Toán · Tốt nghiệp THPT

Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 2. Cấp số cộng và cấp số nhân (Đề số 2)

22 câu · 90 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Làm bài

Nội dung đề

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 1

0,25 điểm

PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Cho cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_1} = 8$ và công sai $d = 3$ . Giá trị của ${u_2}$ bằng

Đáp án A: $\frac{8}{3}$ .
Đáp án B: $24$ .
Đáp án C: $5$ .
Đáp án D: $11$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Ta có

{u_2} = {u_1} + d = 11

. Chọn D.

Câu 2

0,25 điểm

Cho cấp số nhân

\left( {{u_n}} \right)

có số hạng đầu

{u_1} = 1

, công bội

q = 4

. Tìm tổng

7

số hạng đầu của cấp số nhân đã cho.

Đáp án A: $4\,\,096$ .
Đáp án B: $91$ .
Đáp án C: $5\,\,461$ .
Đáp án D: $\frac{{4\,\,096}}{2}$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Tổng $7$ số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là

${S_7} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^7}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1 \cdot \left( {1 - {4^7}} \right)}}{{1 - 4}} = 5\,\,461$ . Chọn C.

Câu 3

0,25 điểm

Cho cấp số cộng

\left( {{u_n}} \right)

có

{u_1} = \frac{1}{4}

và

d = - 2

. Tính số hạng thứ

3

của cấp số cộng đó.

Đáp án A: ${u_3} = \frac{{ - 15}}{4}$ .
Đáp án B: ${u_3} = \frac{{ - 13}}{4}$ .
Đáp án C: ${u_3} = \frac{{ - 5}}{4}$ .
Đáp án D: ${u_3} = - \frac{{21}}{4}.$

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Ta có

{u_3} = {u_1} + 2d = \frac{1}{4} + 2 \cdot \left( { - 2} \right) = - \frac{{15}}{4}

. Chọn A.

Câu 4

0,25 điểm

Cho cấp số cộng

\left( {{u_n}} \right)

có số hạng đầu

{u_1} = 87

, công sai

d = 3

. Tìm tổng

18

số hạng đầu của cấp số cộng đã cho.

Đáp án A: $1\,\,242$ .
Đáp án B: $4\,\,050$ .
Đáp án C: $2\,\,025$ .
Đáp án D: $2\,\,052$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Tổng $18$ số hạng đầu của cấp số cộng đã cho là

${S_{18}} = \frac{{18}}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {18 - 1} \right)d} \right] = 9\left( {2 \cdot 87 + 17 \cdot 3} \right) = 2\,\,025$ . Chọn C.

Câu 5

0,25 điểm

Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là

3;\,\,x;\,\,27;\,\, - 81;....

. Khi đó

x

bằng

Đáp án A: $81$ .
Đáp án B: $9$ .
Đáp án C: $- 81$ .
Đáp án D: $- 9$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: D

Vì $3\,;\,x\,;\,27$ liên tiếp tạo thành một cấp số nhân nên ${x^2} = 3 \cdot 27 \Leftrightarrow x = 9$ hoặc $x = - 9$ .

Vì $x\,;\,27\,;\, - 81$ liên tiếp tạo thành một cấp số nhân nên ${27^2} = x \cdot \left( { - 81} \right) \Leftrightarrow x = - 9$ .

Do đó $x = - 9$ . Chọn D.

Câu 6

0,25 điểm

Cấp số cộng

\left( {{u_n}} \right)

có số hạng tổng quát

{u_n} = 2n + 3

. Tính số hạng đầu

{u_1}

và công sai

d

của cấp số cộng.

Đáp án A: ${u_1} = 4,\,d = 2$ .
Đáp án B: ${u_1} = 0,\,d = 2$ .
Đáp án C: ${u_1} = 5,\,d = 2$ .
Đáp án D: ${u_1} = 3,\,d = 2$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 6

Câu 7

0,25 điểm

Cho cấp số nhân

\left( {{u_n}} \right)

biết

{S_1} = 2,\,{S_2} = 6

. Tìm

{u_5} - {u_3}

Đáp án A: $24$ .
Đáp án B: $26$ .
Đáp án C: $20$ .
Đáp án D: $22$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 7

Câu 8

0,25 điểm

Cho cấp số nhân

\left( {{u_n}} \right)

với

{u_1} = 3

và công bội

q = - 2

. Tìm giá trị của

n

biết số hạng tổng quát

{u_n} = - 1536

Đáp án A: n=8 .
Đáp án B: n=9.
Đáp án C: n=257 .
Đáp án D: n=10.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 8

Câu 9

0,25 điểm

Cho cấp số cộng

\left( {{u_n}} \right)

có

{u_1} = 3

và công sai

d = 7

. Hỏi kể từ số hạng thứ mấy trở đi thì các số hạng của

\left( {{u_n}} \right)

đều lớn hơn

2023

Đáp án A: $286$ .
Đáp án B: $287$ .
Đáp án C: $289$ .
Đáp án D: $290$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 9

Câu 10

0,25 điểm

Cho cấp số nhân

\left( {{u_n}} \right)

