Ngân hàng đề / … / Lớp 12 / Toán / Toán 12 – Chân trời sáng tạo / Phần Một số yếu tố giải tích / Bài tập cuối chương 4
Nội dung đề
Phần I. Tự luận
Biết rằng f*'*(x) = 8x3 ^{3} 3
A. 2x4 ^{4} 4 2 ^{2} 2
B. 2x4 ^{4} 4 2 ^{2} 2
C. 8x4 ^{4} 4 2 ^{2} 2
D. 8x4 ^{4} 4 2 ^{2} 2
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Đáp án đúng là: B
Ta có: f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) d x = ∫ ( 8 x 3 − 4 x + 2 ) d x f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx = \int {\left( {8{x^3} - 4x + 2} \right)dx} } f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) d x = ∫ ( 8 x 3 − 4 x + 2 ) d x
= 2x4 ^{4} 4 2 ^{2} 2
Mà f(1) = 4 suy ra 2.14 ^{4} 4 2 ^{2} 2
Vậy f(x) = 2x4 ^{4} 4 2 ^{2} 2
Hàm số y = f(x) có đồ thị đi qua điểm (0; 2) và f*'*(x) = cosx – sinx. Giá trị của f(π) là:
A. −1.
B. 1.
C. 4.
D. 0.
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Đáp án đúng là: D
Theo đề bài, hàm số y = f(x) đi qua điểm (0; 2) hay f(0) = 2.
Ta có: f ( π ) − f ( 0 ) = ∫ 0 π f ′ ( x ) d x f\left( \pi \right) - f\left( 0 \right) = \int\limits_0^\pi {f'\left( x \right)dx} f ( π ) − f ( 0 ) = 0 ∫ π f ′ ( x ) d x
= ∫ 0 π ( cos x − sin x ) d x = \int\limits_0^\pi {\left( {\cos x - \sin x} \right)dx} = 0 ∫ π ( cos x − sin x ) d x
= ( sin x + cos x ) ∣ 0 π = − 2 = \left. {\left( {\sin x + \cos x} \right)} \right|_0^\pi = - 2 = ( sin x + cos x ) ∣ 0 π = − 2
Suy ra f(π) = −2 + f(0) = −2 + 2 = 0.
Phát biểu nào sau đây đúng?
A. ∫ 3 2 x d x = 9 x . ln 9 + C . \int {{3^{2x}}dx = {9^x}.\ln 9 + C.} ∫ 3 2 x d x = 9 x . ln 9 + C .
B. ∫ 3 2 x d x = 9 x 2 ln 3 + C . \int {{3^{2x}}dx = \frac{{{9^x}}}{{2\ln 3}} + C.} ∫ 3 2 x d x = 2 l n 3 9 x + C .
C. ∫ 3 2 x d x = ( 3 x ln 3 ) 2 + C . \int {{3^{2x}}dx = {{\left( {\frac{{{3^x}}}{{\ln 3}}} \right)}^2} + C.} ∫ 3 2 x d x = ( l n 3 3 x ) 2 + C .
D. ∫ 3 2 x d x = 3 2 x ln 3 + C . \int {{3^{2x}}dx = \frac{{{3^{2x}}}}{{\ln 3}} + C.} ∫ 3 2 x d x = l n 3 3 2 x + C .
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Đáp án đúng là: B
Ta có: ∫ 3 2 x d x = ∫ ( 3 2 ) x d x = ∫ 9 x d x \int {{3^{2x}}dx = \int {{{\left( {{3^2}} \right)}^x}dx = \int {{9^x}dx} } } ∫ 3 2 x d x = ∫ ( 3 2 ) x d x = ∫ 9 x d x
= 9 x ln 9 + C = \frac{{{9^x}}}{{\ln 9}} + C = l n 9 9 x + C 9 x 2 ln 3 + C \frac{{{9^x}}}{{2\ln 3}} + C 2 l n 3 9 x + C
Cho hàm số f ( x ) = 4 x 3 f\left( x \right) = 4\sqrt[3]{x} f ( x ) = 4 3 x ∫ 1 3 f ( x ) d x − ∫ 8 3 f ( x ) d x \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx - \int\limits_8^3 {f\left( x \right)dx} } 1 ∫ 3 f ( x ) d x − 8 ∫ 3 f ( x ) d x
