Giải SBT Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 3. Định lí Viète có đáp án

a) Xét phương trình 5x$^{2}$ – 9x + 1 = 0.

Ta có ∆ = (‒9)$^{2}$ ‒ 4.5.1 = 81 ‒ 20 = 61 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$.

Theo định lí Viète, ta có: ${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 9}}{5} = \frac{9}{5};\,\,{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{1}{5}.$

b) Xét phương trình 9x$^{2}$ – 12x + 4 = 0.

Ta có ∆’ = (‒6)$^{2}$‒ 9.4 = 36 ‒ 36 = 0 nên phương trình có nghiệm kép.

Theo định lí Viète, ta có: ${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 12}}{9} = \frac{4}{3};\,\,{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{4}{9}.$

c) Xét phương trình 4x$^{2}$ + 9x + 12 = 0.

Ta có ∆ = 9$^{2}$ ‒ 4.4.12 = 81 ‒ 192 = – 111 < 0 nên phương trình vô nghiệm.

d) Xét phương trình $5{x^2} - 2\sqrt 3 x - 3 = 0.$

Ta có $\Delta ' = {\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} - 5 \cdot \left( { - 3} \right) = 3 + 15 = 18 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$.

Theo định lí Viète, ta có: ${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 2\sqrt 3 }}{5} = \frac{{2\sqrt 3 }}{5};\,\,\,{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 3}}{5}.$

a) Phương trình 24x$^{2}$ – 19x – 5 = 0 có:

a + b + c = 24 + (–19) + (–5) = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là ${x_1} = 1;\,\,{x_2} = \frac{c}{a} = - \frac{5}{{24}}.$

b) Phương trình 2,5x$^{2}$ + 7,2x + 4,7 = 0 có:

a – b + c = 2,5 – 7,2 + 4,7 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là ${x_1} = - 1;\,\,{x_2} = - \frac{c}{a} = - \frac{{47}}{{25}}.$

c) Phương trình $\frac{3}{2}{x^2} + 5x + \frac{7}{2} = 0$ có:

$a - b + c = \frac{3}{2} - 5 + \frac{7}{2} = \frac{3}{2} - \frac{{10}}{2} + \frac{7}{2} = \frac{0}{2} = 0.$

Vậy phương trình có hai nghiệm là ${x_1} = - 1;\,\,{x_2} = - \frac{c}{a} = - \frac{{\frac{7}{2}}}{{\frac{3}{2}}} = - \frac{7}{3}.$

d) Phương trình $2{x^2} - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)x + \sqrt 3 = 0$ có:

$a + b + {\rm{c}} = 2 + \left[ { - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)} \right] + \sqrt 3 = 2 - 2 - \sqrt 3 + \sqrt 3 = 0.$

Vậy phương trình có hai nghiệm là ${x_1} = 1;\,\,{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$

a) u và v là hai nghiệm của phương trình x$^{2}$ + 20x + 96 = 0.

Ta có: ∆’ = 10$^{2}$ ‒ 1.96 = 100 ‒ 96 = 4 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{ - 10 + \sqrt 4 }}{1} = \frac{{ - 10 + 2}}{1} = - 8;$$

$${x_2} = \frac{{ - 10 - \sqrt 4 }}{1} = \frac{{ - 10 - 2}}{1} = - 12.$$

Vậy u = –8; v = –12 hoặc u = –12; v = –8.

b) u và v là hai nghiệm của phương trình x$^{2}$ – 24x + 135 = 0.

Ta có: ∆’ = 12$^{2}$ ‒ 1.135 = 144 ‒ 135 = 9 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$${x_1} = \frac{{ - \left( { - 12} \right) + \sqrt 9 }}{1} = \frac{{12 + 3}}{1} = 15;$$

$${x_2} = \frac{{ - \left( { - 12} \right) - \sqrt 9 }}{1} = \frac{{12 - 3}}{1} = 9.$$

Vậy u = 15; v = 9 hoặc u = 9; v = 15.

c) u và v là hai nghiệm của phương trình x$^{2}$ – 9x – 400 = 0.

Ta có: ∆ = (‒9)$^{2}$ ‒ 4.1.(‒400) = 81 + 1 600 = 1 681 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{ - \left( { - 9} \right) + \sqrt {1\,\,681} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{9 + 41}}{2} = \frac{{50}}{2} = 25;$$

$${x_2} = \frac{{ - \left( { - 9} \right) - \sqrt {1\,\,681} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{9 - 41}}{2} = \frac{{ - 32}}{2} = - 16.$$

Vậy u = 25; v = –16 hoặc u = –16; v = 25.

d) Ta có S = 17, P = 82, S$^{2}$ – 4P = 17$^{2}$ – 4.82 = 289 ‒ 328 = – 39 < 0.

Vậy không có hai số u và v thoả mãn điều kiện đã cho.

a) Ta có (a + b)$^{2}$ = a$^{2}$ + 2ab + b$^{2}$ hay (a + b)$^{2}$ = (a$^{2}$ + b$^{2}$) + 2ab

Suy ra 11$^{2}$ = 61 + 2ab

121 = 61 + 2ab.

