Đề ôn luyện Toán theo Chủ đề 2. Cấp số cộng và cấp số nhân (Đề số 1)

Xét dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = 5 \cdot {2^n}$. Ta có $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{5 \cdot {2^{n + 1}}}}{{5 \cdot {2^n}}} = 2$ không đổi với mọi $n$.

Vậy $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = 5 \cdot {2^n}$ là một cấp số nhân. Chọn C.

Với ${u_n} = 4n - 3,\,\,n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow {u_1} = 1,\,\,d = 4$.

Suy ra ${S_{20}} = 20{u_1} + \frac{{20 \cdot 19 \cdot d}}{2} = 20 \cdot 1 + 20 \cdot 19 \cdot 2 = 780$. Chọn A.

Dãy số $10,{\rm{ 100}},{\rm{ 1000}},{\rm{ }}...,{\rm{ 1000}}...{\rm{0}}$ (số hạng cuối có $n$ số 0) là cấp số nhân với số hạng đầu ${u_1} = 10$ và công bội $q = 10$ nên tổng của dãy số này bằng $\frac{{10\left( {{{10}^n} - 1} \right)}}{{10 - 1}} = \frac{{10\left( {{{10}^n} - 1} \right)}}{9}$.

Ta có $S = 9 + 99 + 999 + ... + 999...9$$= \left( {10 - 1} \right){\rm{ + }}\left( {100 - 1} \right){\rm{ + }}\left( {1000 - 1} \right) + ... + \left( {1000...0 - 1} \right)$

$= \left( {10 + {\rm{100}} + {\rm{1000}} + {\rm{ }}... + {\rm{1000}}...{\rm{0}}} \right) - \underbrace {\left( {1 + 1 + ... + 1} \right)}_{n\,\,{\rm{s\^o '}}\,1}$ $= \frac{{10\left( {{{10}^n} - 1} \right)}}{9} - n$. Chọn A.

Gọi ${u_1},\,\,q$ là số hạng đầu và công bội của cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ đã cho.

Ta có ${u_2} = {u_1}q,\,\,{u_6} = {u_1}{q^5}$ nên $\frac{{{u_6}}}{{{u_2}}} = \frac{{{q^5}}}{q} \Leftrightarrow {q^4} = 16 \Rightarrow q = \pm 2 \Rightarrow {u_1} = \frac{4}{{ \pm 2}} = \pm 2$.

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_n} = - 2 \cdot {\left( { - 2} \right)^{n - 1}}\\{u_n} = 2 \cdot {2^{n - 1}}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{u_n} = {\left( { - 2} \right)^n}\\{u_n} = {2^n}\end{array} \right..$ Chọn A.

Gọi số hạng đầu, công sai của cấp số cộng lần lượt là ${u_1},d$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_5} = - 15\\{u_{20}} = 60\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d = - 15\\{u_1} + 19d = 60\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = - 35\\d = 5\end{array} \right.$.

Vậy cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1} = - 35$ và công sai $d = 5$.

Số hạng thứ $15$ là ${u_{15}} = {u_1} + 14d = - 35 + 14 \cdot 5 = 35$.

Ta có số hạng tổng quát của cấp số cộng là ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 5n - 40$.

Do ${u_n} < 100$ nên $5n - 40 < 100 \Leftrightarrow n < 28$.

Do đó có $27$ số hạng là ${u_1},{u_2},...,{u_{27}}$ nhỏ hơn $100$.

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Theo bài ra ta có, số cây trên mỗi hàng lập thành một cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng đầu ${u_1} = 1$ và công sai $d = 2$.

Số cây của hàng thứ $3$ là: ${u_3} = 1 + 2 \cdot 2 = 5$ (cây).

Số cây của hàng thứ $11$ là: ${u_{11}} = 1 + 10 \cdot 2 = 21$ (cây).

Số cây của hàng thứ $5$ là: ${u_5} = 1 + 4 \cdot 2 = 9$ (cây).

Vậy hàng thứ $11$ nhiều hơn hàng thứ $5$ là $12$ cây.

Tổng số cây được trồng là:

${S_n} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]n}}{2} \Leftrightarrow 900 = \frac{{\left( {2 + 2n - 2} \right)n}}{2} \Leftrightarrow {n^2} = 900 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 30\\n = - 30\end{array} \right.$.

