Ngân hàng đề / … / Tốt nghiệp THPT / Toán / Toán Tốt nghiệp THPT / 1000+ bài tập tổng ôn môn Toán 12 có lời giải / Chủ đề 2. Cấp số cộng và cấp số nhân
Nội dung đề
Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn
PHẦN I. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Trong các dãy số ( u n ) \left( {{u_n}} \right) ( u n ) u n {u_n} u n
A
Đáp án A: u n = 3 − 2 n . {u_n} = 3 - {2^n}. u n = 3 − 2 n .
B
Đáp án B: u n = 3 2 ( n + 1 ) . {u_n} = \frac{3}{{2\left( {n + 1} \right)}}. u n = 2 ( n + 1 ) 3 .
C
Đáp án C: u n = 5 ⋅ 2 n . {u_n} = 5 \cdot {2^n}. u n = 5 ⋅ 2 n .
D
Đáp án D: u n = 4 − 5 n . {u_n} = 4 - 5n. u n = 4 − 5 n .
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án: C
Xét dãy số ( u n ) \left( {{u_n}} \right) ( u n ) u n = 5 ⋅ 2 n {u_n} = 5 \cdot {2^n} u n = 5 ⋅ 2 n u n + 1 u n = 5 ⋅ 2 n + 1 5 ⋅ 2 n = 2 \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{5 \cdot {2^{n + 1}}}}{{5 \cdot {2^n}}} = 2 u n u n + 1 = 5 ⋅ 2 n 5 ⋅ 2 n + 1 = 2 n n n
Vậy ( u n ) \left( {{u_n}} \right) ( u n ) u n = 5 ⋅ 2 n {u_n} = 5 \cdot {2^n} u n = 5 ⋅ 2 n Chọn C .
Dãy số
− 1 3 ; − 1 ; − 5 3 ; − 7 3 ; − 3 ; . . . - \,\frac{1}{3};\, - \,1; - \frac{5}{3}; - \,\frac{7}{3};\, - \,3;... − 3 1 ; − 1 ; − 3 5 ; − 3 7 ; − 3 ; ... là cấp số cộng với
A
Đáp án A: Số hạng đầu tiên là − 1 3 - \,\frac{1}{3} − 3 1 − 2 3 - \frac{2}{3} − 3 2
B
Đáp án B: Số hạng đầu tiên là − 1 - \,1 − 1 2 3 \frac{2}{3} 3 2
C
Đáp án C: Số hạng đầu tiên là − 1 3 - \,\frac{1}{3} − 3 1 − 1 - \,1 − 1
D
Đáp án D: Số hạng đầu tiên là − 1 3 - \,\frac{1}{3} − 3 1 2 3 \frac{2}{3} 3 2
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án: A
Dãy số
− 1 3 ; − 1 ; − 5 3 ; − 7 3 ; − 3 ; . . . - \,\frac{1}{3};\, - \,1; - \frac{5}{3}; - \,\frac{7}{3};\, - \,3;... − 3 1 ; − 1 ; − 3 5 ; − 3 7 ; − 3 ; ... là cấp số cộng với số hạng đầu tiên là
− 1 3 - \,\frac{1}{3} − 3 1 và công sai là
− 1 − ( − 1 3 ) = − 2 3 - 1 - \left( { - \frac{1}{3}} \right) = - \frac{2}{3} − 1 − ( − 3 1 ) = − 3 2 .
Chọn A .
Cho cấp số cộng
( u n ) \left( {{u_n}} \right) ( u n ) , biết
u 1 = − 5 {u_1} = - 5 u 1 = − 5 ,
d = 2 d = 2 d = 2 . Số
81 81 81 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?
A
Đáp án A: 75 75 75
B
Đáp án B: 44 44 44
C
Đáp án C: 100 100 100
D
Đáp án D: 50 50 50
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án: B
Ta có
u n = u 1 + ( n − 1 ) d ⇔ 81 = − 5 + ( n − 1 ) ⋅ 2 ⇔ n = 44 {u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \Leftrightarrow 81 = - 5 + \left( {n - 1} \right) \cdot 2 \Leftrightarrow n = 44 u n = u 1 + ( n − 1 ) d ⇔ 81 = − 5 + ( n − 1 ) ⋅ 2 ⇔ n = 44 .
Chọn B .
