TopStudy

Đáp án và lời giải

Giải SBT Toán 12 Bài 6. Vectơ trong không gian

Về trang đề

Câu 1

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hình minh hoạ

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD. Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối phân biệt thuộc tập {S, A, B, C, D}:

a) Những vectơ nào có điểm đầu là S?

b) Những vectơ nào có giá nằm trong mặt phẳng (SAB)?

c) Vectơ nào là vectơ đối của vectơ BC→\overrightarrow {BC}?

Câu 2

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hình minh hoạ

a) Ta có tứ giác ACC*'A'* là hình bình hành nên AC // A*'C'*, suy ra A′C′→\overrightarrow {A'C'} cùng phương với vectơ AC→\overrightarrow {AC}.

Do đó, các vec tơ CA→\overrightarrow {CA}, A′C′→\overrightarrow {A'C'} và C′A′→\overrightarrow {C'A'} cũng cùng phương với AC→\overrightarrow {AC}.

Vectơ cùng phương với vectơ AC→\overrightarrow {AC} là: CA→\overrightarrow {CA}, A′C′→\overrightarrow {A'C'} và C′A′→\overrightarrow {C'A'}.

b) Tứ giác ABC*'D'* là hình bình hành nên AD′→=BC′→\overrightarrow {AD'} = \overrightarrow {BC'}.

c) Vectơ đối của vectơ AA′→\overrightarrow {AA'} là: A′A→\overrightarrow {A'A}, B′B→\overrightarrow {B'B}, C′C→\overrightarrow {C'C}, D′D→\overrightarrow {D'D}.

Câu 3

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hình minh hoạ

a) Ta có tam giác ABD vuông tại cân tại A và AB = AD = 1,

Suy ra ∣BD→∣\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD = AB2+AD2\sqrt {A{B^2} + A{D^2}}= 2\sqrt 2.

b) Tam giác CDD' vuông tại D có CD = AB = 1, DD' = AA' = 2.

Do đó, ∣CD′→∣\left| {\overrightarrow {CD'} } \right| = CD' = 5\sqrt 5.

c) Do AB = AD = 1 nên đáy ABCD là hình vuông, suy ra AC = BD = 2\sqrt 2.

Tam giác ACC' vuông tại C, có AC = 2\sqrt 2 và CC' = 2.

Suy ra ∣AC′→∣\left| {\overrightarrow {AC'} } \right| = AC' = CC′2+AC2\sqrt {C{{C'}^2} + A{C^2}} = 6\sqrt 6.

Câu 4

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Ta có: AB→+BC→+CD→=\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} =AC→\overrightarrow {AC} + CD→\overrightarrow {CD} = AD→\overrightarrow {AD} = AE→+ED→\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {ED} = AE→−DE→\overrightarrow {AE} - \overrightarrow {DE}.

Vậy AB→+BC→+CD→=AE→−DE→\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {DE}.

b) Ta có: AB→+BD→=AD→=AE→+ED→\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {ED}

⇒ AB→+BD→=AE→+ED→\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {ED}

⇔ AB→−ED→=AE→−BD→\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {ED} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {BD}

⇔ AB→+DE→=AE→−BD→\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {BD}

Vậy ta có đpcm.

c) Ta có: BC→+CD→=BD→=BE→+ED→\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {ED}

⇒ BC→+CD→=BE→+ED→\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {ED}

⇔ BC→−ED→=BE→−CD→\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {ED} = \overrightarrow {BE} - \overrightarrow {CD}

⇔ BC→+DE→=BE→−CD→\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DE} = \overrightarrow {BE} - \overrightarrow {CD}

Vậy ta có đpcm.

Câu 5

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hình minh hoạ

a) Ta có: EF→=EA→+AD→+DF→\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DF}

= −AE→\overrightarrow {AE} + AD→\overrightarrow {AD} − FD→\overrightarrow {FD}

= AD→\overrightarrow {AD}− 13AB→\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} − 23CD→\frac{2}{3}\overrightarrow {CD}.

Vậy EF→=AD→−13AB→−23CD→\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD}.

b) Ta có: EF→=EB→+BC→+CF→\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {EB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CF}

= 23AB→+CB→+13CD→\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD}.

Vậy EF→=BC→+23AB→+13CD→\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {BC} + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD}.

c) Từ câu a và b, ta có:

3EF→=(AD→−13AB→−23CD→)+2(23AB→+CB→+13CD→)3\overrightarrow {EF} = \left( {\overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} } \right) + 2\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CD} } \right)

= AD→−13AB→−23CD→\overrightarrow {AD} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} + 43AB→+2CB→+23CD→\frac{4}{3}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {CB} + \frac{2}{3}\overrightarrow {CD}

= AD→\overrightarrow {AD} + (−13AB→+43AB→)\left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{4}{3}\overrightarrow {AB} } \right) + (−23CD→+23CD→)\left( { - \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {CD} } \right) + 2CB→2\overrightarrow {CB}

= AD→\overrightarrow {AD} + 2CB→2\overrightarrow {CB} + AB→\overrightarrow {AB}

⇒ EF→=13AD→+23BC→+13AB→\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB}.

