Giải SBT Toán 10 CD Bài 2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có đáp án

Đáp án đúng là B

Ta xét hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x-2y<0(1) \\ x+3y>-2(2) \\ -x+y<3(3)\end{matrix}.$

+) Thay x = 1 và y = 0 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:

(1) ⇔ 1 – 2.0 < 0 ⇔ 1 < 0 (vô lí);

(2) ⇔ 1 + 3.0 > – 2 ⇔ 1 > – 2 (luôn đúng);

(3) ⇔ – 1 + 0 < 3 ⇔ – 1 < 3 (luôn đúng).

Do đó cặp số (1; 0) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay x = – 1 và y = 0 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:

(1) ⇔ – 1 – 2.0 < 0 ⇔ – 1 < 0 (luôn đúng);

(2) ⇔ – 1 + 3.0 > – 2 ⇔ – 1 > – 2 (luôn đúng);

(3) ⇔ 1 + 0 < 3 ⇔ 1 < 3 (luôn đúng).

Do đó cặp số (– 1; 0) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay x = – 2 và y = 3 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:

(1) ⇔ – 2 – 2.3 < 0 ⇔ – 8 < 0 (luôn đúng);

(2) ⇔ – 2 + 3.3 > – 2 ⇔ 7 > – 2 (luôn đúng);

(3) ⇔ 2 + 3 < 3 ⇔ 5 < 3 (vô lí).

Do đó cặp số (– 2; 3) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay x = 0 và y = – 1 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:

(1) ⇔ 0 – 2.(– 1) < 0 ⇔ 2 < 0 (vô lí);

(2) ⇔ 0 + 3.(– 1) > – 2 ⇔ – 3 > – 2 (vô lí);

(3) ⇔ 0 + (– 1) < 3 ⇔ – 1 < 3 (luôn đúng).

Do đó cặp số (0; – 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Vậy (– 1; 0) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Đáp án đúng là C

Xét hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y\le 2(1) \\ 2x-3y>-2(2)\end{matrix}.$

+) Thay x = 0 và y = 0 lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:

(1) ⇔ 0 + 0 ≤ 2 ⇔ 0 ≤ 2 (luôn đúng);

(2) ⇔ 2.0 – 3.0 > – 2 ⇔ 0 > – 2 (luôn đúng).

Do đó cặp số (0; 0) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay x = 1 và y = 1 lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:

(1) ⇔ 1 + 1 ≤ 2 ⇔ 2 ≤ 2 (luôn đúng);

(2) ⇔ 2.1 – 3.1 > – 2 ⇔ – 1 > – 2 (luôn đúng).

Do đó cặp số (1; 1) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay x = – 1 và y = 1 lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:

(1) ⇔ – 1 + 1 ≤ 2 ⇔ 0 ≤ 2 (luôn đúng);

(2) ⇔ 2.(– 1) – 3.1 > – 2 ⇔ – 5 > – 2 (vô lí).

Do đó cặp số (– 1; 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay x = – 1 và y = – 1 lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:

(1) ⇔ – 1 + (– 1) ≤ 2 ⇔ – 2 ≤ 2 (luôn đúng);

(2) ⇔ 2.(– 1) – 3.(– 1) > – 2 ⇔ 1 > – 2 (luôn đúng).

Do đó cặp số (– 1; – 1) là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Vậy cặp số (– 1; 1) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Đáp án đúng là D

Ta xét hệ bất phương trình $\{\begin{matrix}2x-5y>1(1) \\ 2x+y>-5(2) \\ x+y<-1(3)\end{matrix}$.

+) Thay x = 0 và y = 0 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:

(1) ⇔ 2.0 – 5.0 > 1 ⇔ 0 > 1 (vô lí);

(2) ⇔ 2.0 + 0 > – 5 ⇔ 0 > – 5 (luôn đúng);

(3) ⇔ 0 + 0 < – 1 ⇔ 0 < – 1 (vô lí).

Do đó cặp số (0; 0) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay x = 1 và y = 0 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:

(1) ⇔ 2.1 – 5.0 > 1 ⇔ 2 > 1 (luôn đúng);

(2) ⇔ 2.1 + 0 > – 5 ⇔ 2 > – 5 (luôn đúng);

(3) ⇔ 1 + 0 < – 1 ⇔ 1 < – 1 (vô lí).

