Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương IV có đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx = \int {\left( {8{x^3} - 4x + 2} \right)dx} }$

= 2x$^{4}$ – 2x$^{2}$ + 2x + C.

Mà f(1) = 4 suy ra 2.1$^{4}$ – 2.1$^{2}$ + 2. 1 + C = 4 hay C = 2

Vậy f(x) = 2x$^{4}$ – 2x$^{2}$ + 2x + 2.

Đáp án đúng là: D

Theo đề bài, hàm số y = f(x) đi qua điểm (0; 2) hay f(0) = 2.

Ta có: $f\left( \pi \right) - f\left( 0 \right) = \int\limits_0^\pi {f'\left( x \right)dx}$

$$= \int\limits_0^\pi {\left( {\cos x - \sin x} \right)dx}$$

$= \left. {\left( {\sin x + \cos x} \right)} \right|_0^\pi = - 2$.

Suy ra f(π) = −2 + f(0) = −2 + 2 = 0.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\int {{3^{2x}}dx = \int {{{\left( {{3^2}} \right)}^x}dx = \int {{9^x}dx} } }$

$= \frac{{{9^x}}}{{\ln 9}} + C$ = $\frac{{{9^x}}}{{2\ln 3}} + C$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx - \int\limits_8^3 {f\left( x \right)dx} }$

$= \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx + \int\limits_3^8 {f\left( x \right)dx} } = \int\limits_1^8 {f\left( x \right)dx}$.

Suy ra $\int\limits_1^8 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^8 {4\sqrt[3]{x}dx}$

$$= 4\int\limits_1^8 {{x^{\frac{1}{3}}}dx = \left. {3x\sqrt[3]{x}} \right|_1^8}$$

= 48 – 3 = 45.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx = \int\limits_0^1 {{{\left( {3x - 1} \right)}^2}dx} }$

= $\int\limits_0^1 {\left( {9{x^2} - 6x + 1} \right)dx}$

= $\left. {\left( {3{x^3} - 3{x^2} + x} \right)} \right|_0^1 = 1$.

$${\left[ {\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} } \right]^2} = {\left[ {\int\limits_0^1 {\left( {3x - 1} \right)dx} } \right]^2}$$

$= {\left[ {\left. {\left( {\frac{3}{2}{x^2} - x} \right)} \right|_0^1} \right]^2} = \frac{1}{4}$.

Nhận thấy 1 = 4. $\frac{1}{4}$ hay $\int\limits_0^1 {{f^2}\left( x \right)dx = 4{{\left[ {\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} } \right]}^2}}$.

Vậy a = 4.

Đáp án đúng là: B

Theo đề ta có: f(1) = 1 và f*'*(x) = 1 – 4x.

Ta có: $f\left( 3 \right) - f\left( 1 \right) = \int\limits_1^3 {f'\left( x \right)dx}$

$$= \int\limits_1^3 {\left( {1 - 4x} \right)dx}$$

$= \left. {\left( {x - 2{x^2}} \right)} \right|_1^3 = - 14$.

Suy ra f(3) = −14 + f(1) = −14 + 1 = −13.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$$\int\limits_1^3 {\left[ {3{x^2} - 2f'\left( x \right)} \right]dx} = \int\limits_1^3 {3{x^2}dx - 2\int\limits_1^3 {f'\left( x \right)dx} }$$

$$= \left. {{x^3}} \right|_1^3 - \left. {2f\left( x \right)} \right|_1^3$$

= 26 – 2[f(3) − f(1)] = 4.

Mà f(1) = −2 nên 26 – 2[f(3) + 2] = 4 suy ra f(3) = 9.

a) Đ

b) S

c) Đ

d) S

a) Giả sử hàm F(x) = G(x) = ax$^{3}$ + bx$^{2}$ + cx + d

Suy ra F*'(x) = f(x) = 3ax$^{2}$ + 2bx + c ; G'*(x) = g(x) = 3ax$^{2}$ + 2bx + c.

Do đó, nếu F(x) = g(x) thì f(x) = g(x).

b) Giả sử f(x) = g(x) = 3ax$^{2}$ + 2bx + c.

Lúc này$\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + {C_1},{\rm{ }}{C_1} \in \mathbb{R}}$;

Tồn tại trường hợp C$_{1}$ ≠ C$_{2}$ nên không thể khẳng định nếu f(x) = g(x) thì F(x) = G(x).

c) $\int {f\left( x \right)dx = F\left( x \right) + C,{\rm{ }}C \in \mathbb{R}.}$$\int {g\left( x \right)dx = G\left( x \right) + {C_2},{\rm{ }}{C_2} \in \mathbb{R}.}$

d) F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K do đó F*'(x) = f(x) và F''(x) = f'*(x).

Do đó, $\int {f'\left( x \right)dx = f\left( x \right) + C,{\rm{ }}C \in \mathbb{R}.}$ Do đó d) sai.

a) S

b) Đ

c) Đ

d) S

a) Quan sát đồ thị, hàm số y = f(x) = ax$^{2}$ + bx + c (a ≠ 0) đi qua các điểm (0; 4), (2; 0), (−2; 0).

