Đề ôn luyện Toán Chương 7. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian (đề số 2)

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${d_1}:\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = t\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{y = 1 - 2t}\\{z = - 3t\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.,\,\,\,{d_2}:\frac{x}{{ - 4}} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{5}.$

Góc giữa hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$ bằng bao nhiêu độ?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M\left( {3;1;9} \right)$, đường thẳng $d:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = t}\\{y = - 1 - t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.$ và mặt phẳng$\left( \alpha \right):x + y - z + 3 = 0$.

a) Điểm $A$ có tọa độ dạng $A\left( {t; - 1 - t;2 + 2t} \right)$ với $t \in \mathbb{R}$ thì $A$ thuộc đường thẳng $d$.

b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $\vec n = \left( {1;1; - 1} \right)$.

c) Điểm $M$ thuộc đường thẳng $d$.

d) Đường thẳng $\Delta$ đi qua $M$, cắt đường thẳng $d$ và song song với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có phương trình là $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 4}}{5}$.

Năm 2011, kỹ sư Nguyễn Trí Hiếu, người Quảng Ngãi, đã sáng chế ra chiếc xe đu dây phục vụ công nhân điện lực di chuyển trên dây điện cao thế. Khi ở vị trí cân bằng, chiếc xe và đường dây điện sẽ cùng nằm trên một mặt phẳng vuông góc với mặt đất. Xe được cấu tạo bởi khung xe có gắn hai Puly tại vị trí A và B cách mặt đất lần lượt là 20 m và 19,9 m (như hình). Xe đu dây di chuyển giống xe đạp, được kết hợp dây xích, líp, đĩa, bàn đạp, phanh; bàn đạp đặt tại vị trí C.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ trùng với mặt đất (mỗi đơn vị độ dài trong không gian $Oxyz$ tương ứng với 1m trên thực tế); tọa độ các điểm $A,B,C$ lần lượt là $\left( {7;5;20} \right)\;$, $\left( {7;5{,}5;19{,}9} \right),\left( {7;5;19} \right)$.

a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\vec u = \left( {0;5;1} \right)$.

b) Khi người thợ điện di chuyển đến vị trí điểm $D$ cách mặt đất 18 m thì tọa độ điểm $D$ là $D\left( {7; - 5;18} \right)$.

c) Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là $x = 7$.

d) Khoảng cách từ Puly tại $A\;$ đến bàn đạp tại $C$ là $1{,}03$ m.

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$(đơn vị trên mỗi trục là mét), coi mặt biển là một phần của mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$. Một ngọn hải đăng cao $60{\rm{ m}}$ so với mực nước biển được đặt ở vị trí $I\left( {30;55;60} \right)$ có bán kính phủ sáng là $5$ km.

a) Vùng phủ sáng của ngọn hải đăng là khối cầu được giới hạn bởi mặt cầu có phương trình là ${\left( {x - 30} \right)^2} + {\left( {y - 55} \right)^2} + {\left( {z - 60} \right)^2} = {5000^2}$ .

b) Nếu người đi biển ở vị trí $A\left( {7500;6500;0} \right)$ thì người đó ở trong vùng phủ sáng của ngọn hải đăng.

c) Nếu ngọn hải đăng phủ sáng một vùng trên mặt biển thì diện tích vùng sáng này không vượt quá $80$ triệu mét vuông.

d) Nếu hai người đi biển ở trong vùng phủ sáng của ngọn hải đăng thì khoảng cách giữa hai người đó không vượt quá $10$ km.

Một nhóm kỹ sư sử dụng flycam để giám sát một công trình điện mặt trời. Họ mô phỏng không gian công trình trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, đơn vị trên mỗi trục là mét. Mặt đất được xem là mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$, mái của công trình là một mặt phẳng song song với mặt đất và cách mặt đất $4{\rm{ m}}$. Flycam bay theo đường thẳng bắt đầu từ điểm $A\left( {11; - 15;0} \right)$ đến điểm $B\left( {0; - 6;13} \right)$, sau đó từ điểm $B$ flycam tiếp tục bay theo đường thẳng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow v = \left( {1;1; - 2} \right)$ để tìm một vị trí điểm $M$ phù hợp cho việc giám sát công nhân trên mái.

a) Đường bay$AB$ của flycam có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} = \left( { - 11;9;13} \right)$.

b) Đường bay $BM$ của flycam có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 6 + t\\z = 13 - 2t\end{array} \right.$.

c) Gọi $\varphi$ là góc tạo bởi đường bay $BM$ và mái của công trình. Khi đó $\sin \varphi = - \frac{2}{{\sqrt 6 }}.$

d) Để đảm bảo an toàn cho công nhân làm việc trên mái công trình, điểm quan sát $M$ của flycam phải ở phía trên mái công trình và cách mái công trình $3{\rm{ m}}$. Biết rằng điểm $M\left( {a;b;c} \right),$ khi đó $a - b - c = - 7.$

Trong một khu du lịch, người ta cho khách trải nghiệm thiên nhiên bằng cách đu theo đường trượt zipline từ vị trí $A$ cao $15\,{\rm{m}}$ của tháp 1 này sang vị trí $B$ cao $10\,{\rm{m}}$ của tháp 2 trong khung cảnh tuyệt đẹp xung quanh. Với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của $A,\,B$ lần lượt là $A\left( {3;\,2{,}5;\,15} \right)$ và $B\left( {21;\,27{,}5;\,10} \right)$. Khi du khách ở độ cao $12\,{\rm{m}}$ thì tọa độ của du khách lúc đó là $M\left( {a;\,b;\,c} \right)$. Tính giá trị của biểu thức $T = a + b + c$.

Trong một đợt diễn tập quốc phòng, hai người ở hai vị trí khác nhau cùng ngắm bắn một mục tiêu cố định trên không. Người ta gắn một hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét), mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ trùng mặt đất. Người thứ nhất bắn một viên đạn đi qua hai điểm $A\left( {5\,;7\,;10} \right)$ và $B\left( {6\,;9\,;12} \right)$. Người thứ hai bắn một viên đạn đi qua hai điểm $C\left( {15\,;17\,;5} \right)$ và $D$(điểm $D$ ở độ cao $26\,{\rm{m}}$ so với mặt đất). Biết rằng sau một thời gian rời khỏi nòng súng, hai viên đạn va chạm nhau tại một vị trí cách $A$ một khoảng bằng $150\,{\rm{m}}$ (tham khảo hình vẽ).

Hỏi $D$ cách $C$ một khoảng bao nhiêu mét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).