Giải SBT Toán 9 Chân trời sáng tạo Bài 3. Định lí Viète có đáp án

a) Xét phương trình 5x$^{2}$ – 9x + 1 = 0.

Ta có ∆ = (‒9)$^{2}$ ‒ 4.5.1 = 81 ‒ 20 = 61 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$.

Theo định lí Viète, ta có: ${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 9}}{5} = \frac{9}{5};\,\,{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{1}{5}.$

b) Xét phương trình 9x$^{2}$ – 12x + 4 = 0.

Ta có ∆’ = (‒6)$^{2}$‒ 9.4 = 36 ‒ 36 = 0 nên phương trình có nghiệm kép.

Theo định lí Viète, ta có: ${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 12}}{9} = \frac{4}{3};\,\,{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{4}{9}.$

c) Xét phương trình 4x$^{2}$ + 9x + 12 = 0.

Ta có ∆ = 9$^{2}$ ‒ 4.4.12 = 81 ‒ 192 = – 111 < 0 nên phương trình vô nghiệm.

d) Xét phương trình $5{x^2} - 2\sqrt 3 x - 3 = 0.$

Ta có $\Delta ' = {\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} - 5 \cdot \left( { - 3} \right) = 3 + 15 = 18 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$.

Theo định lí Viète, ta có: ${x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 2\sqrt 3 }}{5} = \frac{{2\sqrt 3 }}{5};\,\,\,{x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 3}}{5}.$

a) Phương trình 24x$^{2}$ – 19x – 5 = 0 có:

a + b + c = 24 + (–19) + (–5) = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là ${x_1} = 1;\,\,{x_2} = \frac{c}{a} = - \frac{5}{{24}}.$

b) Phương trình 2,5x$^{2}$ + 7,2x + 4,7 = 0 có:

a – b + c = 2,5 – 7,2 + 4,7 = 0.

Vậy phương trình có hai nghiệm là ${x_1} = - 1;\,\,{x_2} = - \frac{c}{a} = - \frac{{47}}{{25}}.$

c) Phương trình $\frac{3}{2}{x^2} + 5x + \frac{7}{2} = 0$ có:

$a - b + c = \frac{3}{2} - 5 + \frac{7}{2} = \frac{3}{2} - \frac{{10}}{2} + \frac{7}{2} = \frac{0}{2} = 0.$

Vậy phương trình có hai nghiệm là ${x_1} = - 1;\,\,{x_2} = - \frac{c}{a} = - \frac{{\frac{7}{2}}}{{\frac{3}{2}}} = - \frac{7}{3}.$

d) Phương trình $2{x^2} - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)x + \sqrt 3 = 0$ có:

$a + b + {\rm{c}} = 2 + \left[ { - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)} \right] + \sqrt 3 = 2 - 2 - \sqrt 3 + \sqrt 3 = 0.$

Vậy phương trình có hai nghiệm là ${x_1} = 1;\,\,{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$

a) u và v là hai nghiệm của phương trình x$^{2}$ + 20x + 96 = 0.

Ta có: ∆’ = 10$^{2}$ ‒ 1.96 = 100 ‒ 96 = 4 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{ - 10 + \sqrt 4 }}{1} = \frac{{ - 10 + 2}}{1} = - 8;$$

$${x_2} = \frac{{ - 10 - \sqrt 4 }}{1} = \frac{{ - 10 - 2}}{1} = - 12.$$

Vậy u = –8; v = –12 hoặc u = –12; v = –8.

b) u và v là hai nghiệm của phương trình x$^{2}$ – 24x + 135 = 0.

Ta có: ∆’ = 12$^{2}$ ‒ 1.135 = 144 ‒ 135 = 9 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$${x_1} = \frac{{ - \left( { - 12} \right) + \sqrt 9 }}{1} = \frac{{12 + 3}}{1} = 15;$$

$${x_2} = \frac{{ - \left( { - 12} \right) - \sqrt 9 }}{1} = \frac{{12 - 3}}{1} = 9.$$

Vậy u = 15; v = 9 hoặc u = 9; v = 15.

c) u và v là hai nghiệm của phương trình x$^{2}$ – 9x – 400 = 0.

Ta có: ∆ = (‒9)$^{2}$ ‒ 4.1.(‒400) = 81 + 1 600 = 1 681 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{ - \left( { - 9} \right) + \sqrt {1\,\,681} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{9 + 41}}{2} = \frac{{50}}{2} = 25;$$

$${x_2} = \frac{{ - \left( { - 9} \right) - \sqrt {1\,\,681} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{9 - 41}}{2} = \frac{{ - 32}}{2} = - 16.$$

Vậy u = 25; v = –16 hoặc u = –16; v = 25.

d) Ta có S = 17, P = 82, S$^{2}$ – 4P = 17$^{2}$ – 4.82 = 289 ‒ 328 = – 39 < 0.

Vậy không có hai số u và v thoả mãn điều kiện đã cho.

a) Ta có (a + b)$^{2}$ = a$^{2}$ + 2ab + b$^{2}$ hay (a + b)$^{2}$ = (a$^{2}$ + b$^{2}$) + 2ab

Suy ra 11$^{2}$ = 61 + 2ab

121 = 61 + 2ab.

2ab = 60

ab = 30.

Với a + b = 11, ab = 30 ta có a, b là hai nghiệm của phương trình x$^{2}$ ‒ 11x + 30 = 0.