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là
− 1 ; − 5 ; − 25 ; − 125 ; . . . . - 1; - 5; - 25; - 125;.... − 1 ; − 5 ; − 25 ; − 125 ; .... . Gọi
S n {S_n} S n là tổng của
n n n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A
Đáp án A: S n = n ( 1 + 5 n ) 4 . {S_n} = \frac{{n\left( {1 + {5^n}} \right)}}{4}. S n = 4 n ( 1 + 5 n ) .
B
Đáp án B: S n = 1 − 5 n 4 . {S_n} = \frac{{1\, - \,{5^n}}}{4}. S n = 4 1 − 5 n .
C
Đáp án C: S n = 5 ( 5 n − 1 ) 4 . {S_n} = \frac{{5\left( {{5^n} - 1} \right)}}{4}. S n = 4 5 ( 5 n − 1 ) .
D
Đáp án D: S n = 1 − 5 n − 1 4 . {S_n} = \frac{{1 - {5^{n - 1}}}}{4}. S n = 4 1 − 5 n − 1 .
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án: B
Ta có
u 1 = − 1 ; q = 5 {u_1} = - 1;\,q = 5 u 1 = − 1 ; q = 5 nên
S n = − 1 ( 1 − 5 n ) 1 − 5 = 1 − 5 n 4 {S_n} = \frac{{ - 1\left( {1 - {5^n}} \right)}}{{1 - 5}} = \frac{{1 - {5^n}}}{4} S n = 1 − 5 − 1 ( 1 − 5 n ) = 4 1 − 5 n .
Chọn B .
Cho cấp số cộng
( u n ) \left( {{u_n}} \right) ( u n ) có
u 1 = 2 {u_1} = \,2 u 1 = 2 và
d = − 5 d = - 5 d = − 5 . Tổng của
25 25 25 số hạng đầu tiên của cấp số cộng bằng
A
Đáp án A: − 1450 - 1450 − 1450
B
Đáp án B: − 1405 - 1405 − 1405
C
Đáp án C: 1550 1550 1550
D
Đáp án D: − 1540 - 1540 − 1540
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án: A
Ta có
S 25 = 25 [ 2 ⋅ 2 + 24 ⋅ ( − 5 ) ] 2 = − 1450 {S_{25}} = \frac{{25\left[ {2 \cdot 2 + 24 \cdot \left( { - 5} \right)} \right]}}{2} = - 1450 S 25 = 2 25 [ 2 ⋅ 2 + 24 ⋅ ( − 5 ) ] = − 1450 .
Chọn A .
Cho cấp số cộng
( u n ) \left( {{u_n}} \right) ( u n ) có số hạng đầu
u 1 = − 2 {u_1} = - 2 u 1 = − 2 với công sai
d = 3 d = 3 d = 3 . Công thức tính số hạng tổng quát
u n {u_n} u n là
A
Đáp án A: u n = 3 − 2 ( n − 1 ) {u_n} = 3 - 2\left( {n - 1} \right) u n = 3 − 2 ( n − 1 )
B
Đáp án B: u n = 2 − 3 ( n − 1 ) {u_n} = 2 - 3\left( {n - 1} \right) u n = 2 − 3 ( n − 1 )
C
Đáp án C: u n = 3 + 2 ( n − 1 ) {u_n} = 3 + 2\left( {n - 1} \right) u n = 3 + 2 ( n − 1 )
D
Đáp án D: u n = − 2 + 3 ( n − 1 ) {u_n} = - 2 + 3\left( {n - 1} \right) u n = − 2 + 3 ( n − 1 )
Cho cấp số cộng
1 3 , − 1 6 , − 2 3 , − 7 6 \frac{1}{3},\,\, - \frac{1}{6},\, - \frac{2}{3},\, - \frac{7}{6} 3 1 , − 6 1 , − 3 2 , − 6 7 . Tìm công sai của cấp số cộng đó.
A
Đáp án A: d = 0,2 d = 0{,}2 d = 0 , 2
B
Đáp án B: d = − 2 d = - 2 d = − 2
C
Đáp án C: d = − 0,5 d = - 0{,}5 d = − 0 , 5
D
Đáp án D: d = − 0,2 d = - 0{,}2 d = − 0 , 2
Cho cấp số cộng
( u n ) \left( {{u_n}} \right) ( u n ) cho bởi công thức tổng quát
u n = 4 n − 3 , n ∈ N ∗ {u_n} = 4n - 3,\,\,n \in {\mathbb{N}^*} u n = 4 n − 3 , n ∈ N ∗ . Tính tổng
20 20 20 số hạng đầu của cấp số cộng đó.