Giải hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{array}{l}a{.0^2} + b.0 + c = 4\\a{.2^2} + b.2 + c = 0\\a.{\left( { - 2} \right)^2} + b.\left( { - 2} \right) + c = 0\end{array} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 4\\4a + 2b = - 4\\4a - 2b = - 4\end{array} \right.$$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 0\\c = 4\end{array} \right.$.

Do đó y = f(x) = 4 – x$^{2}$.

Ta có diện tích hình phẳng đó là:

$$S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|} dx$$

$$= \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {4 - {x^2}} \right|} dx = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx}$$

$= \left. {\left( {4x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 2}^2 = \frac{{32}}{3}$.

Theo đề bài, ta có: f(−1) = 1 và f*'*(x) = 3x$^{2}$ – 6x + 2.

Ta có $f\left( x \right) = \int {\left( {3{x^2} - 6x + 2} \right)dx = }$ x$^{3}$ – 3x$^{2}$ + 2x + C.

Mà f(−1) = 1 nên (−1)$^{3}$ – 3.(−1)$^{2}$ + 2.(−1) + C = 1 hay C = 7.

Vậy f(x) = x$^{3}$ – 3x$^{2}$ + 2x + 7.

a) Ta có: ${\int {\left( {3x - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)} ^2}dx = \int {\left( {9{x^2} - \frac{6}{x} + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)} dx$

$$= \int {9{x^2}dx - \int {\frac{6}{x}dx + \int {\frac{1}{{{x^4}}}dx} } }$$

$= 3{x^3} - 6\ln \left| x \right| - \frac{1}{{3{x^3}}} + C$.

b) Ta có: $\int {\left( {7x\sqrt[3]{x} - \frac{1}{{\sqrt {{x^3}} }}} \right)} dx = \int {\left( {7{x^{\frac{4}{3}}} - {x^{ - \frac{3}{2}}}} \right)dx}$

$$= 7.\frac{3}{7}{x^{\frac{7}{3}}} - \left( { - 2} \right){x^{ - \frac{1}{2}}} + C$$

$= 3{x^2}.\sqrt[3]{x} + \frac{2}{{\sqrt x }} + C$.

c) Ta có:

$${\int {\left( {{3^{2x}} - 1} \right)} ^2}dx = \int {{{\left( {{9^x} - 1} \right)}^2}dx = \int {\left( {{9^{2x}} - {{2.9}^x} + 1} \right)dx} }$$

$$= \int {\left( {{{81}^x} - {{2.9}^x} + 1} \right)dx}$$

$$= \frac{{{{81}^x}}}{{\ln 81}} - \frac{{{{2.9}^x}}}{{\ln 9}} + x + C$$

$= \frac{{{3^{4x}}}}{{4\ln 3}} + \frac{{{3^{2x}}}}{{\ln 3}} + x + C$.

d) Ta có:

$$\int {\left( {2 - 3{{\cos }^2}\frac{x}{2}} \right)} dx = \int {\left( {2 - 3.\frac{{1 + \cos x}}{2}} \right)dx}$$

$$= \int {\left( {2 - \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\cos x} \right)dx}$$

$$= \int {\left( {\frac{1}{2} - \frac{3}{2}\cos x} \right)} dx$$

$= \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}\sin x + C$.

a) Ta có: $\int\limits_1^2 {\frac{{{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}dx}$

$$= \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + x + 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)dx}$$

$$= \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + x + \ln \left| x \right| - \frac{1}{x}} \right)} \right|_1^2$$

$$= \ln 2 + \frac{{16}}{3}.$$

b) Ta có: $\int\limits_1^2 {\frac{{x{e^x} + 1}}{x}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {{e^x} + \frac{1}{x}} \right)dx}$

$$= \left. {\left( {{e^x} + \ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2$$

= e$^{2}$ − e + ln2.

c) Ta có:

$$\int\limits_0^1 {\frac{{{8^x} + 1}}{{{2^x} + 1}}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{2^x} + 1} \right)\left( {{4^x} - {2^x} + 1} \right)}}{{\left( {{2^x} + 1} \right)}}dx}$$

$$= \int\limits_0^1 {\left( {{4^x} - {2^x} + 1} \right)dx}$$

$$= \left. {\left( {\frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} - \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + x} \right)} \right|_0^1$$

$$= \frac{4}{{\ln 4}} - \frac{2}{{\ln 2}} + 1 - \frac{1}{{\ln 4}} + \frac{1}{{\ln 2}}$$

$= 1 + \frac{1}{{2\ln 2}}$.

d) Ta có:

$$\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{1 - {{\cos }^2}x}}dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}dx}$$

$$= \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} + 1} \right)dx}$$

$= \left. {\left( { - \cot x + x} \right)} \right|_{_{\frac{\pi }{4}}}^{\frac{\pi }{2}} = 1 + \frac{\pi }{4}$.

