Đề kiểm tra Vectơ trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 4

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Cho tứ diện $ABCD$ .Các véc tơ có điểm đầu là $A$ và điểm cuối là các đỉnh còn lại của hình tứ diện là

Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$.Gọi $M,N$lần lượt là trung điểm của $AB,AC$

Trong 4 véc tơ $\overrightarrow {AB} \,,\,\overrightarrow {CB} \,,\overrightarrow {B'C'} ,\overrightarrow {A'C'}$ véc tơ nào cùng hướng với véc tơ $\overrightarrow {MN}$

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ .Số các véc tơ có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình hộp và bằng véc tơ $\overrightarrow {AB}$ là

Cho tứ diện $S.ABC$ có $M,N,P$ là trung điểm của $SA,SB,SC$. Tìm khẳng định đúng?

Cho tứ diện $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, $SB$ vuông góc với đáy và $SB = \sqrt 3 a$. Góc giữa hai vectơ $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right)$ là

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD = a$ và $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = 60^\circ ,\,\widehat {CAD} = 90^\circ$. Gọi $I$ là điểm trên cạnh $AB$ sao cho $AI = 3IB$ và $J$ là trung điểm của $CD$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {IJ}$.

a) Tam giác $BCD$ vuông cân

b) $\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{3}{2}\overrightarrow {AB}$

c) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} = \frac{{{a^2}}}{2}$

d) $\cos \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{5}$

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$, $R$, $S$, $G$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $AB$, $CD$, $AC$, $BD$, $AD$, $BC$, $MN$.

a) $\overrightarrow {MR} = \overrightarrow {SN}$.

b) $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0$.

c) $2\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD}$.

d) $\left| {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm $I$ trùng với điểm $G$.

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$ có $AB = AE = 2$, $AD = 3$ và đặt $\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow b = \overrightarrow {AD} ,\,\overrightarrow c = \overrightarrow {AE}$. Lấy điểm $M$ thỏa $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AD}$ và điểm $N$ thỏa $\overrightarrow {EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow {EC}$. (tham khảo hình vẽ)

Khi đó ta có

a) $\overrightarrow {MA} = - \frac{1}{5}\overrightarrow b$.

b) $\overrightarrow {EN} = \frac{2}{5}\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)$.

c) ${\left( {m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b + n.\overrightarrow c } \right)^2} = {m^2}.{\overrightarrow a ^2} + {n^2}.{\overrightarrow b ^2} + {p^2}.{\overrightarrow c ^2}$ với $m,\,n,\,p$ là các số thực.

d) $MN = \frac{{\sqrt {61} }}{5}$.

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.{A_1}{B_1}{C_1}$ có cạnh đáy bằng $x$ và chiều cao bằng $y$. (tham khảo hình vẽ)

Khi đó ta có

a) $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}{x^2}$.

b) $\overrightarrow {A{C_1}} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{A_1}}$.

c) $\overrightarrow {C{B_1}} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {A{A_1}}$.

d) Góc $\left( {A{C_1},\,C{B_1}} \right) > 60^\circ$ khi $\frac{y}{x} < \sqrt 2$.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 3.

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'.$ Đặt $\overrightarrow {AB} = \vec a,\,\,\overrightarrow {AA'} = \vec b,\,\,\overrightarrow {AC} = \vec c.$ Ta biểu diễn $\overrightarrow {B'C} = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b + p\overrightarrow c$, khi đó $m + n + p$ bằng bao nhiêu ?

Cho tứ diện$ABCD$, gọi $I$,$J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$.

1) $\overrightarrow {IJ} \, = \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right)$.

2) $\overrightarrow {IJ} \, = \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right)$.

3) $\overrightarrow {IJ} \, = \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BD} } \right)$.

4) $\overrightarrow {IJ} \, = \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} } \right)$.

Trong các đẳng thức trên có bao nhiêu đẳng thức đúng?

Một chiếc cân đòn tay đang cân một vật có khối lượng $m = 3\,{\rm{kg}}$được thiết kế với đĩa cân được giữ bởi bốn đoạn xích $SA\,,\,SB\,,\,SC\,,\,SD$ sao cho $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều có $\widehat {ASC} = 90^\circ$. Biết độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích có dạng $\frac{{a\sqrt 2 }}{4}$. Lấy $g = 10\,{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$, khi đó giá trị của $a$ bằng bao nhiêu?