Giải SBT Toán 12 Bài 6. Vectơ trong không gian

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối phân biệt thuộc tập {S, A, B, C, D}:

a) Những vectơ nào có điểm đầu là S?

b) Những vectơ nào có giá nằm trong mặt phẳng (SAB)?

c) Vectơ nào là vectơ đối của vectơ $\overrightarrow {BC}$?

a) Ta có tứ giác ACC*'A'* là hình bình hành nên AC // A*'C'*, suy ra $\overrightarrow {A'C'}$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow {AC}$.

Do đó, các vec tơ $\overrightarrow {CA}$, $\overrightarrow {A'C'}$ và $\overrightarrow {C'A'}$ cũng cùng phương với $\overrightarrow {AC}$.

Vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow {AC}$ là: $\overrightarrow {CA}$, $\overrightarrow {A'C'}$ và $\overrightarrow {C'A'}$.

b) Tứ giác ABC*'D'* là hình bình hành nên $\overrightarrow {AD'} = \overrightarrow {BC'}$.

c) Vectơ đối của vectơ $\overrightarrow {AA'}$ là: $\overrightarrow {A'A}$, $\overrightarrow {B'B}$, $\overrightarrow {C'C}$, $\overrightarrow {D'D}$.

a) Ta có tam giác ABD vuông tại cân tại A và AB = AD = 1,

Suy ra $\left| {\overrightarrow {BD} } \right|$ = BD = $\sqrt {A{B^2} + A{D^2}}$= $\sqrt 2$.

b) Tam giác CDD' vuông tại D có CD = AB = 1, DD' = AA' = 2.

Do đó, $\left| {\overrightarrow {CD'} } \right|$ = CD' = $\sqrt 5$.

c) Do AB = AD = 1 nên đáy ABCD là hình vuông, suy ra AC = BD = $\sqrt 2$.

Tam giác ACC' vuông tại C, có AC = $\sqrt 2$ và CC' = 2.

Suy ra $\left| {\overrightarrow {AC'} } \right|$ = AC' = $\sqrt {C{{C'}^2} + A{C^2}}$ = $\sqrt 6$.

a) Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} =$$\overrightarrow {AC}$ + $\overrightarrow {CD}$ = $\overrightarrow {AD}$ = $\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {ED}$ = $\overrightarrow {AE} - \overrightarrow {DE}$.

Vậy $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {DE}$.

b) Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {ED}$

⇒ $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {ED}$

⇔ $\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {ED} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {BD}$

⇔ $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {BD}$

Vậy ta có đpcm.

c) Ta có: $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {ED}$

⇒ $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {ED}$

⇔ $\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {ED} = \overrightarrow {BE} - \overrightarrow {CD}$

⇔ $\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {BE} - \overrightarrow {CD}$

Vậy ta có đpcm.

a) Ta có: $\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DF}$

= −$\overrightarrow {AE}$ + $\overrightarrow {AD}$ − $\overrightarrow {FD}$

= $\overrightarrow {AD}$− $\frac{1}{3}\overrightarrow {AB}$ − $\frac{2}{3}\overrightarrow {CD}$.

Vậy $\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD}$.

b) Ta có: $\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CF}$

= $\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD}$.

Vậy $\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {BC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD}$.

c) Từ câu a và b, ta có:

$3\overrightarrow {EF} = \left( {\overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} } \right) + 2\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} } \right)$

= $\overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD}$ + $\frac{4}{3}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {CB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {CD}$

= $\overrightarrow {AD}$ + $\left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AB} } \right)$ + $\left( { - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} } \right)$ + $2\overrightarrow {CB}$

= $\overrightarrow {AD}$ + $2\overrightarrow {CB}$ + $\overrightarrow {AB}$

⇒ $\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}$.

Vậy ta có đpcm.