Giải SBT Toán 8 Cánh diều Bài 2. Phép cộng, phép trừ phân thức đại số có đáp án

Lời giải

a) $\frac{{x + 2y}}{a} + \frac{{x - 2y}}{a} = \frac{{x + 2y + x - 2y}}{a} = \frac{{\left( {x + x} \right) + \left( {2y - 2y} \right)}}{a} = \frac{{2x}}{a}$.

b) $\frac{x}{{x - 1}} + \frac{1}{{1 - x}} = \frac{x}{{x - 1}} - \frac{1}{{x - 1}} = \frac{{x - 1}}{{x - 1}} = 1$.

c) $\frac{{{x^2} + 2}}{{{x^3} - 1}} + \frac{2}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{1}{{1 - x}}$

$= \frac{{{x^2} + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{2}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{1}{{x - 1}}$

$= \frac{{{x^2} + 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{{{x^2} + x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$

$= \frac{{{x^2} + 2 + 2x - 2 - {x^2} - x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$

$= \frac{{x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$

$= \frac{1}{{{x^2} + x + 1}}$.

d) $x + \frac{1}{{x + 1}} - 1$

$= \frac{{x.\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} + \frac{1}{{x + 1}} - \frac{{1.\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}}$

$= \frac{{{x^2} + x + 1 - x - 1}}{{x + 1}}$

$= \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}$.

Lời giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức A là x ≠ 1.

$A = x + 1 - \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 1}}$

$= \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} + \frac{{x - 1}}{{x - 1}} - \frac{{{x^2} - 4}}{{x - 1}}$

$= \frac{{{x^2} - x + x - 1 - {x^2} + 4}}{{x - 1}}$

$= \frac{3}{{x - 1}}$

Với x = ‒4 ta thấy x ‒ 1 = ‒4 ‒ 1 = ‒5 ≠ 0.

Do đó, giá trị của phân thức đã cho tại x = ‒4 là: $A = \frac{3}{{ - 4 - 1}} = \frac{{ - 3}}{5}$.

b) Điều kiện xác định của phân thức A là 5 ‒ x ≠ 0

$B = \frac{1}{{5 - x}} - \frac{{{x^2} + 5x}}{{{x^2} - 25}}$

$= \frac{1}{{5 - x}} - \frac{{x\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}$

$= \frac{1}{{5 - x}} - \frac{x}{{x - 5}} = \frac{1}{{5 - x}} + \frac{x}{{5 - x}}$

$= \frac{{1 + x}}{{5 - x}}$

Với x = 99 ta thấy 5 ‒ x = 5 ‒ 99 = ‒94 ≠ 0.

Do đó, giá trị của phân thức đã cho tại x = 99 là:

$B = \frac{{1 + 99}}{{5 - 99}} = \frac{{100}}{{ - 94}} = - \frac{{50}}{{47}}$.

c*) Ta có: x$^{3}$ ‒ x$^{2}$ + x ‒ 1 = (x$^{3}$ ‒ x$^{2}$) + (x ‒ 1)

= x$^{2}$(x ‒ 1) + (x ‒ 1) = (x ‒ 1)(x$^{2}$ + 1).

Điều kiện xác định của biểu thức C là x ≠ 1.

Suy ra $C = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{2x}}{{{x^3} - {x^2} + x - 1}} = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}$

$= \frac{{{x^2} + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} - \frac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \frac{{{x^2} + 1 - 2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}$

${\rm{\;}} = \frac{{{{(x - 1)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}$

Ta thấy x = 0,7 ≠ 1 thỏa mãn điều kiện xác định

Vậy giá trị của biểu thức C tại x = 0,7 là: $C = \frac{{0{,}7 - 1}}{{{{0{,}7}^2} + 1}} = \frac{{ - 0{,}3}}{{1{,}49}} = \frac{{ - 30}}{{149}}$.

d*) Điều kiện xác định của biểu thức D là x ≠ 0; x ≠ ‒1; x ≠ ‒2.

