Ngân hàng đề / … / Tốt nghiệp THPT / Toán / Toán Tốt nghiệp THPT / (2025) Tổng ôn Toán ôn thi tốt nghiệp có đáp án / Đề thi ôn tốt nghiệp THPT Toán có đáp án
Nội dung đề
Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn
Cho hàm số f ( x ) f\left( x \right) f ( x )
Giá trị cực đại của hàm số đã cho là
A
Đáp án A: 3 3 3
B
Đáp án B: − 2 - 2 − 2
C
Đáp án C: − 1 - 1 − 1
D
Đáp án D: 2 2 2
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án: A
Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số đã cho là 3. Chọn A .
Có bao nhiêu số nguyên
a a a sao cho hàm số
f ( x ) = x 3 + a x 2 + 3 x + 1 f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + 3x + 1 f ( x ) = x 3 + a x 2 + 3 x + 1 đồng biến trên
R \mathbb{R} R ?
A
Đáp án A: 0 0 0
B
Đáp án B: 3 3 3
C
Đáp án C: 6 6 6
D
Đáp án D: 7 7 7
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án: D
Ta có f ′ ( x ) = 3 x 2 + 2 a x + 3 f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2ax + 3 f ′ ( x ) = 3 x 2 + 2 a x + 3
Hàm số đồng biến trên R \mathbb{R} R f ′ ( x ) ≥ 0 f'\left( x \right) \ge 0 f ′ ( x ) ≥ 0 x ∈ R x \in \mathbb{R} x ∈ R ⇔ Δ ′ = a 2 − 3 ⋅ 3 ≤ 0 ⇔ − 3 ≤ a ≤ 3 \Leftrightarrow \Delta ' = {a^2} - 3 \cdot 3 \le 0 \Leftrightarrow - 3 \le a \le 3 ⇔ Δ ′ = a 2 − 3 ⋅ 3 ≤ 0 ⇔ − 3 ≤ a ≤ 3
Vậy có 7 số nguyên a a a Chọn D .
Trong không gian tọa độ
O x y z , Oxyz, O x yz , vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( P ) : 2 x − y + z + 3 = 0 \left( P \right):2x - y + z + 3 = 0 ( P ) : 2 x − y + z + 3 = 0 ?
A
Đáp án A: n 1 → = ( 2 ; − 1 ; 1 ) \overrightarrow {{n_1}} = \left( {2\,;\, - 1\,;\,\,1} \right) n 1 = ( 2 ; − 1 ; 1 )
B
Đáp án B: n 2 → = ( 2 ; 1 ; 1 ) \overrightarrow {{n_2}} = \left( {2\,;\,1\,;\,1} \right) n 2 = ( 2 ; 1 ; 1 )
C
Đáp án C: n 3 → = ( 2 ; − 1 ; 3 ) \overrightarrow {{n_3}} = \left( {2\,;\, - 1\,;\,3} \right) n 3 = ( 2 ; − 1 ; 3 )
D
Đáp án D: n 4 → = ( − 1 ; 1 ; 3 ) \overrightarrow {{n_4}} = \left( { - 1\,;\,1\,;\,3} \right) n 4 = ( − 1 ; 1 ; 3 )
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án: A
Mặt phẳng
( P ) : 2 x − y + z + 3 = 0 \left( P \right):2x - y + z + 3 = 0 ( P ) : 2 x − y + z + 3 = 0 có vectơ pháp tuyến là
n 1 → = ( 2 ; − 1 ; 1 ) \overrightarrow {{n_1}} = \left( {2\,;\, - 1\,;\,\,1} \right) n 1 = ( 2 ; − 1 ; 1 ) .
Chọn A .