A. 45.
B. 80.
C. 15.
D. 18 3 3 − 51 18\sqrt[3]{3} - 51 18 3 3 − 51
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Đáp án đúng là: A
Ta có: ∫ 1 3 f ( x ) d x − ∫ 8 3 f ( x ) d x \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx - \int\limits_8^3 {f\left( x \right)dx} } 1 ∫ 3 f ( x ) d x − 8 ∫ 3 f ( x ) d x
= ∫ 1 3 f ( x ) d x + ∫ 3 8 f ( x ) d x = ∫ 1 8 f ( x ) d x = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx + \int\limits_3^8 {f\left( x \right)dx} } = \int\limits_1^8 {f\left( x \right)dx} = 1 ∫ 3 f ( x ) d x + 3 ∫ 8 f ( x ) d x = 1 ∫ 8 f ( x ) d x
Suy ra ∫ 1 8 f ( x ) d x = ∫ 1 8 4 x 3 d x \int\limits_1^8 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^8 {4\sqrt[3]{x}dx} 1 ∫ 8 f ( x ) d x = 1 ∫ 8 4 3 x d x
= 4 ∫ 1 8 x 1 3 d x = 3 x x 3 ∣ 1 8 = 4\int\limits_1^8 {{x^{\frac{1}{3}}}dx = \left. {3x\sqrt[3]{x}} \right|_1^8} = 4 1 ∫ 8 x 3 1 d x = 3 x 3 x 1 8
= 48 – 3 = 45.
Cho hàm số f(x) = 3x – 1. Biết rằng a là số thỏa mãn ∫ 0 1 f 2 ( x ) d x = a [ ∫ 0 1 f ( x ) d x ] 2 \int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx = a{{\left[ {\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} } \right]}^2}} 0 ∫ 1 f 2 ( x ) d x = a [ 0 ∫ 1 f ( x ) d x ] 2
A. 2.
B. 1 4 . \frac{1}{4}. 4 1 .
C. 4.
D. 1 2 . \frac{1}{2}. 2 1 .
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Đáp án đúng là: C
Ta có: ∫ 0 1 f 2 ( x ) d x = ∫ 0 1 ( 3 x − 1 ) 2 d x \int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx = \int\limits_0^1 {{{\left( {3x - 1} \right)}^2}dx} } 0 ∫ 1 f 2 ( x ) d x = 0 ∫ 1 ( 3 x − 1 ) 2 d x
= ∫ 0 1 ( 9 x 2 − 6 x + 1 ) d x \int\limits_0^1 {\left( {9{x^2} - 6x + 1} \right)dx} 0 ∫ 1 ( 9 x 2 − 6 x + 1 ) d x
= ( 3 x 3 − 3 x 2 + x ) ∣ 0 1 = 1 \left. {\left( {3{x^3} - 3{x^2} + x} \right)} \right|_0^1 = 1 ( 3 x 3 − 3 x 2 + x ) 0 1 = 1
[ ∫ 0 1 f ( x ) d x ] 2 = [ ∫ 0 1 ( 3 x − 1 ) d x ] 2 {\left[ {\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} } \right]^2} = {\left[ {\int\limits_0^1 {\left( {3x - 1} \right)dx} } \right]^2} 0 ∫ 1 f ( x ) d x 2 = 0 ∫ 1 ( 3 x − 1 ) d x 2
= [ ( 3 2 x 2 − x ) ∣ 0 1 ] 2 = 1 4 = {\left[ {\left. {\left( {\frac{3}{2}{x^2} - x} \right)} \right|_0^1} \right]^2} = \frac{1}{4} = [ ( 2 3 x 2 − x ) 0 1 ] 2 = 4 1
Nhận thấy 1 = 4. 1 4 \frac{1}{4} 4 1 ∫ 0 1 f 2 ( x ) d x = 4 [ ∫ 0 1 f ( x ) d x ] 2 \int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx = 4{{\left[ {\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} } \right]}^2}} 0 ∫ 1 f 2 ( x ) d x = 4 [ 0 ∫ 1 f ( x ) d x ] 2
Vậy a = 4.
