Đề kiểm tra Vectơ trong không gian lớp 12 (có lời giải) - Đề 4

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \\\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {CB} \end{array} \right.$$\Rightarrow \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DC}$.

Ta có: $\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BB'}$ $= \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AA'} = \vec b - \vec a + \frac{1}{2}\vec c$.

Ta có $\overrightarrow x = \overrightarrow {A'C'} - \overrightarrow {A'A} = \overrightarrow {AC'}$

Ta có: $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = \widehat {SAB}$.

Xét $\Delta SBA$ vuông tại $B$ ta có: $\tan \left( {\widehat {SAB}} \right) = \frac{{SB}}{{AB}}$$= \sqrt 3$ . Suy ra: $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AS} } \right) = {60^o}$ .

a) (Đ). b) (S). c) (S). d) (Đ).

a) Dễ thấy tam giác $ABC,ABD$ đều cạnh bằng $a$, tam giác $ACD$ vuông cân đỉnh $A \Rightarrow CD = a\sqrt 2$. Vậy tam giác $BCD$ có $BC = BD = a,CD = a\sqrt 2$nên tam giác $BCD$ vuông cân.

b) $\overrightarrow {IJ} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AJ} = - \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} - \frac{3}{4}\overrightarrow {AB}$.

c) Ta có: $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = 0$; $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = AB.AD.cos60^\circ = \frac{{{a^2}}}{2}$; $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = \frac{{{a^2}}}{2}$.

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} = {a^2}$.

d) Ta có $I{J^2} = {\overrightarrow {IJ} ^2}\, = \frac{1}{4}{\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} - \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} } \right)^2}$$= \frac{1}{4}\left( {\frac{{17}}{4}{a^2} + 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} - 3\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} - 3\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} } \right)$$= \frac{{5{a^2}}}{{16}} \Rightarrow IJ = \frac{{a\sqrt 5 }}{4}$.

$\overrightarrow {IJ} \,.\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} - \frac{3}{2}\overrightarrow {AB} } \right).\overrightarrow {AB} = \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} - \frac{3}{2}{{\overrightarrow {AB} }^2}} \right) = - \frac{{{a^2}}}{4}.$

$\cos \left( {\overrightarrow {IJ} \,,\overrightarrow {AB} } \right) = \frac{{\overrightarrow {IJ} \,.\overrightarrow {AB} }}{{IJ.AB}} = \frac{{ - \frac{{{a^2}}}{4}}}{{\frac{{a\sqrt 5 }}{4}.a}} = - \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.

a. (Đ). b. (Đ). c. (S). d. (Đ).

a. $\left. \begin{array}{l}\overrightarrow {MR} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} \\\overrightarrow {SN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {BD} \end{array} \right\} \Rightarrow \overrightarrow {MR} = \overrightarrow {SN}$.

b. Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = 2\overrightarrow {GM}$

Vì $N$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GN}$

Vì $G$ là trung điểm của $MN$ nên $\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} = \overrightarrow 0$

Do đó: $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\left( {\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} } \right) = 2.\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0$.

c. $\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {AQ} - \overrightarrow {AP} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$$\Leftrightarrow 2\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD}$

d. Ta có:

$\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} = 4\overrightarrow {IG} + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} } \right) = 4\overrightarrow {IG}$.

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right| = \left| {4\overrightarrow {IG} } \right| = 4IG$

Do đó: $\left| {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} + \overrightarrow {ID} } \right|$ nhỏ nhất khi $IG = 0 \Leftrightarrow I \equiv G$

Ta có $\overrightarrow {MA} = - \overrightarrow {AM} = - \frac{1}{5}\overrightarrow {AD} = - \frac{1}{5}\overrightarrow b$.