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
y = f ( x ) = x 2 + x − 2 x 2 − 4 y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 4}} y = f ( x ) = x 2 − 4 x 2 + x − 2 là
A
Đáp án A: 0 0 0
B
Đáp án B: 1 1 1
C
Đáp án C: 2 2 2
D
Đáp án D: 3 3 3
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án: B
Tập xác định D = R \ { 2 ; − 2 } D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {2; - 2} \right\} D = R \ { 2 ; − 2 }
Ta có y = f ( x ) = x 2 + x − 2 x 2 − 4 = ( x − 1 ) ( x + 2 ) ( x − 2 ) ( x + 2 ) = x − 1 x − 2 y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{x - 2}} y = f ( x ) = x 2 − 4 x 2 + x − 2 = ( x − 2 ) ( x + 2 ) ( x − 1 ) ( x + 2 ) = x − 2 x − 1
lim x → 2 + f ( x ) = lim x → 2 + x − 1 x − 2 = + ∞ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - 1}}{{x - 2}} = + \infty x → 2 + lim f ( x ) = x → 2 + lim x − 2 x − 1 = + ∞ lim x → 2 − f ( x ) = lim x → 2 − x − 1 x − 2 = − ∞ \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x - 1}}{{x - 2}} = - \infty x → 2 − lim f ( x ) = x → 2 − lim x − 2 x − 1 = − ∞
lim x → − 2 + f ( x ) = lim x → − 2 + x − 1 x − 2 = 3 4 \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{x - 1}}{{x - 2}} = \frac{3}{4} x → − 2 + lim f ( x ) = x → − 2 + lim x − 2 x − 1 = 4 3 lim x → − 2 − f ( x ) = lim x → − 2 − x − 1 x − 2 = 3 4 \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{x - 1}}{{x - 2}} = \frac{3}{4} x → − 2 − lim f ( x ) = x → − 2 − lim x − 2 x − 1 = 4 3
Suy ra đồ thị hàm số y = f ( x ) y = f\left( x \right) y = f ( x ) x = 2 x = 2 x = 2 Chọn B .
Biết hàm số
F ( x ) F\left( x \right) F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số
f ( x ) = 4 x f\left( x \right) = {4^x} f ( x ) = 4 x và
F ( 1 ) = 1 ln 2 F\left( 1 \right) = \frac{1}{{\ln 2}} F ( 1 ) = l n 2 1 . Giá trị của
F ( 3 2 ) ⋅ ln 2 F\left( {\frac{3}{2}} \right) \cdot \ln 2 F ( 2 3 ) ⋅ ln 2 bằng
A
Đáp án A: 3 3 3
B
Đáp án B: 7 7 7
C
Đáp án C: 5 5 5
D
Đáp án D: 9 9 9
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án: A
Ta có ∫ f ( x ) d x = ∫ 4 x d x = 4 x ln 4 + C = 4 x 2 ln 2 + C \int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {{4^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + C = \frac{{{4^x}}}{{2\ln 2}} + C} ∫ f ( x ) d x = ∫ 4 x d x = l n 4 4 x + C = 2 l n 2 4 x + C F ( x ) = 4 x 2 ln 2 + C F\left( x \right) = \frac{{{4^x}}}{{2\ln 2}} + C F ( x ) = 2 l n 2 4 x + C
Vì F ( 1 ) = 2 ln 2 + C = 1 ln 2 F\left( 1 \right) = \frac{2}{{\ln 2}} + C = \frac{1}{{\ln 2}} F ( 1 ) = l n 2 2 + C = l n 2 1 C = − 1 ln 2 C = - \frac{1}{{\ln 2}} C = − l n 2 1 F ( 3 2 ) = 4 3 2 2 ln 2 − 1 ln 2 = 3 ln 2 F\left( {\frac{3}{2}} \right) = \frac{{{4^{\frac{3}{2}}}}}{{2\ln 2}} - \frac{1}{{\ln 2}} = \frac{3}{{\ln 2}} F ( 2 3 ) = 2 l n 2 4 2 3 − l n 2 1 = l n 2 3
Suy ra F ( 3 2 ) ⋅ ln 2 = 3 F\left( {\frac{3}{2}} \right) \cdot \ln 2 = 3 F ( 2 3 ) ⋅ ln 2 = 3 Chọn A .