Đồ thị của hàm số y = f(x) đi qua điểm (1; 1) và có hệ số góc của tiếp tuyến tại các điểm (x; f(x)) là 1 – 4x. giá trị của f(3) là:
A. −12.
B. −13.
C. −15.
D. −30.
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1; 3] và thỏa mãn ∫ 1 3 [ 3 x 2 − 2 f ′ ( x ) ] d x = 4 ; f ( 1 ) = − 2 \int\limits_1^3 {\left[ {3{x^2} - 2f'\left( x \right)} \right]dx} = 4;{\rm{ }}f\left( 1 \right) = - 2 1 ∫ 3 [ 3 x 2 − 2 f ′ ( x ) ] d x = 4 ; f ( 1 ) = − 2
A. 9.
B. 11.
C. −13.
D. 19.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = ex ^{x} x
A. 1.
B. 3.
C. 2ln2 – 1.
D. 3 – 4ln2.
Cho K là một khoảng trên ℝ; F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K; G(x) là một nguyên hàm của hàm số g(x) trên K.
a) Nếu F(x) = G(x) thì f(x) = g(x).
b) Nếu f(x) = g(x) thì F(x) = G(x).
c) ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C , C ∈ R . \int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C,{\rm{ }}C \in \mathbb{R}.} ∫ f ( x ) d x = F ( x ) + C , C ∈ R .
d) ∫ f ′ ( x ) d x = F ( x ) + C , C ∈ R . \int {f'\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C,{\rm{ }}C \in \mathbb{R}.} ∫ f ′ ( x ) d x = F ( x ) + C , C ∈ R .
Cho y = f(x) là hàm số bậc hai có đồ thị như Hình 1. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x) và trục hoành.
a) f(x) = 4 – 2x2 ^{2} 2
b) S = ∫ − 2 2 ∣ f ( x ) ∣ d x . S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx. S = − 2 ∫ 2 ∣ f ( x ) ∣ d x .
c) S = ∫ − 2 2 f ( x ) d x . S = \int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx.} S = − 2 ∫ 2 f ( x ) d x .
d) S = 16 3 . S = \frac{{16}}{3}. S = 3 16 .
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm (x; f(x)) có hệ số góc là 3x
2 ^{2} 2 – 6x + 2. Tìm hàm số y = f(x), biết đồ thị của nó đi qua điểm (−1; 1).
