Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 2. Cấp số cộng và cấp số nhân (Đề số 2)

Tổng $7$ số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là

${S_7} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^7}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{1 \cdot \left( {1 - {4^7}} \right)}}{{1 - 4}} = 5\,\,461$. Chọn C.

Tổng $18$ số hạng đầu của cấp số cộng đã cho là

${S_{18}} = \frac{{18}}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {18 - 1} \right)d} \right] = 9\left( {2 \cdot 87 + 17 \cdot 3} \right) = 2\,\,025$. Chọn C.

Vì $3\,;\,x\,;\,27$ liên tiếp tạo thành một cấp số nhân nên ${x^2} = 3 \cdot 27 \Leftrightarrow x = 9$ hoặc $x = - 9$.

Vì $x\,;\,27\,;\, - 81$ liên tiếp tạo thành một cấp số nhân nên ${27^2} = x \cdot \left( { - 81} \right) \Leftrightarrow x = - 9$.

Do đó $x = - 9$. Chọn D.

Ta có ${S_1} = {u_1} = 2,\,\,{S_2} = {u_1} + {u_2} = 6 \Rightarrow {u_2} = 4$.

Suy ra ${u_1} \cdot q = 4 \Rightarrow q = 2$. Vậy ${u_5} - {u_3} = {u_1}{q^4} - {u_1}{q^2} = 2 \cdot {2^4} - 2 \cdot {2^2} = 24$. Chọn A.

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng ta có ${u_n} = 3 + 7\left( {n - 1} \right) = 7n - 4$.

Ta có ${u_n} > 2023 \Leftrightarrow 7n - 4 > 2023 \Leftrightarrow n > \frac{{2027}}{7} \approx 289{,}6$.

Suy ra, kể từ số hạng thứ $290$ thì các số hạng của $\left( {{u_n}} \right)$ đều lớn hơn $2023$. Chọn D.

Số viên gạch xây xong mỗi bậc cầu thang là một cấp số cộng với ${u_1} = 100$ và công sai $d = - 2$.

Số viên gạch để xây xong 30 bậc cầu thang là ${S_{30}} = 30 \cdot 100 + \frac{{30 \cdot 29}}{2} \cdot \left( { - 2} \right) = 2130.$ Chọn A.

Gọi ${u_n}$ là số triệu đồng mà người kĩ sư đó nhận được ở năm thứ n. Vì người kĩ sư được công ty thuê với mức lương hằng năm 180 triệu đồng và nhận được mức tăng lương hằng năm là 5% nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số nhân có ${u_1} = 180$ và công bội $q = 1 + 5\% = 1{,}05$.

Khi bắt đầu năm thứ sáu làm việc cho công ty thì mức lương năm của người kĩ sư đó là:

${u_6} = {u_1} \cdot {q^5} = 180 \cdot {\left( {1{,}05} \right)^5} \approx 229{,}73$(triệu đồng). Chọn A.

Ba số $4 - 2x;\,\;{x^2};\;4 + 2x$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi

$4 - 2x + 4 + 2x = 2{x^2} \Leftrightarrow 8 = 2{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$.

Vì $x > 0$ nên $x = 2$.

Khi đó, cấp số cộng là $0\,;\,4\,;\,8$ nên công sai của cấp số cộng là 4.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 0 + \left( {n - 1} \right)4 = 4n - 4$.

Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng, ta có ${u_5} = 18 \Leftrightarrow {u_1} + 4d = 18\,\,\,\,\left( 1 \right)$.

Theo giả thiết $4{S_n} = {S_{2n}} \Leftrightarrow \frac{{4n}}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right] = \frac{{2n}}{2}\left[ {2{u_1} + \left( {2n - 1} \right)d} \right]$

$\Leftrightarrow 4{u_1} + \left( {2n - 2} \right)d = 2{u_1} + \left( {2n - 1} \right)d \Leftrightarrow 2{u_1} - d = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)$.

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$, suy ra ${u_1} = 2$ và $d = 4$.

Số hạng tổng quát ${u_n} = 2 + \left( {n - 1} \right)4 = 4n - 2$ suy ra ${u_{15}} = 58$.

Tổng 15 số hạng đầu cấp số cộng là: ${S_{15}} = \frac{{15}}{2}\left( {2{u_1} + 14d} \right) = \frac{{15}}{2}\left( {2 \cdot 2 + 14 \cdot 4} \right) = 450$.

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.

Số hạng ${u_3} = 12 - {u_2} = 18$.