Vậy ta có đpcm.

Câu 6

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hình minh hoạ

a) Xét tam giác AMN, ta có: AE = 23\frac{2}{3}AM, AF = 23\frac{2}{3}AN (E, F là trọng tâm tam giác ABC, ABD).

Theo định lí Thales đảo suy EF // MN và EF = 23\frac{2}{3}MN.

Vì EF→\overrightarrow {EF} và MN→\overrightarrow {MN} cùng hướng nên EF→=23MN→\overrightarrow {EF} = \frac{2}{3}\overrightarrow {MN}.

b) Xét tam giác BCD, có M, N là trung điểm CB, DB nên MN là đường trung bình của tam giác.

Ta có: MN // CD và MN = 12\frac{1}{2}CD.

CD→\overrightarrow {CD} và MN→\overrightarrow {MN} cùng hướng nên MN→=12CD→\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CD}.

Do đó, EF→=23MN→=23.12CD→=13CD→\overrightarrow {EF} = \frac{2}{3}\overrightarrow {MN} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {CD} = \frac{1}{3}\overrightarrow {CD}.

Vậy EF→=13CD→\overrightarrow {EF} = \frac{1}{3}\overrightarrow {CD}.

Câu 7

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Gọi vectơ thể hiện độ dịch chuyển của thang máy từ tầng 10 lên tầng 26 là a→\overrightarrow a.

Gọi vectơ thể hiện độ dịch chuyển của thang máy từ tầng 26 xuống tầng 18 là b→\overrightarrow b.

Khi đó, a→\overrightarrow a và b→\overrightarrow b cùng phương và ngược hướng.

Hơn nữa độ dài của a→\overrightarrow a bằng độ cao của 16 tầng, độ dài của b→\overrightarrow b bằng độ cao của 8 tầng, suy ra ∣a→∣=2∣b→∣\left| {\overrightarrow a } \right| = 2\left| {\overrightarrow b } \right|.

Từ cách lập luận trên suy ra a→=(−2)b→=−2b→\overrightarrow a = \left( { - 2} \right)\overrightarrow b = - 2\overrightarrow b.

Câu 8

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Các vectơ x→,y→,z→\overrightarrow x ,\overrightarrow y ,\overrightarrow z đôi một cùng phương vì giá của chúng đề vuông góc với mặt đất. Ba vectơ đó cùng hướng vì đều ngược hướng với trọng lực.

Ba vectơ đó có độ lớn bằng nhau vì trọng lực phân tán đều qua ba chân bàn.

Do đó x→=y→=z→\overrightarrow x = \overrightarrow y = \overrightarrow z.

Hai vectơ x→\overrightarrow x và u→\overrightarrow u cùng phương, ngược hướng và ∣x→∣=13∣u→∣\left| {\overrightarrow x } \right| = \frac{1}{3}\left| {\overrightarrow u } \right| nên x→=−13u→\overrightarrow x = - \frac{1}{3}\overrightarrow u.

Vậy x→=y→=z→=−13u→\overrightarrow x = \overrightarrow y = \overrightarrow z = - \frac{1}{3}\overrightarrow u.

Câu 9

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hình minh hoạ

a) Ta có: AD→=AC→−AB→=z→−y→\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} = \overrightarrow z - \overrightarrow y.

b) Ta có: AC′→=AA′→+AB→+AD→=x→+y→+(z→−y→)=x→+z→\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow x + \overrightarrow y + \left( {\overrightarrow z - \overrightarrow y } \right) = \overrightarrow x + \overrightarrow z.

c) Ta có: BD′→\overrightarrow {BD'} = BA→+BC→+BB′→\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BB'} = −AB→+AD→+AA′→- \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = −y→+(z→−y→)+x→\overrightarrow y + \left( {\overrightarrow z - \overrightarrow y } \right) + \overrightarrow x = x→−2y→+z→\overrightarrow x - 2\overrightarrow y + \overrightarrow z.

Câu 10

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Ta có: BB′→=AB′→−AB→\overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AB'} - \overrightarrow {AB} và DD′→=AD′→−AD→\overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AD'} - \overrightarrow {AD}.

Suy ra BB′→+DD′→=AB′→+AD′→−AB→−AD→\overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AD'} - \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD}.

b) Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB→+AD→=AC→\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}.

Vì tứ giác A*'B'C'D'* là hình bình hành nên AB′→+AD′→=AC′→\overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AD'} = \overrightarrow {AC'}.