Ta có: $D = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{1}{{x + 2}}$

$= \left( {\frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}} \right) + \left( {\frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right) + \frac{1}{{x + 2}}$$= \frac{1}{x}$

Ta thấy $x = \frac{1}{{23}}$ thỏa mãn điều kiện xác định nên giá trị của biểu thức $D$ tại $x = \frac{1}{{23}}$ là:

$D = \frac{1}{{\frac{1}{{23}}}} = 23$.

Lời giải

a) Ta có: x$^{2}$ ‒ 4 = x$^{2}$ ‒ 2$^{2}$ = (x ‒ 2)(x + 2) nên điều kiện xác định của biểu thức $T$ là:

x ‒ 2 ≠ 0; x + 2 ≠ 0 hay x ≠ 2; x ≠ ‒2.

b) Ta có: $T = \frac{{{x^3}}}{{{x^2} - 4}} - \frac{x}{{x - 2}} - \frac{2}{{x + 2}}$

$\; = \frac{{{x^3}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

$\; = \frac{{{x^3} - {x^2} - 2x - 2x + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{x^3} - {x^2} - 4x + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

$\; = \frac{{\left( {{x^3} - 4x} \right) - \left( {{x^2} - 4} \right)}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{x\left( {{x^2} - 4} \right) - \left( {{x^2} - 4} \right)}}{{{x^2} - 4}}$

$\; = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}}{{{x^2} - 4}} = x - 1$

Suy ra T = 0 khi x ‒ 1 = 0 hay x = 1 (thoả mãn điều kiện xác định).

Vậy x = 1 thì T = 0.

c) Để T > 0 thì x ‒ 1 > 0 hay x > 1.

Kết hợp với x là số nguyên và điều kiện xác định x ≠ 2; x ≠ ‒2, suy ra x ∈ {3; 4; 5;...}.

Lời giải

a) Do tốc độ tàu tuần tra đi ngược dòng là x ‒ 2 (km/h) nên phân thức biểu thị thời gian tàu tuần tra đi ngược dòng là: $\frac{{60}}{{x - 2}}$ (giờ).

b) Do tốc độ tàu tuần tra đi xuôi dòng là x + 2 (km/h) nên phân thức biểu thị thời gian tàu tuần tra đi xuôi dòng là: $\frac{{48}}{{x + 2}}$ (giờ).

c) Hiệu giữa thời gian tàu tuần tra đi ngược dòng và thời gian tàu tuần tra đi xuôi dòng là:

$\frac{{60}}{{x - 2}} - \frac{{48}}{{x + 2}} = \frac{{60\left( {x + 2} \right) - 48\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{12x + 216}}{{{x^2} - 4}}$ (giờ).

Vậy phân thức biểu thị thời gian tàu tuần tra đi ngược dòng nhiều hơn thời gian tàu tuần tra đi xuôi dòng là: $\frac{{12x + 216}}{{{x^2} - 4}}$ (giờ).

Lời giải

a) Khối lượng hàng mà mỗi xe phải chở theo dự định là: $\frac{{120}}{x}$ (tấn).

b) Số xe thực tế là: x + 5 (xe).

Do đó, khối lượng hàng mà mỗi xe đã chở theo thực tế là: $\frac{{120}}{{x + 5}}$ (tấn).

c) Hiệu giữa khối lượng hàng mà mỗi xe đã chở theo dự định và khối lượng hàng mà mỗi xe phải chở theo thực tế là:

$\frac{{120}}{x} - \frac{{120}}{{x + 5}}$$= \frac{{120\left( {x + 5} \right)}}{{x.\left( {x + 5} \right)}} - \frac{{120x}}{{x.\left( {x + 5} \right)}}$

$= \frac{{120x + 600 - 120x}}{{{x^2} + 5x}} = \frac{{600}}{{{x^2} + 5x}}$(tấn).