2ab = 60

ab = 30.

Với a + b = 11, ab = 30 ta có a, b là hai nghiệm của phương trình x$^{2}$ ‒ 11x + 30 = 0.

Ta có: ∆ = (‒11)$^{2}$ ‒ 4.1.30 = 121 ‒ 120 = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$${x_1} = \frac{{ - \left( { - 11} \right) + \sqrt 1 }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{11 + 1}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6;$$

$${x_2} = \frac{{ - \left( { - 11} \right) - \sqrt 1 }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{11 - 1}}{2} = \frac{{10}}{2} = 5.$$

Vậy a = 5; b = 6 hoặc a = 6; b = 5.

b) Ta có (a + b)$^{2}$ = a$^{2}$ + 2ab + b$^{2}$ = (a$^{2}$ + b$^{2}$) + 2ab

= 73 + 2.24 = 73 + 48 = 121.

Suy ra a + b = 11 hoặc a + b = –11.

• Với a + b = 11 và ab = 24, ta có a, b là nghiệm của phương trình x$^{2}$ ‒ 11x + 24 = 0.

Ta có: ∆ = (‒11)$^{2}$ ‒ 4.1.24 = 121 ‒ 96 = 25 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{ - \left( { - 11} \right) + \sqrt {25} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{11 + 5}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8;$$

$${x_2} = \frac{{ - \left( { - 11} \right) - \sqrt {25} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{11 - 5}}{2} = \frac{6}{2} = 3.$$

Theo bài, a > b nên trong trường hợp này ta có a = 8; b = 3.

• Với a + b = –11 và ab = 24, ta có a, b là nghiệm của phương trình x$^{2}$ + 11x + 24 = 0.

Ta có: ∆ = 11$^{2}$ ‒ 4.1.24 = 121 ‒ 96 = 25 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{ - 11 + \sqrt {25} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 11 + 5}}{2} = \frac{{ - 6}}{2} = - 3;$$

$${x_2} = \frac{{ - 11 - \sqrt {25} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 11 - 5}}{2} = \frac{{ - 16}}{2} = - 8.$$

Theo bài, a > b nên trong trường hợp này ta có a = ‒3; b = ‒8.

Vậy a = 8; b = 3 hoặc a = ‒3; b = ‒8.

Xét phương trình x$^{2}$ – 3x – 40 = 0.

Ta có ∆ = (–3)$^{2}$ – 4.1.(–40) = 9 + 160 = 169 > 0, nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$.

Theo định lí Viète, ta có:

$S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 3}}{1} = 3;\,\,\,P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 40}}{1} = - 40.$

a) $A = x_1^2 + x_2^2 - x_1^2{x_2} - {x_1}x_2^2$

$$= x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2} - {x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)$$

$$= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_2}{x_2} - {x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)$$

Thay x$_{1}$ + x$_{2}$ = 3 và x$_{1}$x$_{2}$ = ‒ 40 vào biểu thức trên, ta được:

A = 3$^{2}$ ‒ 2.(‒40) ‒ (‒40).3

= 9 + 80 + 120 = 209.

b) $B = 3{x_1} + 3{x_2} - 2x_1^2 - 2x_2^2$

$$= 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)$$

$$= 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2\left( {x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2}} \right)$$

$$= 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]$$

Thay x$_{1}$ + x$_{2}$ = 3 và x$_{1}$x$_{2}$ = ‒ 40 vào biểu thức trên, ta được:

B = 3.3 ‒ 2[3$^{2}$ ‒ 2.(‒40)]

= 9 ‒ 2(9 + 80) = 9 – 2.89

= 9 ‒ 178 = ‒ 169.

c) $C = \frac{{{x_2}}}{{{x_1} + 3}} + \frac{{{x_1}}}{{{x_2} + 3}} = \frac{{{x_2}\left( {{x_2} + 3} \right) + {x_1}\left( {{x_1} + 3} \right)}}{{\left( {{x_1} + 3} \right)\left( {{x_2} + 3} \right)}}$

$$= \frac{{x_2^2 + 3{x_2} + x_1^2 + 3{x_1}}}{{{x_1}{x_2} + 3{x_1} + 3{x_2} + 9}}$$

$$= \frac{{x_2^2 + x_1^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}}{{{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9}}$$

$$= \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}}{{{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9}}$$

Thay x$_{1}$ + x$_{2}$ = 3 và x$_{1}$x$_{2}$ = ‒ 40 vào biểu thức trên, ta được

$$C = \frac{{{3^2} - 2 \cdot \left( { - 40} \right) + 3 \cdot 3}}{{ - 40 + 3 \cdot 3 + 9}}$$

$$= \frac{{9 + 80 + 9}}{{ - 40 + 9 + 9}} = \frac{{98}}{{ - 22}} = - \frac{{49}}{{11}}.$$