Ta có: $\int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx - \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} }$ = 6 – 3 = 3.

$\int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx + \int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} }$ = 4 + 3 = 7.

Vậy $\int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx} = 7.$

Quan sát đồ thị, ta thấy f(1) = 2 và f(−1) = −1.

Ta có: $\int\limits_{ - 1}^1 {f'\left( x \right)dx} = \left. {f\left( x \right)} \right|_{ - 1}^1$ = f(1) – f(−1) = 2 – (−1) = 3.

Ta có: f(2) – f(0) = $\int\limits_0^2 {f'\left( x \right)dx}$

$$= \int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx + \int\limits_1^2 {f'\left( x \right)dx} }$$

$$= \int\limits_0^1 {\left( {4 - 3{x^2}} \right)dx + \int\limits_1^2 {1dx} }$$

$= \left. {\left( {4x - {x^3}} \right)} \right|_0^1 + \left. x \right|_1^2 = 4$.

Vậy f(2) – f(0) = 4.

Ta có: $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {3\cos x + 2f'\left( x \right)} \right]dx}$

$$= \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {3\cos xdx} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2f'\left( x \right)dx}$$

$$= \left. {3\sin x} \right|_0^{^{\frac{\pi }{2}}} + \left. {2f\left( x \right)} \right|_0^{^{\frac{\pi }{2}}}$$

$= 3 + 2f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - 2f\left( 0 \right) = - 5$.

Mà f(0) = 1 suy ra $3 + 2f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - 2 = - 5$ hay $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - 3$.

Ta có: $S = \int\limits_0^4 {\sqrt x dx = \int\limits_0^4 {{x^{\frac{1}{2}}}dx = \left. {\frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} } \right|_0^4} } = \frac{{16}}{3}.$

$${S_1} = \int\limits_0^a {\sqrt x } dx = \left. {\frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} } \right|_0^a = \frac{2}{3}\sqrt {{a^3}}$$

Đường thẳng x = a (0 < a< 4) chia D thành hai phần có diện tích bằng nhau nên

$${S_1} = \frac{S}{2} \Leftrightarrow \frac{2}{3}\sqrt {{a^3}} = \frac{8}{3}$$

$$\Leftrightarrow \sqrt {{a^3}} = 4$$

$\Leftrightarrow {a^3} = 16 \Leftrightarrow a = 2\sqrt[3]{2}$.

Ta có thể tích khối tròn xoay đó là:

$$V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^2}dx = } \pi \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {1 + 2{x^2} + {x^4}} \right)dx}$$

$$= \left. {\pi \left( {x + \frac{2}{3}{x^3} + \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \frac{{56\pi }}{{15}}.$$

Ta có thể tích khối tròn xoay đó là:

$$V = \pi \int\limits_0^9 {{{\left( {1 - \frac{{\sqrt x }}{4}} \right)}^2}dx}$$

= ${\rm{ }}\pi \int\limits_0^9 {\left( {1 - \frac{1}{2}\sqrt x + \frac{1}{{16}}x} \right)dx}$

$= \left. {\pi \left( {x - \frac{1}{3}x\sqrt x + \frac{1}{{32}}{x^2}} \right)} \right|_0^9 = \frac{{81\pi }}{{32}}$.

Vậy $V = \frac{{81\pi }}{{32}} \approx 7{,}95$ (m).

a) Ta có:

Mà v(0) = v$_{0}$ = 5 nên 3.0 + C = 5 hay C = 5.

Suy ra v(t) = 3t + 5 (m/s), do đó v(5) = 3.5 + 5 = 20 (m/s).

b) Quãng đường xe đi được trong 5 giây đầu kể từ khi tăng tốc là:

$s = \int\limits_0^5 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^5 {\left( {3t + 5} \right)dt} = \left. {\left( {\frac{3}{2}{t^2} + 5t} \right)} \right|_0^5$ = 62,5 (m).

a) Ta có: $y'\left( t \right) = {\left[ {\ln N\left( t \right)} \right]^\prime }$

$$= \frac{{N'\left( t \right)}}{{N\left( t \right)}} = \frac{{0{,}2N\left( t \right)}}{{N\left( t \right)}} = 0{,}2.$$

Suy ra $y\left( t \right) = \int {y'\left( t \right)dt = \int {0{,}2dt = 0{,}2t + C.} }$

Do đó, lnN(t) = 0,2t + C, suy ra N(t) = e$^{0{,}2t}$$^{+ C}$ = C$_{0}$.e$^{0{,}2}$ (với C$_{0}$ = e$^{C}$).

Ta có: N(0) = 2 000, suy ra C$_{0}$ = 2 000.

Do đó, N(t) = 2 000.e$^{0{,}2t}$, 0 ≤ t ≤ 5.

b) Ta có: N(3) = 2 000. e$^{0{,}2.3}$ ≈ 3 600 (cá thể).