Đề ôn luyện Toán Chương 7. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian (đề số 2)

Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A\left( {1;2; - 3} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {1; - 2;3} \right)$ là:

$1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) + 3\left( {z + 3} \right) = 0$$\Leftrightarrow x - 2y + 3z + 12 = 0$. Chọn D.

Ta có $d$ vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ nên ${\vec u_d} = {\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {1\,; - 2\,;3} \right)$.

Do đó, phương trình đường thẳng $d$ là: $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{3}$. Chọn B.

Mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$ có phương trình $x = 0$. Ta có $d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = 1$, mặt cầu có tâm $I\left( { - 1; - 2;3} \right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( {Oyz} \right)$$\Rightarrow R = d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = 1$.

Phương trình mặt cầu là ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 6z + 13 = 0$.

Chọn D.

Gọi $\left( Q \right)$ đi qua điểm $M$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$$\Rightarrow \left( Q \right):2x - 2y + z + m = 0\,\left( {m \ne 3} \right)$.

Thay $M\left( {2; - 3;1} \right)$ vào $\left( Q \right)$ ta được: $m = - 11$ (nhận) $\Rightarrow \left( Q \right):2x - 2y + z - 11 = 0.$ Chọn A.

Ta có ${d_1}$ có một vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = \left( {1\,;\, - 1\,;\,m} \right)$.

${d_2}:\frac{{1 - x}}{2} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{3}$$\Leftrightarrow {d_2}:\frac{{x - 1}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{3}$ có vectơ chỉ phương là ${\vec u_2} = \left( { - 2\,;\,1\,;\,3} \right)$.

${d_1} \bot {d_2}$$\Leftrightarrow {\vec u_1} \bot {\vec u_2}$$\Leftrightarrow {\vec u_1} \cdot {\vec u_2} = 0$$\Leftrightarrow 1 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 1 + m \cdot 3 = 0$$\Leftrightarrow m = 1$. Chọn A.

Ta có hai đường thẳng ${d_1},{d_2}$ có vectơ chỉ phương lần lượt là ${\vec u_1} = \left( {1; - 2; - 3} \right),\,{\vec u_2} = \left( { - 4;1;5} \right)$.

Khi đó, $\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| { - 4 - 2 - 15} \right|}}{{\sqrt {14} \cdot \sqrt {42} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$. Vậy $\left( {{d_1},{d_2}} \right) = 30^\circ$. Chọn B.

a) Đúng. Vì $d:\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = t}\\{y = - 1 - t}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.$ nên khi $A\left( {t; - 1 - t;2 + 2t} \right)$ thì $A$ thuộc đường thẳng $d$.

b) Đúng. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ là $\vec n = \left( {1;1; - 1} \right)$.

c) Sai. Xét $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{3 = t}\\{1 = - 1 - t}\\{9 = 2 + 2t}\end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}\begin{array}{l}t = 3\\t = - 2\end{array}\\{t = \frac{7}{2}\,\,}\end{array}} \right.$ (Vô lý). Vậy điểm $M$ không thuộc đường thẳng $d$.

d) Đúng. Gọi đường thẳng $\Delta$ cắt đường thẳng $d$ tại $N$. Suy ra $N\left( {t; - 1 - t;2 + 2t} \right)$.

Ta có ${\vec u_\Delta } = \overrightarrow {MN} = \left( {t - 3; - t - 2;2t - 7} \right)$ và ${\vec n_{\left( \alpha \right)}} = \left( {1;1; - 1} \right)$.

Vì đường thẳng $\Delta$ song song với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nên ${\vec u_\Delta } \bot {\vec n_{\left( \alpha \right)}}$.

Suy ra $1 \cdot \left( {t - 3} \right) + 1 \cdot \left( { - t - 2} \right) - 1 \cdot \left( {2t - 7} \right) = 0$$\Leftrightarrow$$- 2t + 2 = 0$$\Leftrightarrow$$t = 1$.

Do đó, ${\vec u_\Delta } = \left( { - 2; - 3; - 5} \right)$ và $N\left( {1; - 2;4} \right)$.