Vậy hàng cuối cùng là hàng thứ 30 và ta có ${u_{30}} = 1 + 29 \cdot 2 = 59$ (cây).

Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Gọi $q$ là công bội của cấp số nhân đã cho.

Ta có $\{\begin{matrix}{u}_{1}+{u}_{5}=51 \\ {u}_{2}+{u}_{6}=102\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}+{u}_{1}{q}^{4}=51 \\ {u}_{1}q+{u}_{1}{q}^{5}=102\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}(1+{q}^{4})=51(1) \\ {u}_{1}q(1+{q}^{4})=102(2)\end{matrix}$

Nhận xét: Nếu ${u_1} = 0$ hay $q = 0$ thì (1) và (2) đều không thoả mãn, vì vậy ta có ${u_1}q \ne 0$. Chia theo vế (2) cho (1), ta được: $q = 2$. Thay $q = 2$ vào (1) suy ra ${u_1} = \frac{{51}}{{1 + {2^4}}} = 3$.

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là: ${u_n} = 3 \cdot {2^{n - 1}}$. Ta có ${u_4} = 3 \cdot {2^3} = 24$.

Xét ${u_n} = 12\,288 \Leftrightarrow 3 \cdot {2^{n - 1}} = 12\,288 \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = {2^{12}} \Leftrightarrow n = 13$.

Vậy $12\,288$ là số hạng thứ 13 của cấp số nhân đã cho.

Tổng tám số hạng đầu của cấp số nhân là: ${S_8} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^8}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3 \cdot \left( {1 - {2^8}} \right)}}{{1 - 2}} = 765$.

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

Ta có ${u_{n - 1}} = \frac{{{u_n}}}{q} = \frac{{2048}}{2} = 1024$. Vì ${u_n} = {u_1} \cdot {q^{n - 1}} \Leftrightarrow 2048 = {u_1} \cdot {2^{n - 1}} \Leftrightarrow 4096 = {u_1} \cdot {2^n}$.

Ta có ${u_1} + {u_2} + {u_3} + .... + {u_{n - 1}} + {u_n} = {S_n} = 4092$.

$\Rightarrow {u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{n - 1}} = 4092 - {u_n} = 4092 - 2048 = 2044$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} \cdot \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 4092\\{u_1} \cdot {q^{n - 1}} = 2048\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right) = 4092\left( {1 - q} \right)\\{u_1} \cdot {q^n} = 2048q\end{array} \right.$.

Từ đó suy ra ${u_1} - 2048q = 4092 - 4092q \Leftrightarrow {u_1} = - 2044q + 4092 = - 2044 \cdot 2 + 4092 = 4$.

Khi đó ${u_7} = {u_1} \cdot {q^6} = 4 \cdot {2^6} = 256$.

Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.

Gọi công sai của cấp số cộng là $d$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_2} - 2{u_5} = 13\\{u_1} + 3{u_4} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{u_1} + d} \right) - 2\left( {{u_1} + 4d} \right) = 13\\{u_1} + 3\left( {{u_1} + 3d} \right) = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 8\\d = - 3\end{array} \right.$.

Do đó ${u_{2025}} = {u_1} + 2024d = - 6064 = a$. Vậy $P = 1 - a = 1 - \left( { - 6\,064} \right) = 6\,065$.

Đáp án: $6\,065$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_3} = 10\\{u_2} + {u_5} = 4011\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} - {u_1} - 2d = 10\\{u_1} + d + {u_1} + 4d = 4011\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = - 5\\{u_1} = 2018\end{array} \right.$.

Ta có ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2018 - 5\left( {n - 1} \right)$ $\left( {n \in \mathbb{N}} \right).$

Theo đề ra ${u_n} = 2018 - 5\left( {n - 1} \right) < 0$$\Leftrightarrow 2018 < 5\left( {n - 1} \right)$$\Leftrightarrow 2023 < 5n \Leftrightarrow n > 404{,}6$. Do $n$ là số tự nhiên nên ta lấy $n = 405$. Vậy bắt đầu từ số hạng thứ $405$ thì cấp số cộng có giá trị âm.

Đáp án: $405$.