$\overrightarrow {EN} = \frac{2}{5}\overrightarrow {EC} = \frac{2}{5}\left( {\overrightarrow {EF} + \overrightarrow {EH} + \overrightarrow {EA} } \right) = \frac{2}{5}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow c } \right)$.

$${\left( {m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b + p.\overrightarrow c } \right)^2} = {m^2}.{\overrightarrow a ^2} + {n^2}.{\overrightarrow b ^2} + {p^2}.{\overrightarrow c ^2} + 2mn.\overrightarrow a .\overrightarrow b + 2np.\overrightarrow b .\overrightarrow c + 2mp.\overrightarrow a .\overrightarrow c$$

$= {m^2}.{\overrightarrow a ^2} + {n^2}.{\overrightarrow b ^2} + {p^2}.{\overrightarrow c ^2}$. (vì $\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b ,\,\overrightarrow c$ đôi một vuông góc nên $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \overrightarrow b .\overrightarrow c = \overrightarrow a .\overrightarrow c = 0$).

Ta có $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EN} = - \frac{1}{5}\overrightarrow b + \overrightarrow c + \frac{2}{5}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b - \overrightarrow c } \right) = \frac{2}{5}\overrightarrow a + \frac{1}{5}\overrightarrow b + \frac{3}{5}\overrightarrow c$.

$M{N^2} = {\overrightarrow {MN} ^2} = {\left( {\frac{2}{5}\overrightarrow a + \frac{1}{5}\overrightarrow b + \frac{3}{5}\overrightarrow c } \right)^2} = \frac{4}{{25}}{\overrightarrow a ^2} + \frac{1}{{25}}{\overrightarrow b ^2} + \frac{9}{{25}}{\overrightarrow c ^2} = \frac{4}{{25}}.4 + \frac{1}{{25}}.9 + \frac{9}{{25}}.4 = \frac{{61}}{{25}}$.

Suy ra $MN = \frac{{\sqrt {61} }}{5}$.

Ta có $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos 60^\circ = \frac{1}{2}{x^2}$.

$$\overrightarrow {A{C_1}} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{A_1}}$$

$AC{C_1}{A_1}$ là hình chữ nhật nên ta có $\overrightarrow {A{C_1}} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{A_1}}$.

$\overrightarrow {C{B_1}} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {C{C_1}} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{A_1}}$.

Ta có $\overrightarrow {A{C_1}} .\overrightarrow {C{B_1}} = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{A_1}} } \right).\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{A_1}} } \right) = {y^2} - \frac{1}{2}{x^2}$ và $A{C_1} = C{B_1} = \sqrt {{x^2} + {y^2}}$.

Khi đó $\cos \left( {A{C_1},\,C{B_1}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {A{C_1}} ,\,\overrightarrow {C{B_1}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {A{C_1}} .\overrightarrow {C{B_1}} } \right|}}{{A{C_1}.C{B_1}}} = \frac{{\left| {{y^2} - \frac{1}{2}{x^2}} \right|}}{{{x^2} + {y^2}}}$.

Theo đề $\left( {A{C_1},\,C{B_1}} \right) > 60^\circ$, suy ra $\frac{{\left| {{y^2} - \frac{1}{2}{x^2}} \right|}}{{{x^2} + {y^2}}} < \frac{1}{2} \Leftrightarrow 3{y^4} - 6{x^2}{y^2} < 0 \Leftrightarrow \frac{y}{x} < \sqrt 2$.

Trả lời: $- 1$.

Ta có

$\overrightarrow {B'C} = \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {BC}$

$= - \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = - \overrightarrow {BB'} - \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}$

$= - \overrightarrow b - \overrightarrow a + \overrightarrow c$

$\Rightarrow \overrightarrow {B'C} = - \vec a - \vec b + \vec c$.

Suy ra $m = - 1\,;\,n = - 1\,;\,p = 1$. Do đó $m + n + p = - 1$

Trả lời: $3$.

Ta có:

1) $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JC} + \overrightarrow {BI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JD} = 2\overrightarrow {IJ} \Rightarrow \overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right)$. Nên 1) đúng.

