Ngân hàng đề / … / Lớp 11 / Toán / Toán 11 – Cánh diều / Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác / Các phép biến đổi lượng giác
Nội dung đề
Phần I. Tự luận
Cho hai góc a và b với tan a = 1 7 \frac{1}{7} 7 1 3 4 . \frac{3}{4}. 4 3 .
A. 1.
B. − 17 31 - \frac{{17}}{{31}} − 31 17
C. 17 31 \frac{{17}}{{31}} 31 17
D. – 1.
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Đáp án đúng là: A
Ta có tan ( a + b ) = tan a + tan b 1 − tan a . tan b = 1 7 + 3 4 1 − 1 7 . 3 4 = 25 28 25 28 = 1 \tan \left( {a + b} \right) = \frac{{\tan a + \tan b}}{{1 - \tan a.\tan b}} = \frac{{\frac{1}{7} + \frac{3}{4}}}{{1 - \frac{1}{7}.\frac{3}{4}}} = \frac{{\frac{{25}}{{28}}}}{{\frac{{25}}{{28}}}} = 1 tan ( a + b ) = 1 − t a n a . t a n b t a n a + t a n b = 1 − 7 1 . 4 3 7 1 + 4 3 = 28 25 28 25 = 1
Nếu sin α = 1 3 \sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }} sin α = 3 1 0 < α < π 2 0 < \alpha < \frac{\pi }{2} 0 < α < 2 π cos ( α + π 3 ) \cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) cos ( α + 3 π )
A. 6 6 − 1 2 \frac{{\sqrt 6 }}{6} - \frac{1}{2} 6 6 − 2 1
B. 6 − 3 \sqrt 6 - 3 6 − 3
C. 6 6 − 3 \frac{{\sqrt 6 }}{6} - 3 6 6 − 3
D. 6 − 1 2 \sqrt 6 - \frac{1}{2} 6 − 2 1
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Đáp án đúng là: A
Vì 0 < α < π 2 0 < \alpha < \frac{\pi }{2} 0 < α < 2 π 2 ^{2} 2 2 ^{2} 2
cos α = 1 − sin 2 α = 1 − ( 1 3 ) 2 = 6 3 \cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 6 }}{3} cos α = 1 − sin 2 α = 1 − ( 3 1 ) 2 = 3 6
Ta có cos ( α + π 3 ) \cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) cos ( α + 3 π ) = cos α cos π 3 − sin α sin π 3 = \cos \alpha \cos \frac{\pi }{3} - \sin \alpha \,\sin \frac{\pi }{3} = cos α cos 3 π − sin α sin 3 π = 6 3 . 1 2 − 1 3 . 3 2 = 6 6 − 1 2 = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{1}{2} - \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 6 }}{6} - \frac{1}{2} = 3 6 . 2 1 − 3 1 . 2 3 = 6 6 − 2 1
Nếu sin α = 2 3 \sin \alpha = \frac{2}{3} sin α = 3 2 P = ( 1 − 3 cos 2 α ) ( 2 + 3 cos 2 α ) P = \left( {1 - 3\cos 2\alpha } \right)\left( {2 + 3\cos 2\alpha } \right) P = ( 1 − 3 cos 2 α ) ( 2 + 3 cos 2 α )
A. 11 9 \frac{{11}}{9} 9 11
B. 12 9 \frac{{12}}{9} 9 12
C. 13 9 \frac{{13}}{9} 9 13
D. 14 9 \frac{{14}}{9} 9 14
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Đáp án đúng là: D
Ta có P = ( 1 − 3 cos 2 α ) ( 2 + 3 cos 2 α ) P = \left( {1 - 3\cos 2\alpha } \right)\left( {2 + 3\cos 2\alpha } \right) P = ( 1 − 3 cos 2 α ) ( 2 + 3 cos 2 α )
