Toán · Lớp 12

Đề kiểm tra Ứng dụng hình học của tích phân lớp 12 (có lời giải) - Đề 3

22 câu · 33 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Nội dung đề

Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn

Câu 1

1 điểm

Cho hai hàm số

f(x)

và

g(x)

liên tục trên

\left[ {a\,;\,b} \right]

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số

y = f(x)

y = g(x)

và các đường thẳng

x = a

x = b

bằng

Đáp án A: $\left| {\int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]{\rm{d}}x} } \right|$ .
Đáp án B: $\int\limits_a^b {\left| {f(x) + g(x)} \right|{\rm{d}}x}$ .
Đáp án C: $\int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|{\rm{d}}x}$ .
Đáp án D: $\int\limits_a^b {\left[ {f(x) - g(x)} \right]{\rm{d}}x}$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: C

Theo lý thuyết thì diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của các đường

y = f(x)

y = g(x)

x = a

x = b

được tính theo công thức

S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x}

Câu 2

1 điểm

Gọi

S

là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = 2x

y = 0

x = 0

x = 2

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Đáp án A: $S = \int\limits_0^2 {2x} dx$ .
Đáp án B: $S = \pi \int\limits_0^2 {{x^2}} dx$ .
Đáp án C: $S = \pi \int\limits_0^2 {2x} dx$ .
Đáp án D: $S = - \int\limits_0^2 x dx$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Diện tích hình phẳng đã cho được tính bởi công thức

S = \int\limits_0^2 {2x} dx

Câu 3

1 điểm

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = {x^2} - 4x + 3

, trục hoành và hai đường thẳng

x = 1,\,x = 2

bằng

Đáp án A: $\frac{2}{3}$ .
Đáp án B: $\frac{3}{2}$ .
Đáp án C: $\frac{1}{3}$ .
Đáp án D: $\frac{7}{3}$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Ta có:

S = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - 4x + 3} \right|{\rm{d}}x = } \left| {\int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 4x + 3} \right){\rm{d}}x} } \right| = \frac{2}{3}

Câu 4

1 điểm

Tính diện tích

S

hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = {x^2} + 2,\,x = 0,\,x = 2

và trục hoành.

Đáp án A: $S = \frac{{20}}{3}$ .
Đáp án B: $S = \frac{{16}}{3}$ .
Đáp án C: $S = \frac{{13}}{6}$ .
Đáp án D: $S = \frac{{13}}{3}$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: A

Ta có:

S=\int _{0}^{2}|{x}^{2}+2|\text{d}x=\int _{0}^{2}({x}^{2}+2)\text{d}x=\frac{20}{3}

Câu 5

1 điểm

Gọi

S

là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = {2024^x}

, trục

Ox

, trục

Oy

x = 2

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Đáp án A: $S = \pi \int\limits_0^2 {{{2024}^x}{\rm{d}}x}$ .
Đáp án B: $S = \int\limits_0^2 {{{2024}^x}{\rm{d}}x}$ .
Đáp án C: $S = \pi \int\limits_0^2 {{{2024}^{2x}}{\rm{d}}x}$ .
Đáp án D: $S = \int\limits_0^2 {{{2024}^{2x}}{\rm{d}}x}$ .

Xem đáp án và lời giải

Lời giải do TopStudy biên soạn

Đáp án: B

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {2024^x}$ , trục $Ox$ , trục $Oy$ , $x = 2$ là

$S = \int\limits_0^2 {{{2024}^x}{\rm{d}}x}$ .

Câu 6

1 điểm

Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?

Hình minh hoạ

Đáp án A: $\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {2{x^2} - 2x - 4} \right){\rm{d}}x}$ .
Đáp án B: $\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {2{x^2} + 2x - 4} \right){\rm{d}}x}$ .
Đáp án C: $\int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right){\rm{d}}x}$ .
Đáp án D: $\int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} - 2x + 4} \right){\rm{d}}x}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 6

Câu 7

1 điểm

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong

y = x\ln x

, trục hoành và đường thẳng

x = e

là

Đáp án A: $\frac{{{e^2} - 1}}{2}$ .
Đáp án B: $\frac{{{e^2} + 1}}{2}$ .
Đáp án C: $\frac{{{e^2} + 1}}{4}$ .
Đáp án D: $\frac{{{e^2} - 1}}{4}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 7

Câu 8

1 điểm

Diện tích phần tô đậm của hình vẽ dưới đây là

Hình minh hoạ

Đáp án A: $\frac{3}{4}$ .
Đáp án B: $1$ .
Đáp án C: $\frac{\pi }{2}$ .
Đáp án D: $\frac{4}{3}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 8