Do đó cặp số (1; 0) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay x = 0 và y = 2 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:

(1) ⇔ 2.0 – 5.2 > 1 ⇔ – 10 > 1 (vô lí);

(2) ⇔ 2.0 + 2 > – 5 ⇔ 2 > – 5 (luôn đúng);

(3) ⇔ 0 + 2 < – 1 ⇔ 2 < – 1 (vô lí).

Do đó cặp số (0; 2) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay x = 0 và y = – 2 lần lượt vào các bất phương trình (1), (2) và (3) trong hệ, ta được:

(1) ⇔ 2.0 – 5.(– 2) > 1 ⇔ 10 > 1 (luôn đúng);

(2) ⇔ 2.0 + (– 2) > – 5 ⇔ – 2 > – 5 (luôn đúng);

(3) ⇔ 0 + (– 2) < – 1 ⇔ – 2 < – 1 (luôn đúng).

Do đó cặp số (0; – 2 ) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Đáp án đúng là A

+) Gọi d$_{1}$ là đường thẳng đi qua hai điểm A và D. Đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm (– 2; 0) và (0; 2) nên phương trình đường thẳng d là: $\frac{x}{-2}+\frac{y}{2}=1\Leftrightarrow x-y=-2$.

Lấy điểm O(0; 0) ta có 0 – 0 = 0 > – 2.

Mà điểm O thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nên ta có bất phương trình x – y ≥ – 2.

+) Gọi d$_{2}$ là đường thẳng đi qua hai điểm A và D. Đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm (4; 0) và (0; 4) nên phương trình đường thẳng d là: $\frac{x}{4}+\frac{y}{4}=1\Leftrightarrow x+y=4$.

Lấy điểm O(0; 0) ta có 0 + 0 = 0 < 4.

Mà điểm O thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nên ta có bất phương trình x + y ≤ 4.

+) Gọi d$_{3}$ là đường thẳng đi qua hai điểm B và C. Đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm (2; 0) và (0; – 2) nên phương trình đường thẳng d là: $\frac{x}{2}+\frac{y}{-2}=1\Leftrightarrow x-y=2$.

Lấy điểm O(0; 0) ta có 0 – 0 = 0 < 2.

Mà điểm O thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nên ta có bất phương trình x – y ≤ 2.

+) Gọi d$_{4}$ là đường thẳng đi qua hai điểm D và C. Đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm (– 1; 0) và (0; – 1) nên phương trình đường thẳng d là: $\frac{x}{-1}+\frac{y}{-1}=1\Leftrightarrow x+y=-1$.

Lấy điểm O(0; 0) ta có 0 + 0 = 0 > – 1.

Mà điểm O thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nên ta có bất phương trình x + y ≥ – 1.

Từ đó ta có hệ bất phương trình sau: $\{\begin{matrix}x-y\ge -2 \\ x+y\le 4 \\ x-y\le 2 \\ x+y\ge -1\end{matrix}$.

Đáp án đúng là B

Bài toán đã cho trở thành tìm nghiệm (x; y) của hệ bất phương trình $\{\begin{matrix}-2x+y\le 2 \\ -x+2y\ge 4 \\ x+y\le 5\end{matrix}$ sao cho biểu thức F = – x + y đạt giá trị nhỏ nhất.

Trước hết ta xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho:

Ta có ba đường thẳng: d$_{1}$: – 2x + y = 2; d$_{2}$: – x + 2y = 4 và d$_{3}$: x + y = 5.

+) Lấy O(0; 0) có – 2.0 + 0 = 0 < 2. Do đó miền nghiệm của bất phương trình – 2x + y ≤ 2 là nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) có bờ là đường thẳng d$_{1}$.

+) Lấy O(0; 0) có – 0 + 2.0 = 0 < 4. Do đó miền nghiệm của bất phương trình – x + 2y ≥ 4 là nửa mặt phẳng không chứa điểm O(0; 0) có bờ là đường thẳng d$_{2}$.

+) Lấy O(0; 0) có 0 + 0 = 0 < 5. Do đó miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 5 là nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) và có bờ là đường thẳng d$_{3}$.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC với A(0; 2), B(1; 4) và C(2; 3) như trong hình vẽ sau:

Ta đã chứng minh được biểu thức F = – x + y có giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh của tam giác ABC.

Tại điểm A, với x = 0, y = 2 thì F = – 0 + 2 = 2.

Tại điểm B, với x = 1, y = 4 thì F = – 1 + 4 = 3.

Tại điểm C, với x = 2, y = 3 thì F = – 2 + 3 = 1.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức F là 1 khi x = 2 và y = 3.