-1)=-\infty$

.

c) $\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }(\sqrt[3]{{x}^{3}+{x}^{2}+1}-x)\ =\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{{x}^{3}+{x}^{2}+1-{x}^{3}}{\sqrt[3]{{({x}^{3}+{x}^{2}+1)}^{2}}+x\sqrt[3]{{x}^{3}+{x}^{2}+1}+{x}^{2}}\ =\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{{x}^{2}+1}{\sqrt[3]{{({x}^{3}+{x}^{2}+1)}^{2}}+x\sqrt[3]{{x}^{3}+{x}^{2}+1}+{x}^{2}}\ =\underset{x\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{{x}^{2}}}{\sqrt[3]{{(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{3}})}^{2}}+\sqrt[3]{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{{x}^{3}}}+1}=\frac{1}{3}$

.

Ta có $\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }(1-x)(1-2x)...(1-2018x)$

$=\underset{x\rightarrow -\infty }{\lim }{x}^{2018}(\frac{1}{x}-1)(\frac{1}{x}-2)...(\frac{1}{x}-2018)=+\infty$.

a) $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{\sin x}{{x}^{3}}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }(\frac{\sin x}{x}.\frac{1}{{x}^{2}})=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{\frac{\sin x}{x}}{{x}^{2}}$ .

Vì $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ > 0; và x$^{2}$ > 0 nên $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{\sin x}{{x}^{3}}=+\infty$ .

b) $\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }\frac{\sin x}{{x}^{2}}=\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }\frac{\frac{\sin x}{x}}{x}$ .

Vì $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ nên $\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1>0$ ; $\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }x=0$ và x > 0 nên $\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }\frac{\sin x}{{x}^{2}}=+\infty$ .

c) $\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }\frac{\sin x}{{x}^{2}}=\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }\frac{\frac{\sin x}{x}}{x}$.

Vì $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ nên $\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1>0$ ; $\underset{x\rightarrow 0-}{\lim }x=0$và x < 0 nên $\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }\frac{\sin x}{{x}^{2}}=-\infty$ .

Đặt $f(x)=x\sin \frac{1}{x}$ . Lấy dãy số (x$_{n}$) bất kì thỏa mãn x$_{n}$ → 0. Khi đó

$|f({x}_{n})|=|{x}_{n}|.|\sin \frac{1}{{x}_{n}}|\le |{x}_{n}|\rightarrow 0$.

Do đó $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }f({x}_{n})=0$ .

Vậy $\underset{x\rightarrow 0}{\lim }x\sin \frac{1}{x}=0$ .

Biểu thức $\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{1-x}}{x}$có nghĩa khi$\{\begin{matrix}x-1\ge 0 \\ 1-x\ge 0 \\ x\ne 0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x\ge 1 \\ x\le 1 \\ x\ne 0\end{matrix}\Leftrightarrow x=1$ .

Do đó, tập xác định của hàm số $f(x)=\frac{\sqrt{x-1}-\sqrt{1-x}}{x}$ là D = {1}.

Mà x = 0 không thuộc tập xác định của hàm số nên hàm số đã cho không liên tục tại x = 0.

Vậy không có giá trị của f(0) thỏa mãn.

a) Ta có $f(-1)=\frac{1}{-1}=-1$ ; $f(1)=\frac{1}{1}=1$ .

Do đó, f(– 1) ∙ f(1) = (– 1) . (1) = – 1 < 0.

c) Ta có $\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=+\infty$ và $\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }\frac{1}{x}=-\infty$.

Suy ra $\underset{x\rightarrow {0}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {0}^{-}}{\lim }f(x)$. Nên hàm số đã cho không liên tục tại x = 0.

Vậy hàm số f(x) không liên tục trên đoạn [– 1; 1].

a) Theo bài ra ta có hàm số f(x) mô tả số tiền phí theo thời gian trông giữ là

$f(x)=\{\begin{matrix}30\ khi\ 0<x\le 1 \\ 30+20(x-1)\ khi\ x>1\end{matrix}=\{\begin{matrix}30\ khi\ 0<x\le 1 \\ 10+20x\ khi\ x>1\end{matrix}$.

b)

+ Với 0 < x < 1 thì f(x) = 30 luôn liên tục trên (0; 1).

+ Với x > 1 thì f(x) = 10 + 20x là hàm đa thức nên nó luôn liên tục trên (1; +∞).

Ta xét tại điểm x = 1, ta có:

f(1) = 30; $\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }30=30$ và $\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }(10+20x)=10+20.1=30$.

Suy ra $f(1)=\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x)$ nên hàm số f(x) liên tục tại x = 1.

Vậy hàm số f(x) liên tục trên khoảng (0; + ∞).