A
Đáp án A: S 20 = 780 {S_{20}} = 780 S 20 = 780
B
Đáp án B: S 20 = 78 {S_{20}} = 78 S 20 = 78
C
Đáp án C: S 20 = 1560 {S_{20}} = 1560 S 20 = 1560
D
Đáp án D: S 20 = 870 {S_{20}} = 870 S 20 = 870
Cho cấp số nhân
( u n ) \left( {{u_n}} \right) ( u n ) với số hạng đầu
u 1 = 2 {u_1} = 2 u 1 = 2 và công bội
q = − 2 q = - 2 q = − 2 . Tổng 9 số hạng đầu của cấp số nhân
( u n ) \left( {{u_n}} \right) ( u n ) là
A
Đáp án A: S 9 = − 171. {S_9} = - 171. S 9 = − 171.
B
Đáp án B: S 9 = − 342. {S_9} = - 342. S 9 = − 342.
C
Đáp án C: S 9 = 342. {S_9} = 342. S 9 = 342.
D
Đáp án D: S 9 = 171. {S_9} = 171. S 9 = 171.
Cho cấp số cộng
( u n ) \left( {{u_n}} \right) ( u n ) với
u 3 = − 1 {u_3} = - 1 u 3 = − 1 và
u 4 = 2 {u_4} = 2 u 4 = 2 . Công sai
d d d của cấp số cộng
( u n ) \left( {{u_n}} \right) ( u n ) là
A
Đáp án A: d = − 2 d = - 2 d = − 2
B
Đáp án B: d = − 3 d = - 3 d = − 3
C
Đáp án C: d = 3 d = 3 d = 3
D
Đáp án D: d = 2 d = 2 d = 2
Tính tổng
S = 9 + 99 + 999 + . . . + 999...9 S = 9 + 99 + 999 + ... + 999...9 S = 9 + 99 + 999 + ... + 999...9 (số hạng cuối có n số 9) ta được kết quả là
A
Đáp án A: S = 10 ( 10 n − 1 ) 9 − n S = \frac{{10\left( {{{10}^n} - 1} \right)}}{9} - n S = 9 10 ( 10 n − 1 ) − n
B
Đáp án B: S = 10 ( 10 n − 1 ) 9 + n S = \frac{{10\left( {{{10}^n} - 1} \right)}}{9} + n S = 9 10 ( 10 n − 1 ) + n
C
Đáp án C: S = 10 n + 1 9 − n S = \frac{{{{10}^n} + 1}}{9} - n S = 9 10 n + 1 − n
D
Đáp án D: S = 10 n − 1 9 + n S = \frac{{{{10}^n} - 1}}{9} + n S = 9 10 n − 1 + n
Một cấp số nhân có số hạng thứ hai bằng 4 và số hạng thứ sáu bằng 64, thì số hạng tổng quát của cấp số nhân đó có thể tính theo công thức nào dưới đây?
A
Đáp án A: u n = 2 n {u_n} = {2^n} u n = 2 n
B
Đáp án B: u n = 2 n {u_n} = 2n u n = 2 n
C
Đáp án C: u n = 2 n − 1 {u_n} = {2^{n - 1}} u n = 2 n − 1
D
Đáp án D: u n = 2 n + 1 {u_n} = {2^{n + 1}} u n = 2 n + 1
Phần II. Trắc nghiệm đúng sai
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho cấp số cộng ( u n ) \left( {{u_n}} \right) ( u n ) u 5 = − 15 {u_5} = - 15 u 5 = − 15 u 20 = 60 {u_{20}} = 60 u 20 = 60
a
Ý a: Cấp số cộng có công sai d = 5 d = 5 d = 5
b
Ý b: Cấp số cộng có số hạng đầu u 1 = − 35 {u_1} = - 35 u 1 = − 35
c
Ý c: Cấp số cộng có số hạng thứ 15 15 15 u 15 = 25 {u_{15}} = 25 u 15 = 25
d
Ý d: Cấp số cộng có 28 28 28 100 100 100
Người ta trồng
900 900 900 cây trong một khu vườn hình tam giác theo cách sau: Hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 3 cây, và cứ như thế mỗi hàng sau sẽ có nhiều hơn hàng ngay trước đó 2 cây.
a
Ý a: Số cây trên mỗi hàng lập thành một cấp số cộng ( u n ) \left( {{u_n}} \right) ( u n ) u 1 = 1 {u_1} = 1 u 1 = 1 d = 1 d = 1 d = 1
b
Ý b: Hàng thứ ba có 5 5 5
c
Ý c: Hàng thứ 11 11 11 5 5 5 9 9 9
d
Ý d: Hàng cuối cùng có 60 cây.