= [ 1 − 3 ( 1 − 2 sin 2 α ) ] [ 2 + 3 ( 1 − 2 sin 2 α ) ] = \left[ {1 - 3\left( {1 - 2{{\sin }^2}\alpha } \right)} \right]\left[ {2 + 3\left( {1 - 2{{\sin }^2}\alpha } \right)} \right] = [ 1 − 3 ( 1 − 2 sin 2 α ) ] [ 2 + 3 ( 1 − 2 sin 2 α ) ]
= ( − 2 + 6 sin 2 α ) ( 5 − 6 sin 2 α ) = \left( { - 2 + 6{{\sin }^2}\alpha } \right)\left( {5 - 6{{\sin }^2}\alpha } \right) = ( − 2 + 6 sin 2 α ) ( 5 − 6 sin 2 α )
= [ − 2 + 6. ( 2 3 ) 2 ] . [ 5 − 6. ( 2 3 ) 2 ] = 14 9 = \left[ { - 2 + 6.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} \right].\left[ {5 - 6.{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} \right] = \frac{{14}}{9} = [ − 2 + 6. ( 3 2 ) 2 ] . [ 5 − 6. ( 3 2 ) 2 ] = 9 14
Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau:
A. sin 4 x + cos 4 x = 3 − cos 4 x 4 {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 - \cos 4x}}{4} sin 4 x + cos 4 x = 4 3 − c o s 4 x
B. sin 4 x + cos 4 x = 3 + cos 4 x 4 {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 + \cos 4x}}{4} sin 4 x + cos 4 x = 4 3 + c o s 4 x
C. sin 4 x + cos 4 x = 3 + cos 4 x 2 {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 + \cos 4x}}{2} sin 4 x + cos 4 x = 2 3 + c o s 4 x
D. sin 4 x + cos 4 x = 3 − cos 4 x 2 {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 - \cos 4x}}{2} sin 4 x + cos 4 x = 2 3 − c o s 4 x
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Đáp án đúng là: B
Ta có sin4 ^{4} 4 4 ^{4} 4 2 ^{2} 2 2 ^{2} 2
= 1 – 2 (sin x cos x)2 ^{2} 2 1 − 2 ( sin 2 x 2 ) 2 = 1 − 2. sin 2 2 x 4 = 1 − 2 ( 1 − cos 2 2 x ) 4 1 - 2{\left( {\frac{{\sin 2x}}{2}} \right)^2} = 1 - 2.\frac{{{{\sin }^2}2x}}{4} = 1 - \frac{{2\left( {1 - {{\cos }^2}2x} \right)}}{4} 1 − 2 ( 2 s i n 2 x ) 2 = 1 − 2. 4 s i n 2 2 x = 1 − 4 2 ( 1 − c o s 2 2 x )
= 1 − 2 − 2 cos 2 2 x 4 = 4 − 2 + 2 cos 2 2 x 4 = 1 - \frac{{2 - 2{{\cos }^2}2x}}{4} = \frac{{4 - 2 + 2{{\cos }^2}2x}}{4} = 1 − 4 2 − 2 c o s 2 2 x = 4 4 − 2 + 2 c o s 2 2 x = 3 + ( 2 cos 2 2 x − 1 ) 4 = 3 + cos 4 x 4 = \frac{{3 + \left( {2{{\cos }^2}2x - 1} \right)}}{4} = \frac{{3 + \cos 4x}}{4} = 4 3 + ( 2 c o s 2 2 x − 1 ) = 4 3 + c o s 4 x
Vậy sin 4 x + cos 4 x = 3 + cos 4 x 4 {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{{3 + \cos 4x}}{4} sin 4 x + cos 4 x = 4 3 + c o s 4 x
Rút gọn biểu thức cos(120° – x) + cos(120° + x) – cos x ta được kết quả là:
A. – 2cos x.
B. – cos x.
C. 0.
D. sin x – cos x.
Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý
Đáp án đúng là: A
Ta có cos(120° – x) + cos(120° + x) – cos x
= cos 120° cos x + sin 120° sin x + cos 120° cos x – sin 120° sin x – cos x
= 2 cos 120° cos x – cos x
= 2 . ( − 1 2 ) \left( { - \frac{1}{2}} \right) ( − 2 1 )
= – cos x – cos x
= – 2 cos x.