Tìm:
a) ∫ ( 3 x − 1 x 2 ) 2 d x {\int {\left( {3x - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} ^2}dx ∫ ( 3 x − x 2 1 ) 2 d x
b) ∫ ( 7 x x 3 − 1 x 3 ) d x \int {\left( {7x\sqrt[3]{x} - \frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} \right)} dx ∫ ( 7 x 3 x − x 3 1 ) d x
c) ∫ ( 3 2 x − 1 ) 2 d x {\int {\left( {{3^{2x}} - 1} \right)} ^2}dx ∫ ( 3 2 x − 1 ) 2 d x
d) ∫ ( 2 − 3 cos 2 x 2 ) d x \int {\left( {2 - 3{{\cos }^2}\frac{x}{2}} \right)} dx ∫ ( 2 − 3 cos 2 2 x ) d x
Tính:
a) ∫ 1 2 x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 x 2 d x \int\limits_1^2 {\frac{{{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}dx} 1 ∫ 2 x 2 x 4 + x 3 + x 2 + x + 1 d x
b) ∫ 1 2 x e x + 1 x d x \int\limits_1^2 {\frac{{x{e^x} + 1}}{x}dx} 1 ∫ 2 x x e x + 1 d x
c) ∫ 0 1 8 x + 1 2 x + 1 d x \int\limits_0^1 {\frac{{{8^x} + 1}}{{{2^x} + 1}}dx} 0 ∫ 1 2 x + 1 8 x + 1 d x
d) ∫ π 4 π 2 1 + sin 2 x 1 − cos 2 x d x \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{1 - {{\cos }^2}x}}dx} 4 π ∫ 2 π 1 − c o s 2 x 1 + s i n 2 x d x
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 5]. Tính
∫ 0 5 f ( x ) d x \int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx} 0 ∫ 5 f ( x ) d x , biết rằng
∫ 0 3 f ( x ) d x = 4 ; ∫ 1 5 f ( x ) d x = 6 ; ∫ 1 3 f ( x ) d x = 3. \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = 4;\int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx = 6;\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx = 3.} } 0 ∫ 3 f ( x ) d x = 4 ; 1 ∫ 5 f ( x ) d x = 6 ; 1 ∫ 3 f ( x ) d x = 3.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình bên. Biết rằng đạo hàm f'(x) liên tục trên ℝ. Tính ∫ − 1 1 f ′ ( x ) d x \int\limits_{ - 1}^1 {f'\left( x \right)dx} − 1 ∫ 1 f ′ ( x ) d x
Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ, có đạo hàm f ′ ( x ) = { 4 − 3 x 2 , x < 1 1 , x ≥ 1. f'\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}4 - 3{x^2},x < 1\\1,x \ge 1.\end{array} \right. f ′ ( x ) = { 4 − 3 x 2 , x < 1 1 , x ≥ 1.
Tính f(2) – f(0).
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn
[ 0 ; π 2 ] \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right] [ 0 ; 2 π ] và thỏa mãn
∫ 0 π 2 [ 3 cos x + 2 f ′ ( x ) ] d x = − 5 ; f ( 0 ) = 1 \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {3\cos x + 2f'\left( x \right)} \right]dx = - 5;f\left( 0 \right) = 1} 0 ∫ 2 π [ 3 cos x + 2 f ′ ( x ) ] d x = − 5 ; f ( 0 ) = 1 . Tính giá trị
f ( π 2 ) f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) f ( 2 π ) .
Cho D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của đồ thị y = x y = \sqrt x y = x
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = 1 + x
2 ^{2} 2 , trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = 1 quanh trục Ox.
Một cột bê tông hình trụ có chiều cao 9 m. Nếu cắt cột bê tông bằng mặt phẳng nằm ngang cách chân cột x (m) thì mặt cắt là hình tròn có bán kính
1 − x 4 1 - \frac{{\sqrt x }}{4} 1 − 4 x (m) với 0 ≤ x ≤ 9. Tính thể tích của cột bê tông (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của mét khối).
Một chiếc xe đang chuyển động với vận tốc với tốc độ v0 _{0} 0 2 ^{2} 2
a) Sau 5 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc, tốc độ của xe là bao nhiêu?
b) Tính quãng đường xe đi được trong 5 giây đầu kể từ khi tăng tốc.
Giả sử tốc độ tăng trưởng của một quần thể muỗi thỏa mãn công thức N*'*(t) = 0,2N(t), 0 ≤ t ≤ 5,
trong đó t là thời gian tính theo ngày, N(t) là số cá thể muỗi tại thời điểm t. Biết rằng ban đầu quần thể muỗi có 2 000 cá thể.
a) Đặt y(t) = lnN(t), 0 ≤ t ≤ 5.
Chứng tỏ rằng y*'*(t) = 0,2. Từ đó, tìm N(t) với 0 ≤ t ≤ 5.
b) Tìm số lượng cá thể của quần thể muỗi sau 3 ngày (kết quả làm tròn đến hàng trăm).
Tất cả đề Bài tập cuối chương 4 · Các bộ sách Toán Lớp 12
