Giải SBT Toán 11 CTST Bài 1. Điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian có đáp án

a) ⦁ Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O = AC ∩ BD.

Ta có O ∈ AC, AC ⊂ (SAC) nên O ∈ (SAC)

O ∈ BD, BD ⊂ (SBD) nên O ∈ (SBD)

Do đó O ∈ (SAC) ∩ (SBD)

⦁ Lại có S ∈ (SAC) và S ∈ (SBD) nên S ∈ (SAC) ∩ (SBD)

Suy ra (SAC) ∩ (SBD) = SO.

Trong mặt phẳng (SBD), gọi I = EF ∩ SO.

Ta có I ∈ SO, SO ⊂ (SAC) nên I ∈ (SAC)

Vậy EF ∩ (SAC) = I.

b) ⦁ Trong mặt phẳng (SBD), gọi K = EF ∩ BD.

Ta có K ∈ EF, EF ⊂ (AEF) nên K ∈ (AEF);

K ∈ BD, BD ⊂ (ABCD) nên K ∈ (ABCD)

Do đó K ∈ (ABCD) ∩ (AEF).

Lại có A ∈ (ABCD) và ∈ (AEF) nên A = (ABCD) ∩ (AEF).

Suy ra (ABCD) ∩ (AEF) = AK.

⦁ Trong mặt phẳng (ABCD), gọi H = BC ∩ AK.

Ta có H ∈ AK, AK ⊂ (AEF) nên H ∈ (AEF).

Vậy BC ∩ (AEF) = H.

Ta có: I là giao điểm của DE và AB.

Suy ra:

⦁ I ∈ DE, mà DE ⊂ (DEF) nên I ∈ (DEF);

⦁ I ∈ AB, mà AB ⊂ (ABC) nên I ∈ (ABC).

Do đó I ∈ (DEF) ∩ (ABC).

Tương tự, ta có J, K cũng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng (DEF), (ABC).

Vậy I, J, K thẳng hàng.

Gọi O là giao điểm của HF và IG.

Ta có:

⦁ O ∈ HF, mà HF ⊂ (ACD), suy ra O ∈ (ACD);

⦁ O ∈ IG, mà IG ⊂ (BCD), suy ra O ∈ (BCD).

Do đó, O ∈ (ACD) ∩ (BCD) (1)

Mặt khác, (ACD) ∩ (BCD) = CD (2)

Từ (1) và (2), suy ra O ∈ CD.

Lại có O = HF ∩ IG nên O là giao điểm của ba đường thẳng CD, IG, HF.

Vậy ba đường thẳng CD, IG, HF cùng đi qua một điểm.

⦁ Ta có EF ⊂ (ABC) và EF ⊂ (EFG) nên (EFG) ∩ (ABC) = EF.

⦁ Trong mặt phẳng (ABC), gọi I là giao điểm của EF và BC.

Trong mặt phẳng (BCD), gọi H là giao điểm của IG và CD.

Ta có H ∈ IG, mà IG ⊂ (EFG) nên H ∈ (EFG)

Lại có F ∈ (EFG) nên FH ⊂ (EFG) (1)

Ta cũng có F ∈ AC, mà AC ⊂ (ACD)

H ∈ CD, mà CD ⊂ (ACD)

Do đó FH ⊂ (ACD) (2)

Từ (1) và (2) suy ra (EFG) ∩ (ACD) = FH.

⦁ Tương tự, ta cũng có:

HG ⊂ (EFG) và HG ⊂ (BCD) nên (EFG) ∩ (BCD) = HG;

GE ⊂ (EFG) và GE ⊂ (ABD) nên (EFG) ∩ (ABD) = GE.

Vậy (EFG) ∩ (ACD) = FH, (EFG) ∩ (BCD) = HG, (EFG) ∩ (ABD) = GE.