Nếu cos a = 3 4 \cos a = \frac{3}{4} cos a = 4 3 cos a 2 cos a 2 \cos \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2} cos 2 a cos 2 a
A. 23 16 \frac{{23}}{{16}} 16 23
B. 7 8 \frac{7}{8} 8 7
C. 7 16 \frac{7}{{16}} 16 7
D. 23 8 \frac{{23}}{8} 8 23
Nếu cos a = 5 3 \cos a = \frac{{\sqrt 5 }}{3} cos a = 3 5 A = 4 sin ( a + π 3 ) sin ( a − π 3 ) A = 4\sin \left( {a + \frac{\pi }{3}} \right)\sin \left( {a - \frac{\pi }{3}} \right) A = 4 sin ( a + 3 π ) sin ( a − 3 π )
A. − 11 9 - \frac{{11}}{9} − 9 11
B. 11 9 \frac{{11}}{9} 9 11
C. − 1 9 - \frac{1}{9} − 9 1
D. 1 9 \frac{1}{9} 9 1
Nếu cos a = 1 3 , sin b = − 2 3 \cos a = \frac{1}{3},\,\,\sin b = \frac{{ - 2}}{3} cos a = 3 1 , sin b = 3 − 2
A. − 2 3 - \frac{2}{3} − 3 2
B. 1 3 \frac{1}{3} 3 1
C. 2 3 \frac{2}{3} 3 2
D. − 1 3 - \frac{1}{3} − 3 1
Giá trị của biểu thức P = sin π 9 + sin 5 π 9 cos π 9 + cos 5 π 9 P = \frac{{\sin \frac{\pi }{9} + \sin \frac{{5\pi }}{9}}}{{\cos \frac{\pi }{9} + \cos \frac{{5\pi }}{9}}} P = c o s 9 π + c o s 9 5 π s i n 9 π + s i n 9 5 π
A. 1 3 \frac{1}{{\sqrt 3 }} 3 1
B. − 1 3 - \frac{1}{{\sqrt 3 }} − 3 1
C. 3 \sqrt 3 3
D. − 3 - \sqrt 3 − 3
Rút gọn biểu thức A = sin x + sin 2 x + sin 3 x cos x + cos 2 x + cos 3 x A = \frac{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}}{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}} A = c o s x + c o s 2 x + c o s 3 x s i n x + s i n 2 x + s i n 3 x
A. tan x.
B. tan 3x.
C. tan 2x.
D. tan x + tan 2x + tan 3x.
Cho sin a = 2 3 \sin a = \frac{2}{3} sin a = 3 2 π 2 < a < π \frac{\pi }{2} < a < \pi 2 π < a < π
cos a, tan a;
Cho sin a = 2 3 \sin a = \frac{2}{3} sin a = 3 2 π 2 < a < π \frac{\pi }{2} < a < \pi 2 π < a < π
sin ( a + π 4 ) , cos ( a − 5 π 6 ) , tan ( a + 2 π 3 ) \sin \left( {a + \frac{\pi }{4}} \right),\,\cos \left( {a - \frac{{5\pi }}{6}} \right),\,\tan \left( {a + \frac{{2\pi }}{3}} \right) sin ( a + 4 π ) , cos ( a − 6 5 π ) , tan ( a + 3 2 π )
Cho sin a = 2 3 \sin a = \frac{2}{3} sin a = 3 2 π 2 < a < π \frac{\pi }{2} < a < \pi 2 π < a < π
sin 2a, cos 2a.
Cho cos a = 0,2 với π < a < 2π. Tính
sin a 2 \sin \frac{a}{2} sin 2 a ,
cos a 2 \cos \frac{a}{2} cos 2 a ,
tan a 2 \tan \frac{a}{2} tan 2 a .
Cho
tan a 2 = 1 2 \tan \frac{a}{2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} tan 2 a = 2 1 . Tính sin a, cos a, tan a.
Cho cos(a + 2b) = 2cos a. Chứng minh rằng: tan(a + b) tan b =
− 1 3 \frac{{ - 1}}{3} 3 − 1 .
Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:
tan A + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C (với điều kiện tam giác ABC không vuông);
Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:
tan A 2 . tan B 2 + tan B 2 . tan C 2 + tan C 2 . tan A 2 = 1 \tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}.\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2}.\tan \frac{A}{2} = 1 tan 2 A . tan 2 B + tan 2 B . tan 2 C + tan 2 C . tan 2 A = 1
Trên một mảnh đất hình vuông ABCD, bác An đặt một chiếc đèn pin tại vị trí A chiếu chùm sáng phân kì sang phía góc C. Bác An nhận thấy góc chiếu sáng của đèn pin giới hạn bởi hai tia AM và AN, ở đó các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh BC, CD sao cho BM = 1 2 \frac{1}{2} 2 1 1 3 \frac{1}{3} 3 1 Hình 4 ).
Tính tan ( B A M ^ + D A N ^ ) \tan \left( {\widehat {BAM} + \widehat {DAN}} \right) tan ( B A M + D A N )
Trên một mảnh đất hình vuông ABCD, bác An đặt một chiếc đèn pin tại vị trí A chiếu chùm sáng phân kì sang phía góc C. Bác An nhận thấy góc chiếu sáng của đèn pin giới hạn bởi hai tia AM và AN, ở đó các điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh BC, CD sao cho BM = 1 2 \frac{1}{2} 2 1 1 3 \frac{1}{3} 3 1 Hình 4 ).
Góc chiếu sáng của đèn pin bằng bao nhiêu độ?
Tất cả đề Các phép biến đổi lượng giác · Các bộ sách Toán Lớp 11