Ta có $q = \frac{{{u_3}}}{{{u_2}}} = - 3;\,\,{u_1} = \frac{{{u_2}}}{q} = 2$.

Vậy ba số $q\,;\,{u_1}\,;\,7$ tạo thành một cấp số cộng với công sai bằng 5.

Số hạng tổng quát của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ là ${u_n} = 2 \cdot {\left( { - 3} \right)^{n - 1}}$.

Ta có $13122 = 2.{\left( { - 3} \right)^{n - 1}} \Rightarrow {\left( { - 3} \right)^{n - 1}} = 6561 = {\left( { - 3} \right)^8} \Rightarrow n = 9$.

Vậy số $13122$ là số hạng thứ 9 của cấp số nhân.

Ta có ${S_{50}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{50}} = {u_1} \cdot \frac{{1 - {q^{50}}}}{{1 - q}} = \frac{{1 - {3^{50}}}}{2}$, ${S_{10}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{10}} = \frac{{1 - {3^{10}}}}{2}$.

Khi đó $S = {u_{11}} + {u_{12}} + ... + {u_{50}} = {S_{50}} - {S_{10}} = \frac{{{3^{10}} - {3^{50}}}}{2}$. Vậy $a = {3^{10}} = 59049$.

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Theo định nghĩa cấp số nhân ta có $18 = \left( {2 - x} \right)q$.

Do $18 = \left( {2 - x} \right)q$ nên $x \ne 2$, suy ra $q = \frac{{18}}{{2 - x}}$.

Tương tự, ta có$\,2 - x = \left( {x - 6} \right)q \Leftrightarrow 2 - x = \left( {x - 6} \right) \cdot \frac{{18}}{{2 - x}}$$\Leftrightarrow {\left( {\,2 - x} \right)^2} = 18\left( {x - 6} \right)$

$\Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 = 18x - 108$$\Leftrightarrow {x^2} - 22x + 112 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 8\\x = 14\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}q = - 3\\q = - \frac{3}{2}\,\,\left( L \right)\end{array} \right.$.

Vậy có 1 cấp số nhân thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Với $\left\{ \begin{array}{l}q = - 3\\x = 8\end{array} \right.$ thì ${u_1} = x - 6 = 2$.

Tổng tất cả các số hạng của cấp số nhân bằng ${S_7} = {u_1} \cdot \frac{{1 - {q^7}}}{{1 - q}} = 2 \cdot \frac{{1 - {{\left( { - 3} \right)}^7}}}{{1 - \left( { - 3} \right)}} = 1094$.

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Tháng đầu tiên nhận thưởng được số tiền ${u_1} = 1$ triệu đồng.

Mỗi tháng tăng thêm số tiền: $d = 0{,}5$triệu đồng.

Số tháng: $n = 6$.

Số tiền thưởng trong mỗi tháng lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu ${u_1} = 1$ và công sai $d = 0{,}5$.

Tổng số tiền thưởng mỗi nhân viên nhận được sau $6$ tháng là:

${S_6} = \frac{6}{2}\left( {2{u_1} + 5d} \right) = 3\left( {2 \cdot 1 + 5 \cdot 0{,}5} \right) = 13{,}5$ (triệu đồng).

Đáp án: $13{,}5$.

Ta có $2$ năm là $24$ tháng nên theo đề bài sau $24$ tháng bác An trả hết nợ.

Gọi ${u_1},{\mkern 1mu} {u_2},{\mkern 1mu} ...,{\mkern 1mu} {u_{24}}$ lần lượt là số tiền tháng thứ nhất, tháng thứ hai,…, tháng thứ $24$ bác An phải trả cho cửa hàng bán xe, thì dãy trên là một cấp số cộng với số hạng đầu ${u_1} = 5$, công sai $d = 1$.

Tổng số tiền bác An phải trả là: ${S_{24}} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_{24}} = \frac{{24}}{2} \cdot \left( {2 \cdot 5 + 23 \cdot 1} \right) = 396$.

Vậy giá chiếc xe bác An đã mua là $396$ triệu đồng.

Đáp án: $396$.

Ta có ${u_2} = {\left( {\frac{a}{2} + \frac{2}{a}} \right)^2} - 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{a} = u_1^2 - 2$;

${u_3} = {\left( {\frac{a}{2}} \right)^3} + {\left( {\frac{2}{a}} \right)^3} = {\left( {\frac{a}{2} + \frac{2}{a}} \right)^3} - 3 \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{2}{a}\left( {\frac{a}{2} + \frac{2}{a}} \right) = u_1^3 - 3{u_1}$.

