Đề ôn luyện Toán Chương 7. Phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu trong không gian (đề số 1)

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):x - 2y + z = 0$, đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = - 3t\\z = 1 + t\end{array} \right.$và hai điểm $A\left( {2;1;0} \right),B\left( {2; - 3;4} \right)$.

a) Điểm $A$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$.

b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng $\frac{{ - 3}}{8}$.

c) Gọi $H\left( {a;b;c} \right)$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$. Khi đó $a + b + c = 3$.

d) Gọi $\Delta$ là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $\Delta$ bằng $\sqrt 2$. Khi khoảng cách từ $B$ đến $\Delta$ đạt giá trị lớn nhất thì $\Delta$ đi qua điểm $M\left( {3;1; - 1} \right)$.

Trong không gian $Oxyz$, một viên đạn được bắn ra từ vị trí $A\left( {1;2;3} \right)$ hướng đến vị trí $B\left( {0;1; - 6} \right)$, bia chắn là mặt phẳng $\left( P \right):4x - y + 2z + 13 = 0$, đơn vị là kilomet.

a) Hình chiếu vuông góc của $A$ trên $\left( {Oxy} \right)$ là $H\left( {0;2;3} \right)$.

b) Điểm $B$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$.

c) Giả sử viên đạn chuyển động thẳng đều theo hướng vectơ $\vec v = \left( { - 2; - 2; - 18} \right)$ với vận tốc 800 m/s (bỏ qua mọi lực cản và chướng ngại vật), sau một phút viên đạn bắn ra đi qua điểm $B$.

d) Góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ (làm tròn đến hàng đơn vị) là $60^\circ$.

Một đài kiểm soát không lưu tại sân bay có nhiệm vụ kiểm soát, điều hành hoạt động bay của máy bay trong vòng bán kính $70\,{\rm{km}}$. Để theo dõi hành trình của máy bay, ta có thể thiết lập hệ trục toạ độ $Oxyz$ có gốc toạ độ $O$ trùng với vị trí trung tâm của kiểm soát không lưu, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng) với trục $Ox$ hướng về phía Tây, trục $Oy$ hướng về phía Nam và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là $1\,{\rm{km}}$. Một máy bay trực thăng đang ở vị trí $A\left( { - 65; - 25;30} \right)$ bay theo hướng Tây Nam với độ cao không đổi, vận tốc không đổi $200\,{\rm{km/h}}$, quỹ đạo bay theo đường thẳng.

a) Khi máy bay ở vị trí $A$ thì đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được máy bay.

b) Máy bay di chuyển theo hướng Tây Nam với quỹ đạo bay là đường thẳng $d$ có phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 65 + t\\y = - 25 + t\\z = 30\end{array} \right.$.

c) Vùng kiểm không lưu của đài kiểm soát trên là vùng ở bên trong và trên bề mặt của mặt cầu $\left( S \right)$ có phương trình: ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 4900$.

d) Thời gian máy bay di chuyển trong phạm vi đài kiểm soát không lưu của sân bay theo dõi được là $35$ phút.

Một đơn vị thiết kế theo đơn đặt hàng làm một nhà vườn ngoài trời để trồng rau. Người thiết kế đã vẽ mô hình nhà vườn trong hệ trục tọa độ $Dxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) như hình vẽ, với các cột nhà là các đoạn thẳng $AE,\,BF,\,CG$ và $DH$; phần mái là tứ giác $EFGH$ và hình vuông $ABCD$ nằm trên mặt đất. Biết độ dài các đoạn thẳng $AB = 20\,{\rm{m}}$, $DH = 4\,{\rm{m}}$, $AE = BF = 3\,{\rm{m}}$.

a) Tọa độ điểm $B\left( {20;20;0} \right)$ và $H\left( {0\,;0\,;4} \right)$.

b) Đường thẳng $EH$ có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l}x = 20t\\y = 0\\z = 4 + t\end{array} \right.,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

c) Mái nhà hợp với mặt đất một góc khoảng $2{,}86^\circ$.

d) Khách hàng đặt một camera ở vị trí $L$ trên cột $DH$ và cách mặt đất $8\,{\rm{m}}$. Một vật ở vị trí $M\left( {a\,;b\,;c} \right)$ thỏa mãn $MA = MB = MC = MD = 2\sqrt {66} \,{\rm{m}}$ thì cách camera $10\sqrt 2 \,{\rm{m}}$.

Xét Trái Đất trong không gian Oxyz, với O là tâm Trái Đất, tia Ox chứa giao điểm của kinh tuyến gốc và xích đạo, tia Oz chứa điểm cực Bắc (N), tia Oy giao với xích đạo tại điểm thuộc bán cầu Đông, đơn vị trên mỗi trục tương ứng với bán kính Trái Đất là 6371 km. Ta nói một điểm P thuộc bán cầu Bắc có vĩ độ là $\alpha ^\circ$ Bắc (ghi là $\alpha ^\circ N$) khi góc giữa đường thẳng OP và mặt phẳng chứa xích đạo bằng $\alpha ^\circ$ (hình vẽ minh họa).

Hệ thống định vị toàn cầu GPS (Global Positioning System) cho phép xác định tọa độ một điểm bất kỳ trên mặt đất. GPS hoạt động bằng cách truyền tín hiệu từ mạng lưới vệ tinh quay quanh Trái Đất đến thiết bị thu GPS trên mặt đất. Trong cùng một thời điểm, thiết bị thu GPS cần xác định khoảng cách từ nó đến ít nhất ba vệ tinh để tính được tọa độ của nó.
Giả sử tại một thời điểm, một thiết bị thu GPS đặt tại M thuộc bán cầu Bắc trên mặt đất, thiết bị thu GPS này đo được khoảng cách đến các vệ tinh đang ở vị trí $A\left( {3;1;2} \right),{\rm{ }}B\left( {3;2;1} \right),{\rm{ }}C\left( {3;6;4} \right)$ lần lượt là $MA = \frac{{\sqrt {265} }}{5},MB = \sqrt {11} ,MC = \frac{{11\sqrt {10} }}{5}.$ Em hãy cho biết vĩ độ tại M là bao nhiêu độ Bắc (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Một công ty logistics đang thử nghiệm hệ thống giao hàng tự động bằng máy bay không người lái (drone). Trong không gian $Oxyz$, mỗi đơn vị trên các trục tương ứng với 1 mét trên thực tế, mặt ngoài của một tòa nhà cao tầng được xem là một phần của mặt phẳng $\left( P \right)$ thẳng đứng, đi qua hai điểm $C\left( {10;50;0} \right)$ và $D\left( {30;10;0} \right)$ trên mặt đất (mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$) như hình vẽ. Vị trí giao hàng là điểm B nằm trên mặt phẳng $\left( P \right)$. Drone bắt đầu bay từ kho hàng tại gốc tọa độ $O\left( {0;0;0} \right)$. Ban đầu, nó bay theo một đường thẳng đến vị trí $A\left( {30;40;120} \right).$ Từ vị trí $A$, drone thay đổi đường bay, di chuyển theo phương vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ đến vị trí giao hàng $B$. Khoảng cách từ $O$ đến $B$ bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?