2) $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JD} + \overrightarrow {BI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JC} = 2\overrightarrow {IJ} \Rightarrow \overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right)$. Nên 2) đúng.

3) $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JC} + \overrightarrow {BI} + \overrightarrow {IJ} + \overrightarrow {JD} = 2\overrightarrow {IJ} \Rightarrow \overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BD} } \right)$. Nên 3) đúng.

4) $\overrightarrow {IJ} \, = \,\,\overrightarrow {IA} + \,\overrightarrow {AJ}$$= \, - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} \, + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} \, + \,\overrightarrow {AD} } \right)$$= \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BC} + \,\overrightarrow {AD} } \right)$$= \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DC} + \overrightarrow {BC} } \right)$ $= \,\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + 2\overrightarrow {BC} } \right)$. Nên 4) là sai.

Trả lời: $24$.

Ta có:

$$\overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = {\overrightarrow {AB} ^2} + \left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)$$

$= A{B^2} + AB.AC.\cos \left( {\widehat {BAC}} \right) = {4^2} + 4.4.\cos {60^0} = {4^2} + \frac{{{4^2}}}{2} = \frac{{{{3.4}^2}}}{2} = 24$.

Trả lời: $120$.

Ta có $6\sqrt 3 = \left| {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow {\left( {6\sqrt 3 } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right)^2}$

$\Leftrightarrow {a^2} + 4{b^2} + 4\overrightarrow a .\overrightarrow b = 108 \Leftrightarrow {6^2} + {4.6^2} + 4.\overrightarrow a .\overrightarrow b = 108 \Leftrightarrow 4.\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 72 \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = - 18$.

Lại có $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a \,,\,\overrightarrow b } \right) \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a \,,\,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 18}}{{6.6}} = \frac{{ - 1}}{2} \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a \,,\,\overrightarrow b } \right) = 120^\circ$.

Khi đó góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là $120^\circ$.

Gọi $G$ là trọng tâm tâm giác $BCD$, $M$ là trung điểm $CD$.

Ta có $\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AC} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 3\overrightarrow {GA} + \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right) = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} = - 3\overrightarrow {GA} = 3\overrightarrow {AG} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {3\overrightarrow {AG} } \right| = 3AG$.

Xét tam giác đều $BCD$ có $BM = BC.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{15\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BG = \frac{2}{3}BM = 5\sqrt 3$.

Vì tứ diện $ABCD$ đều nên $AG \bot \left( {BCD} \right) \Rightarrow \widehat {AGB} = 90^\circ$.

Xét tam giác $ABG$ có $AG = \sqrt {A{B^2} - B{G^2}} = \sqrt {{{15}^2} - {{\left( {5\sqrt 3 } \right)}^2}} = 5\sqrt 6$.

Do đó $\left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right| = 3AG = 15\sqrt 6 \Rightarrow a = 15$.

Vậy giá trị của $a = 15$.

Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.

Ta có $\overrightarrow {{\rm{O}}A} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {O\,S} + \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {OS} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = - 4\overrightarrow {OS} = 4\overrightarrow {SO} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} } \right| = \left| {4\overrightarrow {SO} } \right| = 4SO$.

Trọng lượng của vật nặng là $P = mg = 3.10 = 30\,\left( N \right)$. Suy ra $4\left| {\overrightarrow {SO} } \right| = P = 30\,\left( N \right) \Rightarrow SO = \frac{{15}}{2}$.

Lại có tam giác $ASC$ vuông cân tại $S$ nên

$SO = SA.\sin \widehat {SAC} \Rightarrow SA = \frac{{SO}}{{\sin \widehat {SAC}}} = \frac{{\frac{{15}}{2}}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{15\sqrt 2 }}{2} = \frac{{30\sqrt 2 }}{4} \Rightarrow a = 30$.

Vậy $a = 30$.