{u_n} = \frac{3}{5} \cdot {2^n}

với

n \ge 1

. Số hạng đầu tiên và công bội

q

của dãy là

Đáp án A: ${u_1} = \frac{6}{5};q = 3.$
Đáp án B: ${u_1} = \frac{6}{5};q = 5.$
Đáp án C: ${u_1} = \frac{6}{5};q = - 2.$
Đáp án D: ${u_1} = \frac{6}{5};q = 2.$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 10

Câu 11

0,25 điểm

Một cầu thang bằng gạch có tổng cộng 30 bậc. Để xây xong bậc dưới cùng cần 100 viên gạch. Mỗi bậc tiếp theo cần ít hơn hai viên gạch so với bậc ngay trước nó. Hỏi cần tất cả bao nhiêu viên gạch để xây xong cầu thang đó?

Đáp án A: 2 130.
Đáp án B: 2 100.
Đáp án C: 1 800.
Đáp án D: 1 956.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 11

Câu 12

0,25 điểm

Nếu một kĩ sư được một công ty thuê với mức lương hằng năm là 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hằng năm là 5% thì mức lương của người kĩ sư đó là bao nhiêu khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc tại công ty?

Đáp án A: $229{,}73$ triệu đồng.
Đáp án B: $208{,}373$ triệu đồng.
Đáp án C: $218{,}791$ triệu đồng.
Đáp án D: $241{,}217$ triệu đồng.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 12

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 13

1 điểm

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Có 3 số $4 - 2x;\,\;{x^2};\;4 + 2x$ $\left( {x > 0} \right)$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.

Ý a: $4 - 2x = \frac{{{x^2} + 4x + 2}}{2}$ .
Ý b: Giá trị của $x$ bằng $2$ .
Ý c: Công sai của cấp số cộng là $2$ .
Ý d: Số hạng tổng quát của cấp số cộng là ${u_n} = 4n - 4$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm

Cho cấp số cộng

\left( {{u_n}} \right)

có

{u_5} = 18

và

4{S_n} = {S_{2n}}

(trong đó

{S_n},{S_{2n}}

theo thứ tự là tổng của

n

và

2n

số hạng đầu của cấp số cộng).

Ý a: Số hạng đầu của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ bằng $2$ .
Ý b: Công sai của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ bằng $3$ .
Ý c: Số hạng ${u_{15}} = 58$ .
Ý d: Tổng 15 số hạng đầu của cấp số cộng bằng $350$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 14

Câu 15

1 điểm

Cho cấp số nhân

\left( {{u_n}} \right)

thoả mãn

\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_2} = - 6}\\{{u_2} + {u_3} = 12}\end{array}} \right.

Ý a: Số hạng ${u_3} = 18$ .
Ý b: Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân, thì ba số $q\,;\,{u_1}\,;\,7$ tạo thành một cấp số cộng.
Ý c: Số $13\,122$ là số hạng thứ 11 của cấp số nhân.
Ý d: Biết tổng $S = {u_{11}} + {u_{12}} + ... + {u_{50}}$ bằng $\frac{{a - {3^{50}}}}{2}$ . Giá trị $a$ là $59\,049$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 15

Câu 16

1 điểm

Một cấp số nhân có 7 số hạng và có công bội

q

nguyên. Biết rằng ba số hạng đầu của cấp số nhân lần lượt là

x - 6;\,\,2 - x;\,\,18

(với

x \in \mathbb{R}

Ý a: Ta có $q = \frac{{18}}{{2 - x}}$ .
Ý b: ${\left( {2 - x} \right)^2} = 18\left( {x - 6} \right)$ .
Ý c: Có hai cấp số nhân thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Ý d: Tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân bằng $1\,094$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 16

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 17

0,5 điểm

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Một công ty muốn thưởng cho nhân viên xuất sắc trong $6$ tháng bằng một khoản tiền thưởng tăng dần theo tháng. Tháng đầu tiên, mỗi nhân viên được thưởng $1$ triệu đồng, mỗi tháng sau đó, số tiền thưởng tăng thêm đều đặn thêm $500$ nghìn đồng so với tháng trước. Tính tổng số tiền thưởng mà mỗi nhân viên nhân được nhận sau $6$ tháng (tính theo đơn vị triệu đồng)?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 17

Câu 18

0,5 điểm

Bác An mua một chiếc xe ô tô theo hình thức trả góp (lãi suất 0%) như sau: Tháng thứ nhất (sau khi mua xe một tháng) bác An trả 5 (triệu đồng); các tháng tiếp theo, mỗi tháng bác An trả nhiều hơn tháng trước đó 1 (triệu đồng). Biết rằng bác An trả hết nợ sau 2 năm. Hỏi giá chiếc xe bác An đã mua là bao nhiêu (tính theo đơn vị triệu đồng)?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 18

Câu 19

0,5 điểm

Cho số thực $a$ khác $0$ , xét dãy số gồm các số sau:

${u_1} = \frac{a}{2} + \frac{2}{a}\,\,;\,\,{u_2} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{2}{a}} \right)^2}\,\,;\,\,{u_3} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^3} + {\left( {\frac{2}{a}} \right)^3}$ .