Giải SBT Toán 12 Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Quan sát đồ thị, ta thấy:

Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm x$_{8}$.

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm x$_{7}$.

Hàm số đạt cực đại tại điểm x$_{6}$.

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x$_{4}$ và x$_{7}$.

a) y = 3x$^{4}$ – 4x$^{3}$

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y*'* = 12x$^{3}$ – 12x$^{2}$

y*'* = 0 ⇔ 12x$^{3}$ – 12x$^{2}$ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.

Từ bảng biến thiên, ta được $\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y = y\left( 1 \right) = - 1$.

Hàn số không có giá trị lớn nhất.

b) $y = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}$, x > 1

Tập xác định: D = (1; +∞).

Ta có: y*'* = $\frac{{2x\left( {x - 1} \right) - {x^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$ = $\frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

y*'* = 0 ⇔ $\frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$ = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = 0.

Do x > 1 nên x = 0 loại.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên, ta được: $\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} y = y\left( 2 \right) = 4$.

Hàm số không có giá trị lớn nhất trên khoảng (1; +∞).

a) y = −x$^{3}$ + 3x$^{2}$ + 2

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y*'* = −3x$^{2}$ + 6x

y*'* = 0 ⇔ −3x$^{2}$ + 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số không có cả giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.

b) $y = \frac{x}{{{x^2} + 2}}$

Tập xác định: D = ℝ.

Ta có: y*'* = $\frac{{{x^2} + 2 - 2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}$ = $\frac{{2 - {x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}$

y*'* = 0 ⇔ $\frac{{2 - {x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}$ = 0 ⇔ x = ±$\sqrt 2$.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Từ bảng biến thiên, ta được:

$\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y = y\left( { - \sqrt 2 } \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{4}$; $\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} y = y\left( {\sqrt 2 } \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{4}$.

a) $f(x) = x\sqrt {4 - {x^2}}$, −2 ≤ x ≤ 2

Ta có: f*'*(x) = $\sqrt {4 - {x^2}} + \frac{{ - {x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}$ = $\frac{{4 - 2{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}$;

f*'*(x) = 0 ⇔ x = ±$\sqrt 2$.

Ta tính được các giá trị: f(−2) = f(2) = 0; f(−$\sqrt 2$) = −2; f($\sqrt 2$) = 2.

Do đó, $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - \sqrt 2 } \right) = - 2$; $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\sqrt 2 } \right) = 2$.

b) f(x) = x – cosx, $- \frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2}$

Ta có: f*'*(x) = 1 + sinx

f*'*(x) = 0 ⇔ 1 + sinx = 0 ⇔ x = $- \frac{\pi }{2} + k2\pi$ (k ∈ ℤ).

Do $- \frac{\pi }{2} \le x \le \frac{\pi }{2}$ nên x = $- \frac{\pi }{2}$ (với k = 0).

Ta tính được các giá trị: $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}$; $f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}$.

Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{\pi }{2}$, $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]} f\left( x \right) = f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}$.

Xét x ∈ (0; 2), ta có: f(x) = 2x – 1

f'(x) = 2 > 0 với mọi x ∈ (0; 2).

Mặt khác, ta có: f(0) = −1, f(2) = 3.

Xét x ∈ (2; 3), ta có: f(x) = x2 – 5x + 9

f'(x) = 2x – 5

f'(x) = 0 ⇔ x = $\frac{5}{2}$ (thỏa mãn).

Mặt khác, f$\left( {\frac{5}{2}} \right)$ = $\frac{{11}}{4}$; f(3) = 3.

Vậy $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right)$ = f(0) = −1; $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} f\left( x \right)$ = f(2) = f(3) = 3.