Ta có: ∆ = (‒11)$^{2}$ ‒ 4.1.30 = 121 ‒ 120 = 1 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$${x_1} = \frac{{ - \left( { - 11} \right) + \sqrt 1 }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{11 + 1}}{2} = \frac{{12}}{2} = 6;$$

$${x_2} = \frac{{ - \left( { - 11} \right) - \sqrt 1 }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{11 - 1}}{2} = \frac{{10}}{2} = 5.$$

Vậy a = 5; b = 6 hoặc a = 6; b = 5.

b) Ta có (a + b)$^{2}$ = a$^{2}$ + 2ab + b$^{2}$ = (a$^{2}$ + b$^{2}$) + 2ab

= 73 + 2.24 = 73 + 48 = 121.

Suy ra a + b = 11 hoặc a + b = –11.

• Với a + b = 11 và ab = 24, ta có a, b là nghiệm của phương trình x$^{2}$ ‒ 11x + 24 = 0.

Ta có: ∆ = (‒11)$^{2}$ ‒ 4.1.24 = 121 ‒ 96 = 25 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{ - \left( { - 11} \right) + \sqrt {25} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{11 + 5}}{2} = \frac{{16}}{2} = 8;$$

$${x_2} = \frac{{ - \left( { - 11} \right) - \sqrt {25} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{11 - 5}}{2} = \frac{6}{2} = 3.$$

Theo bài, a > b nên trong trường hợp này ta có a = 8; b = 3.

• Với a + b = –11 và ab = 24, ta có a, b là nghiệm của phương trình x$^{2}$ + 11x + 24 = 0.

Ta có: ∆ = 11$^{2}$ ‒ 4.1.24 = 121 ‒ 96 = 25 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{ - 11 + \sqrt {25} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 11 + 5}}{2} = \frac{{ - 6}}{2} = - 3;$$

$${x_2} = \frac{{ - 11 - \sqrt {25} }}{{2 \cdot 1}} = \frac{{ - 11 - 5}}{2} = \frac{{ - 16}}{2} = - 8.$$

Theo bài, a > b nên trong trường hợp này ta có a = ‒3; b = ‒8.

Vậy a = 8; b = 3 hoặc a = ‒3; b = ‒8.

Xét phương trình x$^{2}$ – 3x – 40 = 0.

Ta có ∆ = (–3)$^{2}$ – 4.1.(–40) = 9 + 160 = 169 > 0, nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$.

Theo định lí Viète, ta có:

$S = {x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a} = - \frac{{ - 3}}{1} = 3;\,\,\,P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 40}}{1} = - 40.$

a) $A = x_1^2 + x_2^2 - x_1^2{x_2} - {x_1}x_2^2$

$$= x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2} - {x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)$$

$$= {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_2}{x_2} - {x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)$$

Thay x$_{1}$ + x$_{2}$ = 3 và x$_{1}$x$_{2}$ = ‒ 40 vào biểu thức trên, ta được:

A = 3$^{2}$ ‒ 2.(‒40) ‒ (‒40).3

= 9 + 80 + 120 = 209.

b) $B = 3{x_1} + 3{x_2} - 2x_1^2 - 2x_2^2$

$$= 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)$$

$$= 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2\left( {x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2}} \right)$$

$$= 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]$$

Thay x$_{1}$ + x$_{2}$ = 3 và x$_{1}$x$_{2}$ = ‒ 40 vào biểu thức trên, ta được:

B = 3.3 ‒ 2[3$^{2}$ ‒ 2.(‒40)]

= 9 ‒ 2(9 + 80) = 9 – 2.89

= 9 ‒ 178 = ‒ 169.

c) $C = \frac{{{x_2}}}{{{x_1} + 3}} + \frac{{{x_1}}}{{{x_2} + 3}} = \frac{{{x_2}\left( {{x_2} + 3} \right) + {x_1}\left( {{x_1} + 3} \right)}}{{\left( {{x_1} + 3} \right)\left( {{x_2} + 3} \right)}}$

$$= \frac{{x_2^2 + 3{x_2} + x_1^2 + 3{x_1}}}{{{x_1}{x_2} + 3{x_1} + 3{x_2} + 9}}$$

$$= \frac{{x_2^2 + x_1^2 + 2{x_1}{x_2} - 2{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}}{{{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9}}$$

$$= \frac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}}{{{x_1}{x_2} + 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 9}}$$

Thay x$_{1}$ + x$_{2}$ = 3 và x$_{1}$x$_{2}$ = ‒ 40 vào biểu thức trên, ta được

$$C = \frac{{{3^2} - 2 \cdot \left( { - 40} \right) + 3 \cdot 3}}{{ - 40 + 3 \cdot 3 + 9}}$$

$$= \frac{{9 + 80 + 9}}{{ - 40 + 9 + 9}} = \frac{{98}}{{ - 22}} = - \frac{{49}}{{11}}.$$

Nửa chu vi mảnh vườn hình chữ nhật là: 144 : 2 = 72 (m).

Mà nửa chu vi mảnh vườn hình chữ nhật đó chính là tổng chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn và diện tích mảnh vườn chính là tích chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn.

Tức là tổng chiều dài và chiều rộng bằng 72 (m) và tích chiều dài và chiều rộng bằng 1 040 m$^{2}$.

Do đó chiều dài và chiều rộng là nghiệm của phương trình: x$^{2}$ – 72x + 1 040 = 0.

Ta có: ∆’ = (‒36)$^{2}$ ‒ 1 . 1 040 = 1 296 ‒ 1 040 = 256 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$${x_1} = \frac{{ - \left( { - 36} \right) + \sqrt {256} }}{1} = \frac{{36 + 16}}{1} = 52;$$

$${x_2} = \frac{{ - \left( { - 36} \right) - \sqrt {256} }}{1} = \frac{{36 - 16}}{1} = 20.$$

Do chiều dài lớn hơn chiều rộng nên ta có a = 52 và b = 20.

Vậy chiều dài của mảnh vườn là 52 m, chiều rộng của mảnh vườn là 20 m.