Giải SBT Toán 8 KNTT Bài 11: Hình thang cân có đáp án

Trong hình thang ABCD có:

$\widehat{A}$ và $\widehat{D}$ là 2 góc bù nhau, $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$ là 2 góc bù nhau.

Do đó $\widehat{A}+\widehat{D}=180^{\circ}$, $\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$

Mà $\widehat{A}=2\widehat{D}$ nên $2\widehat{D}+\widehat{D}=180^{\circ}$, suy ra $\widehat{D}=60^{\circ}$. Do đó $\widehat{A}=2\widehat{D}=2\cdot 60^{\circ}=120^{\circ}.$

$\widehat{B}=\widehat{C}+40^{\circ}$ nên $\widehat{C}+40^{\circ}+\widehat{C}=180^{\circ}$, hay $2\widehat{C}=140^{\circ}$, suy ra $\widehat{C}=70^{\circ}$

Do đó $\widehat{B}=\widehat{C}+40^{\circ}=70^{\circ}+40^{\circ}=110^{\circ}$

Vậy hình thang ABCD có $\widehat{A}=120^{\circ};\widehat{B}=110^{\circ};\widehat{C}=70^{\circ};\widehat{D}=60^{\circ}.$

Xét hình thang ABCD có AB // CD

Ta có:

• $\widehat{A}$ và $\widehat{D}$ là hai góc kề với cạnh bên AD

Suy ra $\widehat{A}+\widehat{D}=180^{\circ}$ nên trong hai góc đó có có quá 1 góc tù

• $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$ là hai góc kề với cạnh bên BC

Suy ra $\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}$ nên trong hai góc đó có có quá 1 góc tù

Do đó, trong bốn góc $\widehat{A};\widehat{B;}\widehat{C};\widehat{D}$ có nhiều nhất 2 góc là góc tù.

Do ∆ABC vuông cân tại đỉnh A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB};$ $\widehat{A}=90^{\circ}$

Xét trong ∆ABC ta có: $\widehat{ABC}+\widehat{ACB}+\widehat{A}=180^{\circ}$

Nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180^{\circ}-\widehat{A}}{2}=\frac{180^{\circ}-90^{\circ}}{2}=45^{\circ}.$

Do ∆BCD vuông cân tại đỉnh B nên $\widehat{BCD}=\widehat{BDC};$ $\widehat{CBD}=90^{\circ}$

Xét trong ∆BCD ta có: $\widehat{BCD}+\widehat{BDC}+\widehat{CBD}=180^{\circ}$

Nên $\widehat{BCD}=\widehat{BDC}=\frac{180^{\circ}-\widehat{CBD}}{2}=\frac{180^{\circ}-90^{\circ}}{2}=45^{\circ}.$

Ta có $\widehat{ABC}=45^{\circ}=\widehat{BCD}$ nên AB // CD (hai góc so le trong bằng nhau).

Vậy ABCD là một hình thang với AB, CD là hai đáy; cạnh bên của hình thang đó là AC vuông góc với đáy AB nên hình thang đó là hình thang vuông.

Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC, AC = BD, $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$

Xét ∆ABC và ∆BAD có

BC = AD, AC = BD, cạnh AB chung

Do đó ∆ABC = ∆BAD (c.c.c)

Suy ra $\widehat{BAC}=\widehat{ABD}$.

Từ đó OAB là tam giác cân tại O, nên OA = OB.

Ta có: OA + OC = AC; OB + OD = BD, mà OA = OB, AC = BD

Suy ra OC = OD.

Do đó O cách đều A và B; O cách đều C và D;

Do AB // CD nên $\widehat{SAB}=\widehat{SDC}$; $\widehat{SBA}=\widehat{SCD}$ (các cặp góc ở vị trí đồng vị)

Mà $\widehat{ADC}=\widehat{BCD}$ hay $\widehat{SDC}=\widehat{SCD}$ suy ra $\widehat{SAB}=\widehat{SDC}=\widehat{SBA}=\widehat{SCD}$

Suy ra SAB, SCD là các tam giác cân tại đỉnh S nên SA = SB, SC = SD

Do đó S cũng cách đều A và B, cách đều C và D.

Vậy S và O cùng nằm trên đường trung trực của AB, của CD nên đường thẳng SO đi qua trung điểm của AB, CD.

Do CA là tia phân giác của $\widehat{C}$ nên $\widehat{BCA}=\widehat{ACD}$

Mà ABCD là hình thang cân nên AB // CD, suy ra $\widehat{BAC}=\widehat{ACD}$ (hai góc so le trong)

Do đó, $\widehat{BAC}=\widehat{BCA}$, suy ra ∆ABC cân tại B.

Đặt $\widehat{BAC}=α$ thì $\widehat{C}=2α$.

Vì ABCD là hình thang cân nên $\widehat{D}=\widehat{C}=2α.$

Tam giác ADC vuông tại A nên $\widehat{ADC}+\widehat{ACD}=2α+α=90^{\circ},$ suy ra $α=30^{\circ},\ \widehat{D}=60^{\circ}.$

Lấy điểm M thuộc cạnh huyền DC sao cho DM = AD, mà $\widehat{D}=60^{\circ}$ thì AMD là tam giác đều, nên $\widehat{MAD}=60^{\circ}$

Khi đó $\widehat{MAC}=\widehat{CAD}-\widehat{MAD}=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$

Suy ra $\widehat{ACM}=\widehat{CAM}=30^{\circ}$ nên tam giác MAC cân tại M

Do đó AM = MC, mà AM = DM = AD

Nên AM = DM = AD = MC hay DC = 2AD.

Vậy AB = BC = AD, DC = 2AD nên chu vi hình thang bằng

AB + BC + CD + AD = 5AD = 5.2 = 10 cm.