Cho cấp số nhân
( u n ) \left( {{u_n}} \right) ( u n ) biết
u 1 + u 5 = 51 , u 2 + u 6 = 102 {u_1} + {u_5} = 51,\,\,{u_2} + {u_6} = 102 u 1 + u 5 = 51 , u 2 + u 6 = 102 .
a
Ý a: Số hạng u 1 = 3 {u_1} = 3 u 1 = 3
b
Ý b: Số hạng u 4 = 48 {u_4} = 48 u 4 = 48
c
Ý c: Số 12 288 12\,288 12 288 ( u n ) \left( {{u_n}} \right) ( u n )
d
Ý d: Tổng tám số hạng đầu của cấp số nhân là 765 765 765
Cho cấp số nhân
( u n ) \left( {{u_n}} \right) ( u n ) , biết công bội bằng
2 2 2 ,
u n = 2048 {u_n} = 2048 u n = 2048 và
S n = 4092 {S_n} = 4092 S n = 4092 .
a
Ý a: u n − 1 = 1042 {u_{n - 1}} = 1042 u n − 1 = 1042
b
Ý b: u 1 ⋅ 2 n = 4096 {u_1} \cdot {2^n} = 4096 u 1 ⋅ 2 n = 4096
c
Ý c: u 1 + u 2 + u 3 + . . . + u n − 1 = 2044 {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{n - 1}} = 2044 u 1 + u 2 + u 3 + ... + u n − 1 = 2044
d
Ý d: Số hạng thứ bảy của cấp số là u 7 = 526 {u_7} = 526 u 7 = 526
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho cấp số cộng ( u n ) \left( {{u_n}} \right) ( u n ) u 2 − 2 u 5 = 13 {u_2} - 2{u_5} = 13 u 2 − 2 u 5 = 13 u 1 + 3 u 4 = 5 {u_1} + 3{u_4} = 5 u 1 + 3 u 4 = 5 2025 2025 2025 a a a P = 1 − a P = 1 - a P = 1 − a
Một cấp số cộng thỏa mãn
u 1 − u 3 = 10 {u_1} - {u_3} = 10 u 1 − u 3 = 10 và
u 2 + u 5 = 4011 {u_2} + {u_5} = 4011 u 2 + u 5 = 4011 . Hỏi bắt đầu từ số hạng nào của cấp số cộng đó thì nó nhận giá trị âm.
Gọi
S S S là tập hợp tất cả các số tự nhiên
k k k sao cho
C 14 k C_{14}^k C 14 k ,
C 14 k + 1 C_{14}^{k + 1} C 14 k + 1 ,
C 14 k + 2 C_{14}^{k + 2} C 14 k + 2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Tính tổng tất cả các phần tử của
S S S .
Một cấp số nhân hữu hạn có công bội
q = − 2 q = - 2 q = − 2 , số hạng thứ bốn bằng
24 24 24 và số hạng cuối bằng
786432 786432 786432 . Hỏi cấp số nhân đó có bao nhiêu số hạng?
Ba số
x , y , z x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} y{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} z x , y , z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng tăng có tổng bằng
24 24 24 . Nếu cộng thêm lần lượt các số
1 , 4 , 13 1,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 4,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 13 1 , 4 , 13 vào ba số
x , y , z x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} y{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} z x , y , z ta được ba số theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính giá trị biểu thức
P = x 2 + y 2 + z 2 P = {x^2} + {y^2} + {z^2} P = x 2 + y 2 + z 2 .
Biết rằng trong một hồ sen, số lá sen ngày hôm sau bằng 3 lần số lá sen ngày hôm trước. Nếu ngày đầu có 1 lá sen thì tới ngày thứ 15 hồ sẽ đầy lá sen. Hỏi nếu ngày đầu có 9 lá sen thì tới ngày thứ mấy hồ sẽ đầy lá sen?
Tất cả đề Chủ đề 2. Cấp số cộng và cấp số nhân · Các bộ sách Toán Tốt nghiệp THPT