Vậy phương trình $\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 4}}{5}$.

a) Sai. Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {0;0{,}5; - 0{,}1} \right)$ nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$ là $\vec u = \left( {0;5; - 1} \right).$

b) Sai. Ta có đường thẳng $AB$ đi qua $A\left( {7;5;20} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {0;5; - 1} \right)$ nên có phương trình tham số là $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 7}\\{y = 5 + 5t}\\{z = 20 - t}\end{array}} \right.$.

Mặt đất là $\left( {Oxy} \right):z = 0$, điểm $D\left( {7;5 + 5t;20 - t} \right) \in AB$ cách mặt đất 18 m hay

$d\left( {D,\left( {Oxy} \right)} \right) = 18 \Leftrightarrow \left| {20 - t} \right| = 18 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{t = 2}\\{t = 38}\end{array}} \right.$.

Khi đó $D\left( {7;15;18} \right)$ (điểm $D\left( {7;195; - 18} \right)$ loại do cao độ của dây không âm).

c) Đúng. Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ đi qua $A\left( {7;5;20} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\;\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 0{,}5;0;0} \right)$ hay $\vec n = \left( {1;0;0} \right)$. Suy ra phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right):\;x = 7$.

d) Sai. Ta có $AC = \sqrt {{{\left( {7 - 7} \right)}^2} + {{\left( {5 - 5} \right)}^2} + {{\left( {19 - 20} \right)}^2}} = 1$ (m).

a) Đúng. Đổi $5\,{\rm{km}} = 5000\,{\rm{m}}$, vùng phủ sáng của ngọn hải đăng là khối cầu được giới hạn bởi mặt cầu có phương trình là ${\left( {x - 30} \right)^2} + {\left( {y - 55} \right)^2} + {\left( {z - 60} \right)^2} = {5000^2}$.

b) Sai. Ta có $\overrightarrow {IA} = \left( {7470;6445; - 60} \right) \Rightarrow IA = 9866{,}23155\,{\rm{m}} > 5000\,{\rm{m}}$ nên người đó không nằm trong vùng phủ sáng của hải đăng.

c) Đúng. Diện tích phủ sáng của hải đăng lên mặt biển là diện tích hình tròn có tâm là chân ngọn hải đăng, bán kính $r = \sqrt {{{5000}^2} - {{60}^2}} = 4999{,}639987\,{\rm{(m)}}$, khi đó diện tích phủ sáng là

$S = \pi {R^2} \approx 78\,528\,506{,}61\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}} < 80\,000\,000\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}$.

d) Đúng. Khoảng cách $d$ của hai người trong vùng phủ sáng sẽ không vượt quá đường kính đường tròn phủ sáng trên mặt biển (câu c) , khi đó $d \le 2r \Leftrightarrow d \le 2 \cdot \sqrt {{{5000}^2} - {{60}^2}} < 10\,000\,\,{\rm{(m)}}$, hay $d < 10\,{\rm{km}}$.

a) Đúng. Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {0 - 11; - 6 - \left( { - 15} \right);13 - 0} \right) = \left( { - 11;9;13} \right)$.

b) Đúng. Đường bay $BM$ của flycam là đường thẳng BM đi qua B nhận $\overrightarrow v = \left( {1;1; - 2} \right)$làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham số $\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 6 + t\\z = 13 - 2t\end{array} \right.$.

c) Sai. Vì mái song song với mặt đất và cách mặt đất 4 m nên mái là mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $z - 4 = 0$ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {0;0;1} \right)$.

Đường bay $BM$ nhận $\overrightarrow v = \left( {1;1; - 2} \right)$ làm vectơ chỉ phương nên góc tạo bởi BM và mái của công trình được tính bởi $\sin \varphi = \frac{{\left| {\overrightarrow n \cdot \overrightarrow v } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right| \cdot \left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{\left| {0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot \left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt 6 }} = \frac{2}{{\sqrt 6 }}$.

d) Sai. Gọi $M\left( {t; - 6 + t;13 - 2t} \right),d\left( {M,\left( P \right)} \right) = 3 \Leftrightarrow \left| {13 - 2t - 4} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3 \Rightarrow M\left( {3; - 3;7} \right)\\t = 6 \Rightarrow M\left( {6;0;1} \right)\end{array} \right.$.

