Giải SBT Toán 10 Bài 2. Tổng và hiệu của hai vectơ có đáp án

Gọi O là tâm hình thoi. O là trung điểm của AC và BD ( tính chất hình thoi).

⇒ $\overrightarrow{\text{OA​}}+\overrightarrow{\text{OC​}}=\overrightarrow{\text{0​}}và\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{\text{OD​}}=\overrightarrow{\text{0​}}$

Ta có:

$\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MC}}=\overrightarrow{\text{MO}}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{\text{MO}}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{\text{MO}}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{\text{MO}}=\overrightarrow{\text{MN}}.$

$\overrightarrow{\text{MB}}+\overrightarrow{\text{MD}}=\overrightarrow{\text{MO}}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{\text{MO}}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{\text{MO}}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{\text{MO}}=\overrightarrow{\text{MN}}.$

Vậy $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MC}}=\overrightarrow{\text{MB}}+\overrightarrow{\text{MD}}=\overrightarrow{\text{MN}}$

Theo quy tắc ba điểm, ta có: $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}$ = $\overrightarrow{\text{AC}}$

Tam giác ABC đều cạnh bằng a nên AC = a.

Do đó $|\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}|$ = $|\overrightarrow{AC}|$ = a.

Gọi M là trung điểm cạnh AC.

Ta có:

$\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{BC}}\text{​}$= $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{\text{AB}}=2\overrightarrow{\text{AB}}+2\overrightarrow{MA}=2(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{\text{AB}})=2\overrightarrow{MB}$

Vì MB là đường trung tuyến của tam giác đều ABC cạnh bằng a nên MB = $\frac{\text{a}\sqrt{\text{3}}}{2}$.

Do đó $|\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{BC}}\text{​}|$ = 2$|\overrightarrow{MB}|$ = a$\sqrt{3}$.

Vậy $|\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}|=a$ và $|\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{BC}}\text{​}|=a\sqrt{3}$.