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol
( P ) : y = f ( x ) = x 2 − 1 \left( P \right):y = f\left( x \right) = {x^2} - 1 ( P ) : y = f ( x ) = x 2 − 1 , trục tung và tiếp tuyến của
( P ) \left( P \right) ( P ) tại điểm
M ( − 1 ; 0 ) M\left( { - 1;0} \right) M ( − 1 ; 0 ) bằng
A
Đáp án A: 5 3 \frac{5}{3} 3 5
B
Đáp án B: 2 3 \frac{2}{3} 3 2
C
Đáp án C: 1 3 \frac{1}{3} 3 1
D
Đáp án D: 4 3 \frac{4}{3} 3 4
Bất phương trình
log 3 ( x 2 − x + 7 ) < 2 {\log _3}\left( {{x^2} - x + 7} \right) < 2 log 3 ( x 2 − x + 7 ) < 2 có tập nghiệm là khoảng
( a ; b ) \left( {a;b} \right) ( a ; b ) . Tính
b − a b - a b − a .
A
Đáp án A: b − a = − 1 b - a = - 1 b − a = − 1
B
Đáp án B: b − a = − 3 b - a = - 3 b − a = − 3
C
Đáp án C: b − a = 3 b - a = 3 b − a = 3
D
Đáp án D: b − a = 1 b - a = 1 b − a = 1
Cho hai biến có
A A A và
B B B có
P ( A ) = 0,7 ; P ( B ) = 0,5 P\left( A \right) = 0{,}7;P\left( B \right) = 0{,}5 P ( A ) = 0 , 7 ; P ( B ) = 0 , 5 và
P ( A ∪ B ) = 0,8 P\left( {A \cup B} \right) = 0{,}8 P ( A ∪ B ) = 0 , 8 . Xác suất của biến cố
A A A với điều kiện
B B B là
A
Đáp án A: 0,4 0{,}4 0 , 4
B
Đáp án B: 0,5 0{,}5 0 , 5
C
Đáp án C: 0,7 0{,}7 0 , 7
D
Đáp án D: 0,8 0{,}8 0 , 8
Trong không gian tọa độ
O x y z Oxyz O x yz , mặt cầu
( S ) \left( S \right) ( S ) có tâm
I ( 2 ; 1 ; − 1 ) I\left( {2;1; - 1} \right) I ( 2 ; 1 ; − 1 ) và đường kính 6 có phương trình là
A
Đáp án A: ( x − 2 ) 2 + ( y − 1 ) 2 + ( z + 1 ) 2 = 36 {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 36 ( x − 2 ) 2 + ( y − 1 ) 2 + ( z + 1 ) 2 = 36
B
Đáp án B: ( x − 2 ) 2 + ( y − 1 ) 2 + ( z + 1 ) 2 = 9 {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9 ( x − 2 ) 2 + ( y − 1 ) 2 + ( z + 1 ) 2 = 9
C
Đáp án C: ( x + 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( z − 1 ) 2 = 9 {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9 ( x + 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( z − 1 ) 2 = 9
D
Đáp án D: ( x + 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( z − 1 ) 2 = 36 {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36 ( x + 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( z − 1 ) 2 = 36
Dùng đồ thị hàm số y = − sin x y = - \sin x y = − sin x 2 sin x + 2 = 0 2\sin x + \sqrt 2 = 0 2 sin x + 2 = 0 − 3 π 2 ≤ x ≤ 3 π 2 - \frac{{3\pi }}{2} \le x \le \frac{{3\pi }}{2} − 2 3 π ≤ x ≤ 2 3 π
A
Đáp án A: 2 2 2
B
Đáp án B: 3 3 3
C
Đáp án C: 1 1 1
D
Đáp án D: 4 4 4
Thời gian thực hiện xong một thí nghiệm hóa học của học sinh lớp 12H được ghi lại ở bảng sau:
Thời gian (phút) [ 5 ; 6 ) \left[ {5;\,6} \right) [ 5 ; 6 ) [ 6 ; 7 ) \left[ {6;\,7} \right) [ 6 ; 7 ) [ 7 ; 8 ) \left[ {7;\,8} \right) [ 7 ; 8 ) [ 8 ; 9 ) \left[ {8;\,9} \right) [ 8 ; 9 ) [ 9 ; 10 ) \left[ {9;\,10} \right) [ 9 ; 10 ) Số học sinh 12 25 0 0 1
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là
A
Đáp án A: 5 5 5
B
Đáp án B: 4 4 4
C
Đáp án C: 2 2 2
D
Đáp án D: 1 1 1
Trong không gian
O x y z Oxyz O x yz , đường thẳng đi qua hai điểm
A ( − 1 ; 1 ; 0 ) A\left( { - 1;1;0} \right) A ( − 1 ; 1 ; 0 ) và
B ( 3 ; 2 ; − 1 ) B\left( {3;2; - 1} \right) B ( 3 ; 2 ; − 1 ) có phương trình tham số là
A
Đáp án A: { x = − 1 + 2 t y = 1 + t z = t \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 1 + t\\z = t\end{array} \right. ⎩ ⎨ ⎧ x = − 1 + 2 t y = 1 + t z = t
B
Đáp án B: { x = − 1 + 4 t y = 1 + t z = − t \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 4t\\y = 1 + t\\z = - t\end{array} \right. ⎩ ⎨ ⎧ x = − 1 + 4 t y = 1 + t z = − t
C
Đáp án C: { x = − 1 + 2 t y = 1 + t z = − t \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 1 + t\\z = - t\end{array} \right. ⎩ ⎨ ⎧ x = − 1 + 2 t y = 1 + t z = − t
D
Đáp án D: { x = − 1 + 4 t y = 1 + t z = t \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 4t\\y = 1 + t\\z = t\end{array} \right. ⎩ ⎨ ⎧ x = − 1 + 4 t y = 1 + t z = t
Phần II. Tự luận
Cho hàm số f ( x ) = 2 x − 1 x 2 + 2 f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + 2}} f ( x ) = x 2 + 2 2 x − 1
a) Đồ thị hàm số y = f ( x ) y = f\left( x \right) y = f ( x )
b) Hàm số f ( x ) f\left( x \right) f ( x ) x = 2 x = 2 x = 2
c) Với mọi x ∈ R x \in \mathbb{R} x ∈ R − 1 ≤ f ( x ) ≤ 1 2 - 1 \le f\left( x \right) \le \frac{1}{2} − 1 ≤ f ( x ) ≤ 2 1
d) Nếu − 1 < m ≤ 0 - 1 < m \le 0 − 1 < m ≤ 0 f ( x ) = m f\left( x \right) = m f ( x ) = m
Trong không gian O x y z Oxyz O x yz A ( 1 ; 2 ; 3 ) A\left( {1;2;3} \right) A ( 1 ; 2 ; 3 ) B ( 0 ; 1 ; − 6 ) B\left( {0;1; - 6} \right) B ( 0 ; 1 ; − 6 ) ( P ) : 4 x − y + 2 z + 13 = 0 \left( P \right):4x - y + 2z + 13 = 0 ( P ) : 4 x − y + 2 z + 13 = 0
a) Mặt phẳng ( P ) \left( P \right) ( P ) A A A
b) Đường thẳng Δ \Delta Δ A A A ( P ) \left( P \right) ( P ) { x = 1 + 4 t y = 2 + t z = 3 + 2 t \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 2 + t\\z = 3 + 2t\end{array} \right. ⎩ ⎨ ⎧ x = 1 + 4 t y = 2 + t z = 3 + 2 t
c) Điểm C ( − 3 ; 3 ; 1 ) C\left( { - 3;3;1} \right) C ( − 3 ; 3 ; 1 ) Δ \Delta Δ ( P ) \left( P \right) ( P )
d) Gọi d d d ( P ) \left( P \right) ( P ) d d d B B B A A A d d d d d d ( a ; b ; c ) \left( {a;b;c} \right) ( a ; b ; c ) a a a a + b + c = 6 a + b + c = 6 a + b + c = 6
Huấn luyện viên thống kê thời gian chạy cự li 200 m của hai vận động viên Hoa và Mai trong một đợt huấn luyện ở bảng sau.