Vì $M$ nằm phía trên mái công trình nên chọn $M\left( {3; - 3;7} \right)$, nên $a - b - c = - 1.$

Ta có $M\left( {0\,;\,0\,;\,m} \right) \in Oz$, $N\left( {1 + t\,;\,2t\,;\, - 2 + t} \right) \in d$$\Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {1 + t\,;\,2t\,;\, - 2 + t - m} \right)$.

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\overrightarrow n = \left( {3\,;\, - 1\,;\,1} \right)$.

Vì $d'$ song song với $\left( P \right)$ nên $\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow n = 0$$\Leftrightarrow 3 + 3t - 2t - 2 + t - m = 0$$\Leftrightarrow m = 2t + 1$.

$\Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {1 + t\,;\,2t\,;\, - t - 3} \right)$$\Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( {1 + t} \right)}^2} + 4{t^2} + {{\left( { - t - 3} \right)}^2}} = \sqrt {6{t^2} + 8t + 10}$.

Độ dài đoạn $MN$ nhỏ nhất $\Leftrightarrow$$t = - \frac{2}{3}$.

Đoạn dài nhỏ nhất của đoạn $MN$ bằng $\sqrt {\frac{{22}}{3}} = \frac{{\sqrt {66} }}{3} \approx 2{,}71$.

Đáp án: 2,71.

Ta có $\overrightarrow{AB}=(-4;0;4),\overrightarrow{AC}=(-5;2;3)\Rightarrow [\begin{matrix}\overrightarrow{AB,} & \overrightarrow{AC}\end{matrix}]=(-8;-8;-8)\Rightarrow |[\begin{matrix}\overrightarrow{AB,} & \overrightarrow{AC}\end{matrix}]|=\sqrt{{(-8)}^{2}+{(-8)}^{2}+{(-8)}^{2}}=8\sqrt{3}\Rightarrow {S}_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}|[\begin{matrix}\overrightarrow{AB,} & \overrightarrow{AC}\end{matrix}]|=4\sqrt{3}$

Mặt phẳng (ABC) có một vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}=[\begin{matrix}\overrightarrow{AB,} & \overrightarrow{AC}\end{matrix}]=(-8;-8;-8)$, chọn $\overrightarrow{n}=(1;1;1)$.

Phương trình mặt phẳng (ABC) đi qua B(0;1;2) có một vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(1;1;1)$ là x+y+z-3 = 0

Gọi $M \in d$$\Rightarrow M\left( {1 - t\,;\,1 + 2t\,;\,2} \right)$.

Ta có $d\left( {M\,,\,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {t + 1} \right|}}{{\sqrt 3 }}$.

Ta lại có ${V_{MABC}} = \frac{1}{3}d\left( {M,\,\left( {ABC} \right)} \right) \cdot {S_{\Delta ABC}} = 8$ $\Rightarrow \frac{1}{3} \cdot \frac{{\left| {t + 1} \right|}}{{\sqrt 3 }} \cdot 4\sqrt 3 = 8$

$\Leftrightarrow \left| {t + 1} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 5\,\,\, \Rightarrow {M_1}\left( { - 4\,;\,11\,;\,2} \right)\\t = - 7 \Rightarrow {M_2}\left( {8\,;\, - 13\,;\,2} \right)\end{array} \right.$.

Vậy ${M_1}\left( { - 4\,;\,11\,;\,2} \right)$ và ${M_2}\left( {8\,;\, - 13\,;\,2} \right)$$\Rightarrow \overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {12\,;\, - 24\,;\,0} \right) \Rightarrow {M_1}{M_2} = 12\sqrt 5 \approx 26{,}8$.

Đáp án: 26,8.