Kết hợp với câu a suy ra BB′→+DD′→=AB′→+AD′→−AB→−AD→=AC′→−AC→\overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {AD'} - \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC'} - \overrightarrow {AC} = CC′→\overrightarrow {CC'}.

Câu 11

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hình minh hoạ

a) Ta có: (AB→,A′D′→)=(AB→,AD→)=BAC^=180∘−60∘=120∘\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {BAC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ.

Do đó, AB→.A′D′→=AB.A′D′.cos⁡(AB→,A′D′→)\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'D'} = AB.A'D'.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D'} } \right) = 1.1. cos120° = −12- \frac{1}{2}.

b) Ta có: AA' vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên (AA′→,BD→)\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BD} } \right) = 90°.

Do đó, AA′→.BD→\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BD} = AA'.BD.cos90° = 0.

c) Tam giác ABC có AB = BC = 1 và ABC^\widehat {ABC} = 60° nên tam giác ABC đều.

Do đó, BAC^\widehat {BAC} = 60° và AC = 1.

Ta có: (AB→,A′C′→)=(AB→,AC→)=BAC^\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 60° và AB→.A′C′→\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {A'C'} = AB.A'C'.cos60° = 1.1.12\frac{1}{2} = 12\frac{1}{2}.

Câu 12

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Ta có: (a→+b→)2{\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = a→2+2a→b→+b→2{\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a \overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2}= 12^{2} + 22^{2} + 2.1.2.cos45° = 5 + 22\sqrt 2.

b) Ta có: (a→+b→).(a→−b→)\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right).\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)= a→2−b→2{\overrightarrow a ^2} - {\overrightarrow b ^2} = 12^{2} – 22^{2} = −3.

c) Ta có: (2a→−b→).(a→+3b→)\left( {2\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right).\left( {\overrightarrow a + 3\overrightarrow b } \right) = 2a→2−3b→2+5a→.b→2{\overrightarrow a ^2} - 3{\overrightarrow b ^2} + 5\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2.12^{2} – 3.22^{2} + 5.1.2.cos45° = −10 + 525\sqrt 2.

Câu 13

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hình minh hoạ

Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // AC và MN = 12\frac{1}{2}AC.

Vì PQ là đường trung bình của tam giác ADC nên NP // AC và NP = 12\frac{1}{2}AC.

Do dó, MN // AC và MNPQ là hình bình hành.

Theo đề bài, G là giao điểm của MNPQ là hình bình hành và G là giao điểm MP và NQ nên G là trung điểm của mỗi đoạn thẳng đó.

Ta có: (GA→+GB→)+(GC→+GD→)\left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right) = 2GM→+2GP→2\overrightarrow {GM} + 2\overrightarrow {GP} = 2(GM→+GP→)\left( {\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} } \right) = 2.0→\overrightarrow 0 = 0→\overrightarrow 0.

Câu 14

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hình minh hoạ

a) Do hai vectơ AC→\overrightarrow {AC} và B′D′→\overrightarrow {B'D'} vuông góc với nhau nên AC→.B′D′→\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {B'D'} = 0

b) Ta có: BD→.B′C′→\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {B'C'} = BD→.BC→\overrightarrow {BD} .\overrightarrow {BC} = BD.BD.cos45° = a.a2\sqrt 2.cos45° = a2^{2}.

c) Ta có: A′B′→.AC′→\overrightarrow {A'B'} .\overrightarrow {AC'} = AB→.AC′→\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC'}

= AB→.(AA′→+AC→)\overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AC} } \right)

= AB→.AA′→+AB→.AC→\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}

= 0 + AB.AC.cos45° = a.a2\sqrt 2.22\frac{{\sqrt 2 }}{2} = a2^{2}.

Câu 15

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Hình minh hoạ

Ta có: SA→.BC→=SA→(SC→−SB→)\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SA} \left( {\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} } \right)

= SA→.SC→−SA→.SB→\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB}

= SA.SC.cosASC^\widehat {ASC} − SA.SB.cosASB^\widehat {ASB}

= 0.

SB→.AC→\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} = SB→(SC→−SA→)\overrightarrow {SB} \left( {\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} } \right)

= SB→.SC→−SA→.SB→\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB}

= SC.SB.cosBSC^\widehat {BSC} − SA.SB.cosASB^\widehat {ASB}

= 0.

SC→.AB→\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} = SC→(SB→−SA→)\overrightarrow {SC} \left( {\overrightarrow {SB} - \overrightarrow {SA} } \right)

= SB→.SC→−SA→.SC→\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC}

= SC.SB.cosBSC^\widehat {BSC} − SA.SC.cosASC^\widehat {ASC}

= 0.

Vậy SA→.BC→=SB→.AC→=SC→.AB→=0\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} = 0.