Thời gian (giây) [ 23,7 ; 23,8 ) \left[ {23{,}7;\,23{,}8} \right) [ 23 , 7 ; 23 , 8 ) [ 23,8 ; 23,9 ) \left[ {23{,}8;\,23{,}9} \right) [ 23 , 8 ; 23 , 9 ) [ 23,9 ; 24 ) \left[ {23{,}9;\,24} \right) [ 23 , 9 ; 24 ) [ 24 ; 24,1 ) \left[ {24;\,24{,}1} \right) [ 24 ; 24 , 1 ) [ 24,1 ; 24,2 ) \left[ {24{,}1;\,24{,}2} \right) [ 24 , 1 ; 24 , 2 ) Số lần chạy của Hoa 11 15 7 0 5 Số lần chạy của Mai 28 18 4 0 0
a) Khoảng biến thiên thời gian chạy của hai vận động viên là như nhau.
b) Thành tích trung bình của Hoa đạt dưới 23,9 giây.
c) Nếu so sánh theo số trung bình thì thành tích của Hoa tốt hơn của Mai.
d) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì Mai có thành tích ổn định hơn Hoa.
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Một chiếc bát thủy tinh có bề dày của phần xung quanh là một khối tròn xoay, khi xoay hình phẳng D D D a a a O x y Oxy O x y D D D a a a O x Ox O x D D D y = x + 1 x y = x + \frac{1}{x} y = x + x 1 y = x y = x y = x x = 1 x = 1 x = 1 x = 4 x = 4 x = 4 làm tròn kết quả đến hàng phần mười )?
Khi đặt hệ tọa độ O x y z Oxyz O x yz ( S ) \left( S \right) ( S ) ( S ) \left( S \right) ( S ) x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z + 5 = 0 {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 5 = 0 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 4 y − 6 z + 5 = 0
Cho hình chữ nhật
A B C D ABCD A BC D có hai đỉnh di động trên đồ thị hàm số
y = 9 − x 2 y = 9 - {x^2} y = 9 − x 2 trên khoảng
( − 3 ; 3 ) \left( { - 3;3} \right) ( − 3 ; 3 ) , hai đỉnh còn lại nằm trên trục hoành (tham khảo hình vẽ). Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật
A B C D ABCD A BC D (
làm tròn kết quả đến hàng phần mười ).
Xác suất bắn trúng đích của xạ thủ hạng I là
0,8 0{,}8 0 , 8 và của xạ thủ hạng II là
0,7 0{,}7 0 , 7 . Chọn ngẫu nhiên 1 xạ thủ từ một nhóm gồm 4 xạ thủ hạng I và 6 xạ thủ hạng II. Xạ thủ này bắn một viên đạn và viên đạn đó trúng mục tiêu, tính xác suất để đó là xạ thủ hạng I (
làm tròn kết quả đến hàng phần trăm ).
Trong không gian
O x y z Oxyz O x yz , cho ba điểm
A ( − 1 ; 1 ; 2 ) , B ( 3 ; 2 ; 2 ) , C ( − 1 ; 6 ; 0 ) A\left( { - 1;1;2} \right),B\left( {3;2;2} \right),C\left( { - 1;6;0} \right) A ( − 1 ; 1 ; 2 ) , B ( 3 ; 2 ; 2 ) , C ( − 1 ; 6 ; 0 ) . Xét
M ( a ; b ; 0 ) M\left( {a;b;0} \right) M ( a ; b ; 0 ) trên mặt phẳng
( O x y ) \left( {Oxy} \right) ( O x y ) sao cho biểu thức
S = 2 M A + ∣ M B → + M C → ∣ S = 2MA + \left| {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| S = 2 M A + MB + MC đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó
a + b a + b a + b bằng bao nhiêu (
làm tròn kết quả đến hàng phần mười )?
Tất cả đề Đề thi ôn tốt nghiệp THPT Toán có đáp án · Các bộ sách Toán Tốt nghiệp THPT