Với hệ trục tọa độ $Oxyz$ cho trước (đơn vị: mét), tọa độ của $A,\,B$ lần lượt là $A\left( {3;\,2{,}5;\,15} \right)$ và$B\left( {21;\,27{,}5;\,10} \right)$.

Đường thẳng $AB$đi qua $A\left( {3;\,2{,}5;\,15} \right)$ và nhận $\overrightarrow {AB} = \left( {18;\,25; - \,5} \right)$ là vectơ chỉ phương nên có phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 18t\\y = 2{,}5 + 25t\\z = 15 - 5t\end{array} \right.$.

Khi du khách ở độ cao $12\,{\rm{m}}$ thì $z = 12 \Rightarrow 15 - 5t = 12 \Leftrightarrow t = \frac{3}{5}$. Do đó $x = 13{,}8;\,\,y = 17{,}5$.

Vậy tọa độ của du khách lúc đó là $M\left( {13{,}8;\,17{,}5;\,12} \right) \Rightarrow a + b + c = 43{,}3$.

Đáp án: 43,3.

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $O\left( {0;0;0} \right)$ và bán kính $R = 6{,}4$ có phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 40{,}96$.

Ta có $OA = 30;OB = 30;AB = 30\sqrt 2$. Suy ra $\Delta OAB$ cân tại $O$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, khi đó $H\left( {15;15;0} \right)$, ta có $OH \bot AB$.

Đường thẳng $OH$ đi qua $O\left( {0;0;0} \right)$ và có VTCP $\overrightarrow {OH} = \left( {15;15;0} \right) = 15\left( {1;1;0} \right)$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 0\end{array} \right.$.

Để $M \in \left( {OAB} \right)$ thỏa mãn $MA + MB$ nhỏ nhất thì $M,A,B$ phải đồng phẳng và $MA = MB$.

Vì $MH$ nhỏ nhất. Khi đó $M$ là giao điểm của $OH$ và mặt cầu $\left( S \right)$.

Tọa độ $M$ thỏa mãn phương trình: ${t^2} + {t^2} + {0^2} = 40{,}96 \Leftrightarrow 2{t^2} = 40{,}96 \Leftrightarrow t = \pm \frac{{16\sqrt 2 }}{5}$.

Suy ra $\left[ \begin{array}{l}{M_1}\left( {\frac{{16\sqrt 2 }}{5};\frac{{16\sqrt 2 }}{5};0} \right) \Rightarrow {M_1}H \approx 14{,}81\\{M_2}\left( {\frac{{ - 16\sqrt 2 }}{5};\frac{{ - 16\sqrt 2 }}{5};0} \right) \Rightarrow {M_2}H \approx 27{,}61.\end{array} \right.$

Vậy điểm cần tìm là: $M\left( {\frac{{16\sqrt 2 }}{5};\frac{{16\sqrt 2 }}{5};0} \right)$ .

Khi đó, $T = MA + MB = 2MA = 2\sqrt {{{\left( {\frac{{16\sqrt 2 }}{5} - 30} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{16\sqrt 2 }}{5} - 0} \right)}^2} + {0^2}} \approx 51{,}7$.

Đáp án: 51,7.

Gọi $M = AB \cap CD$ (là điểm hai viên đạn va chạm nhau) khi đó $AM = 150\,{\rm{m}}\;(1)$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {1\,;2\,;2} \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$.

Phương trình tham số đường thẳng $AB$ là $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 5 + t}\\{y = 7 + 2t}\\{z = 10 + 2t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})$.

Do $M \in AB \Rightarrow M\left( {5 + t;7 + 2t;10 + 2t} \right)$. Từ (1) ta có $\sqrt {{t^2} + 4{t^2} + 4{t^2}} = 150 \Leftrightarrow \left| t \right| = 50$.

Với $t = 50 \Rightarrow M\left( {55;107;110} \right)$ và với $t = - 50 \Rightarrow M\left( { - 45; - 93; - 90} \right)$.

Vì cao độ điểm $D$ dương nên cao độ của điểm $M$ dương$\Rightarrow M\left( {55\,;107\,;110} \right)$.