Điều kiện: $k \in \mathbb{N},k \le 12$.

$C_{14}^k$, $C_{14}^{k + 1}$, $C_{14}^{k + 2}$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên ta có

$C_{14}^k + C_{14}^{k + 2} = 2C_{14}^{k + 1}$ $\Leftrightarrow \frac{{14!}}{{k!\left( {14 - k} \right)!}} + \frac{{14!}}{{\left( {k + 2} \right)!\left( {12 - k} \right)!}} = 2\frac{{14!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {13 - k} \right)!}}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{{\left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right)}} + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{2}{{\left( {k + 1} \right)\left( {13 - k} \right)}}$

$\Leftrightarrow \left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right) + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = 2\left( {14 - k} \right)\left( {k + 2} \right)$

$\Leftrightarrow {k^2} - 12k + 32 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 4{\rm{ (tm)}}\\k = 8{\rm{ (tm)}}\end{array} \right.$.

Tổng tất cả các phần tử của $S = 4 + 8 = 12$.

Đáp án: $12$.

Gọi cấp số nhân đó là: ${u}_{1}\ ;\ {u}_{2}\ ;\ {u}_{3}\ ;\ ......\ ;\ {u}_{n}$

Ta có ${u_4} = 24 \Leftrightarrow {u_1} \cdot {q^3} = 24 \Leftrightarrow {u_1} \cdot {\left( { - 2} \right)^3} = 24 \Leftrightarrow {u_1} = - 3$.

${u_n} = 786\,432 \Leftrightarrow {u_1} \cdot {q^{n - 1}} = 786\,432 \Leftrightarrow \left( { - 3} \right) \cdot {\left( { - 2} \right)^{n - 1}} = 786\,432$

$\Rightarrow {\left( { - 2} \right)^{n - 1}} = {\left( { - 2} \right)^{18}} \Leftrightarrow n - 1 = 18 \Rightarrow n = 19$.

Vậy cấp số nhân có $19$ số hạng.

Đáp án: $19$.

Ba số $x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} y{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} z$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng có tổng bằng 24 nên ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x\, + y\, + z\, = \,\,24\,\\x + z\, = \,2y\end{array} \right.$$\Rightarrow 3y = 24 \Rightarrow y = 8$. Ta viết lại 3 số $x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} y{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} z$ lần lượt bằng $8 - d$, 8, $8 + d$.

Nếu cộng thêm lần lượt các số $1,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 4,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 13$ vào ba số $x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} y{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} z$ ta được ba số là $9 - d,{\kern 1pt} {\kern 1pt} 12,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 21 + d$.

Vì ba số này theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có phương trình

$\left( {9 - d} \right)\left( {21 + d} \right) = {12^2}\,$$\Leftrightarrow \,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {d^2} + 12d - 45 = 0$$\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}\,d = 3\,\\\,d = - 15\end{array} \right.$.

Vì cấp số cộng tăng nên $d > 0 \Rightarrow d = 3 \Rightarrow$ba số $x,{\kern 1pt} {\kern 1pt} y{\kern 1pt} ,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} z$ lần lượt bằng $5,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 8,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} 11$.

Suy ra $P = {x^2} + {y^2} + {z^2} = {5^2} + {8^2} + {11^2} = 210$.

Đáp án: $210$.

Gọi ${u_n}$ là số lá sen ngày thứ $n.$ Khi đó $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân có công bội $q = 3.$

Nếu số lá sen ngày đầu là $1$ thì ${u_1} = 1$, số lá sen ngày thứ 15 là ${u_{15}} = {u_1}{q^{14}} = 1 \cdot {3^{14}} = {3^{14}}$.

Như vậy để hồ đầy lá thì cần ${3^{14}}$ lá.

Nếu số lá sen ngày đầu là $9$ thì ${u_1} = 9$, số lá sen ngày thứ $n$ là ${u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = 9 \cdot {3^{n - 1}} = {3^{n + 1}}$.

Để hồ đầy lá sen thì cần ${3^{14}}$ lá nên ${3^{n + 1}} = {3^{14}} \Leftrightarrow n + 1 = 14 \Leftrightarrow n = 13$.

Vậy đến ngày thứ 13 thì hồ đầy lá.

Đáp án: $13$.