Vì ${u_1}\,;\,{u_2}\,;\,{u_3}$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có

$2{u_2} = {u_1} + {u_3} \Leftrightarrow 2\left( {u_1^2 - 2} \right) = {u_1} + u_1^3 - 3{u_1} \Leftrightarrow u_1^3 - 2u_1^2 - 2{u_1} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{u_1} = 2\,\,\,\,\,\,\,}\\{{u_1} = \sqrt 2 \,\,\,}\\{{u_1} = - \sqrt 2 }\end{array}} \right.$.

* Với ${u_1} = 2 \Leftrightarrow \frac{a}{2} + \frac{2}{a} = 2 \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 = 0 \Leftrightarrow a = 2$.

* Với ${u_1} = \sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{a}{2} + \frac{2}{a} = \sqrt 2 \Leftrightarrow {a^2} - 2\sqrt 2 a + 4 = 0$ (vô nghiệm).

* Với ${u_1} = - \sqrt 2 \Leftrightarrow \frac{a}{2} + \frac{2}{a} = - \sqrt 2 \Leftrightarrow {a^2} + 2\sqrt 2 a + 4 = 0$ (vô nghiệm).

Vậy $a = 2$.

Đáp án: $2$.

Theo bài ra ta có ${u_1} = \frac{1}{2}$, ${u_4} = 32$ và ${u_n} = 2048$.

${u_4} = {u_1} \cdot {q^3}$ $\Rightarrow 32 = \frac{1}{2} \cdot {q^3}$$\Rightarrow q = 4$.

${u_n} = 2048$$\Rightarrow {u_1} \cdot \,{q^{n - 1}} = 2048$$\Rightarrow {4^{n - 1}} = {4^6}$$\Rightarrow n = 7$.

Khi đó tổng của cấp số nhân này là ${S_7} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^7}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{2}\left( {1 - {4^7}} \right)}}{{1 - 4}} = \frac{{5461}}{2} = \frac{P}{2}$. Suy ra $P = 5461$.

Đáp án: $5461$.

Gọi q là công bội của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$.

Ta có ${u_1} - 12{u_2} - 6{u_3} = 2 - 12 \cdot 2q - 6 \cdot 2{q^2} = - 12{\left( {q + 1} \right)^2} + 14 \le 14\,\,\forall q \in \mathbb{R}$.

Do đó, ${u_1} - 12{u_2} - 6{u_3}$ đạt giá trị lớn nhất $\Leftrightarrow q = - 1$.

Tổng 2025 số hạng đầu của cấp số nhân là ${S_{2025}} = {u_1} \cdot \frac{{1 - {q^{2025}}}}{{1 - q}} = 2 \cdot \frac{{1 - {{\left( { - 1} \right)}^{2025}}}}{{1 + 1}} = 2$.

Đáp án: $2$.

Ta có $S=1+2\cdot 5+3\cdot {5}^{2}+...+2020\cdot {5}^{2019}$ (1)

Suy ra $5S = 5 + 2 \cdot {5^2} + 3 \cdot {5^3} + ... + 2020 \cdot {5^{2020}}$ $\left( 2 \right)$.

Lấy $\left( 1 \right)$ trừ $\left( 2 \right)$ vế theo vế ta được:

$S - 4S = 1 + \left( {2 \cdot 5 - 5} \right) + \left( {3 \cdot {5^2} - 2 \cdot {5^2}} \right) + ... + \left( {2020 \cdot {5^{2019}} - 2019 \cdot {5^{2019}}} \right) - 2020 \cdot {5^{2020}}$

$\Leftrightarrow - 4S = 1 + 5 + {5^2} + {5^3} + ... + {5^{2019}} - 2020 \cdot {5^{2020}}$$\Leftrightarrow - 4S = 1 + \left( {5 \cdot \frac{{{5^{2019}} - 1}}{{5 - 1}}} \right) - 2020 \cdot {5^{2020}}$

$\Leftrightarrow - 4S = 1 + \left( {5 \cdot \frac{{{5^{2019}} - 1}}{4}} \right) - 2020 \cdot {5^{2020}}$$\Leftrightarrow - 4S = - \frac{1}{4} - \frac{{8079}}{4} \cdot {5^{2020}}$$\Leftrightarrow S = \frac{1}{{16}} + \frac{{8079}}{{16}} \cdot {5^{2020}}$.

Vậy $a + b = \frac{1}{{16}} + \frac{{8079}}{{16}} = 505$.

Đáp án: $505$.