Vậy vectơ chỉ phương của đường thẳng $CD$ là $\overrightarrow {CM} = \left( {40;90;105} \right)$.

Khi đó, phương trình tham số đường thẳng $CD$ là $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 15 + 40t'}\\{y = 17 + 90t'}\\{z = 5 + 105t'}\end{array}} \right.\quad (t' \in \mathbb{R})$.

Mà điểm $D$ cách mặt đất $26\,{\rm{m}}$ nên điểm $D$ có cao độ bằng $26$

$\Rightarrow$$5 + 105t' = 26 \Leftrightarrow t' = \frac{1}{5} \Rightarrow D\left( {23\,;35\,;26} \right)$. $C\left( {15\,;17\,;5} \right)$

Khi đó độ dài $CD = \sqrt {{{\left( {15 - 23} \right)}^2} + {{\left( {17 - 35} \right)}^2} + {{\left( {5 - 26} \right)}^2}} \approx 28{,}8\,\,{\rm{(m)}}.$

Đáp án: 28,8.

Gọi $A',B'$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A,B$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$.

Góc tạo bởi $MA$ với mặt vườn và góc tạo bởi $MB$ với mặt vườn phải luôn bằng nhau.

Nên ta có $\Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{{AA'}}{{BB'}} = \frac{{d\left( {A,\left( P \right)} \right)}}{{d\left( {B,\left( P \right)} \right)}}$.

Mà $d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 40 + 2 \cdot \left( { - 40} \right) - 12 - 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 8$; $d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot \left( { - 40} \right) + 2 \cdot 50 - 38 - 12} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 10$.

$\Rightarrow \frac{{MA}}{{MB}} = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5} \Rightarrow 5MA = 4MB$. Gọi $M\left( {x;y;z} \right)$. Khi đó, ta được:

$25 \cdot \left[ {{{\left( {x - 40} \right)}^2} + {{\left( {y + 40} \right)}^2} + {{\left( {z - 12} \right)}^2}} \right] = 16 \cdot \left[ {{{\left( {x + 40} \right)}^2} + {{\left( {y - 50} \right)}^2} + {{\left( {z - 38} \right)}^2}} \right]$.

Rút gọn ta được phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ chứa các điểm $M$ thoả mãn yêu cầu kĩ thuật:

${x^2} + {y^2} + {z^2} - \frac{{3280}}{9}x + 400y + \frac{{616}}{9}z - \frac{{5104}}{9} = 0$.

Đồng thời, vì điểm $M$ nằm trên mặt vườn nên $M \in \left( P \right):\;{\mkern 1mu} 2x + 2y - z - 12 = 0$.

Như vậy, tập hợp điểm $M$ cần tìm là giao tuyến của mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$, tức là một đường tròn $\left( C \right)$.

Gọi $I$ là tâm mặt cầu $\left( S \right)$, ta được: $I\left( {\frac{{1640}}{9}; - 200; - \frac{{308}}{9}} \right)$.

Bán kính của mặt cầu $\left( S \right)$:

$R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} = \sqrt {{{\left( {\frac{{1640}}{9}} \right)}^2} + {{\left( { - 200} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{ - 308}}{9}} \right)}^2} + \frac{{5104}}{9}} = \sqrt {\frac{{6070400}}{{81}}}$.

Khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $\left( P \right)$: $d = \frac{{\left| {2 \cdot \frac{{1640}}{9} + 2 \cdot \left( { - 200} \right) + \frac{{308}}{9} - 12} \right|}}{{\sqrt {4 + 4 + 1} }} = \frac{{40}}{9}$.

Bán kính đường tròn giao tuyến $\left( C \right)$: $r = \sqrt {{R^2} - {d^2}} = \sqrt {\frac{{6068800}}{{81}}}$.

Vậy độ dài đường ray là chu vi đường tròn $\left( C \right)$: $l = 2\pi r \approx 1720\;{\rm{(m)}}$.

Đáp án: 1720.