Giải SBT Toán 10 Bài 2. Tổng và hiệu của hai vectơ có đáp án

Gọi O là tâm hình thoi. O là trung điểm của AC và BD ( tính chất hình thoi).

⇒ $\overrightarrow{\text{OA​}}+\overrightarrow{\text{OC​}}=\overrightarrow{\text{0​}}và\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{\text{OD​}}=\overrightarrow{\text{0​}}$

Ta có:

$\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MC}}=\overrightarrow{\text{MO}}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{\text{MO}}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{\text{MO}}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{\text{MO}}=\overrightarrow{\text{MN}}.$

$\overrightarrow{\text{MB}}+\overrightarrow{\text{MD}}=\overrightarrow{\text{MO}}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{\text{MO}}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{\text{MO}}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{\text{MO}}=\overrightarrow{\text{MN}}.$

Vậy $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MC}}=\overrightarrow{\text{MB}}+\overrightarrow{\text{MD}}=\overrightarrow{\text{MN}}$

Theo quy tắc ba điểm, ta có: $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}$ = $\overrightarrow{\text{AC}}$

Tam giác ABC đều cạnh bằng a nên AC = a.

Do đó $|\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}|$ = $|\overrightarrow{AC}|$ = a.

Gọi M là trung điểm cạnh AC.

Ta có:

$\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{BC}}\text{​}$= $\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{\text{AB}}=2\overrightarrow{\text{AB}}+2\overrightarrow{MA}=2(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{\text{AB}})=2\overrightarrow{MB}$

Vì MB là đường trung tuyến của tam giác đều ABC cạnh bằng a nên MB = $\frac{\text{a}\sqrt{\text{3}}}{2}$.

Do đó $|\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{BC}}\text{​}|$ = 2$|\overrightarrow{MB}|$ = a$\sqrt{3}$.

Vậy $|\overrightarrow{\text{AB}}+\overrightarrow{\text{BC}}|=a$ và $|\overrightarrow{\text{AB}}-\overrightarrow{\text{BC}}\text{​}|=a\sqrt{3}$.

d) Theo chứng minh trên ta có: $\overrightarrow{\text{DA}}$ – $\overrightarrow{\text{DB}}$ = $\overrightarrow{BA}$= $\overrightarrow{CD}$

⇒ $\overrightarrow{\text{DA}}-\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DC}}$ = $\overrightarrow{\text{CD}}$ + $\overrightarrow{DC}$ = $\overrightarrow{0}$.

Vậy $\overrightarrow{\text{DA}}-\overrightarrow{\text{DB}}+\overrightarrow{\text{DC}}$=$\overrightarrow{0}$.

Đặt tên các điểm trong hình vẽ, ta có:

Khi đó $|\overrightarrow{F}|=OB,|\overrightarrow{{F}_{1}}|=OA,|\overrightarrow{{F}_{2}}|=OC$

Vì lực $\overrightarrow{F}$ vuông góc với phương xy của cánh nên $\widehat{FOx}=90^{\circ}$.

Ta có: $\widehat{\text{COx}}=α=45^{\circ}$

⇒ $\widehat{BOC}=\widehat{\text{BOx}}-\widehat{COx}=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$

Xét tam giác BOC vuông tại C, có:

$cos\widehat{BOC}=\frac{OC}{OB}$ ⇔ cos45° = $\frac{\overrightarrow{|{\text{F}}_{\text{2}}|}}{\text{a}}$ ⇒ $|\overrightarrow{{\text{F}}_{2}}|$ = $|\overrightarrow{\text{F}}|$. cos45° = $\frac{\text{a}\sqrt{2}}{2}$.

$cos\widehat{BOC}=\frac{OC}{OB}$ ⇔ sin45° = $\frac{\overrightarrow{|{\text{F}}_{1}|}}{\text{a}}$ ⇒ $|\overrightarrow{{\text{F}}_{1}}|$ = $|\overrightarrow{\text{F}}|$. sin45° = $\frac{\text{a}\sqrt{2}}{2}$.

Vậy $|\overrightarrow{{\text{F}}_{2}}|=|\overrightarrow{{\text{F}}_{1}}|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Ta có: $\overrightarrow{\text{MA}}+\overrightarrow{\text{MD}}=\overrightarrow{0}$ suy ra M là trung điểm AD. Khi đó $|\overrightarrow{\text{MA}}|$= MA = $\frac{1}{2}$AD = $\frac{a}{2}$.

Và $\overrightarrow{\text{NB}}+\overrightarrow{\text{ND}}+\overrightarrow{\text{NC}}=\overrightarrow{0}$ suy ra N là trọng tâm tam giác BCD. Khi đó $|\overrightarrow{NO}|$ = NO = $\frac{1}{3}$CO = $\frac{1}{6}$CA.

Xét hình vuông ABCD, có: CA = $=\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}=\sqrt{{\text{a}}^{2}+{\text{a}}^{2}}=a\sqrt{2}$

Suy ra $|\overrightarrow{\text{NO}}|=\frac{1}{6}CA=\frac{1}{6}.a\sqrt{2}=\frac{\text{a}\sqrt{2}}{6}$.