Câu 9

1 điểm

Cho hình phẳng

\left( H \right)

giới hạn bởi các đường

y = - {x^2} + 1

y = 0

x = - 2

x = 3

. Gọi

V

là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay

\left( H \right)

xung quanh trục

Ox

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Đáp án A: $V = \pi \int\limits_{ - 2}^3 {\left( { - {x^2} + 1} \right){\rm{d}}x}$ .
Đáp án B: $V = \int\limits_{ - 2}^3 {{{\left( { - {x^2} + 1} \right)}^2}{\rm{d}}x}$ .
Đáp án C: $V = \int\limits_{ - 2}^3 {\left| {\left( { - {x^2} + 1} \right)} \right|{\rm{d}}x}$ .
Đáp án D: $V = \pi \int\limits_{ - 2}^3 {{{\left( { - {x^2} + 1} \right)}^2}{\rm{d}}x}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 9

Câu 10

1 điểm

Cho khối tròn xoay như hình vẽ

Hình minh hoạ

Thể tích của khối tròn xoay đó là

Đáp án A: $\pi$ .
Đáp án B: $\frac{{3\pi }}{4}$ .
Đáp án C: $2\pi$ .
Đáp án D: $\frac{\pi }{2}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 10

Câu 11

1 điểm

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

f\left( x \right) = \cos \frac{x}{2}

, trục hoành và hai đường thẳng

x = 0;x = \pi

. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng đó quay quanh trục

Ox

là

Đáp án A: $\frac{{{\pi ^2}}}{2}$ .
Đáp án B: ${\pi ^2} - \pi$ .
Đáp án C: ${\pi ^2} - 1$ .
Đáp án D: $2\pi$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 11

Câu 12

1 điểm

Cho hình phẳng

\left( S \right)

giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = \sqrt {2 - {x^3}}

, trục hoành và hai đường thẳng

x = - 1

và

x = 1

. Thể tích của khối tròn xoay khi quay

\left( S \right)

quanh

Ox

là

Đáp án A: $\frac{{58}}{7}\pi$ .
Đáp án B: $4\pi$ .
Đáp án C: $\frac{{20}}{7}\pi$ .
Đáp án D: $\frac{{27}}{6}\pi$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 12

Phần II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 13

1 điểm

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Hình minh hoạ

Ý a: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a;b} \right].$ Diện tích hình phẳng $S$ giới hạn bởi đường cong $y = f\left( x \right),$ trục hoành và các đường $x = a,$ $x = b$ $\left( {a < b} \right)$ được xác định bởi công thức $S = \int\limits_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} .$
Ý b: Gọi $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {2^x},$ $y = 0$ và các đường $x = 0,$ $x = 2.$ Khi đó ta có $S = \int\limits_0^2 {{2^x}{\rm{d}}x} .$
Ý c: Diện tích hình phẳng $S$ giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = {x^3} - x,$ $y = 2x$ và các đường $x = - 1,$ $x = 1$ được xác định bởi công thức $S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} - 3x} \right){\rm{d}}x + \int\limits_0^1 {\left( {3x - {x^3}} \right){\rm{d}}x} } .$
Ý d: Biết rằng đường parabol $\left( P \right):{y^2} = 2x$ chia đường tròn $\left( C \right):{x^2} + {y^2} = 8$ thành hai phần lần lượt có diện tích là ${S_1},$ ${S_2}$ (hình bên). Khi đó ${S_2} - {S_1} = a\pi - \frac{b}{c}$ với $a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c$ nguyên dương và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tổng $a + b + c$ bằng $15.$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm

Cho đường $y = {x^2}$ có đồ thị là $\left( P \right)$ , $y = - \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}$ có đồ thị là $\left( d \right)$ và trục hoành.

Gọi ${S_1}$ là diện tích giới hạn bởi $\left( P \right)$ ,trục hoành và đường thẳng $x = 1$

Gọi ${S_2}$ là diện tích giới hạn bởi $\left( d \right)$ ,trục tung, trục hoành và đường thẳng $x = 4$

Gọi $S$ là diện tích giới hạn bởi $\left( P \right)$ , $\left( d \right)$ và trục hoành.

Hình minh hoạ

Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Ý a: ${S_1} = \frac{1}{3}$
Ý b: ${S_2} = \frac{3}{2}$
Ý c: $S = {S_1} + {S_2}$
Ý d: $S = \frac{{11}}{6}$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 14

Câu 15

1 điểm

Gọi H là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số

y = \sqrt x ,y = 2{e^x}

và hai đường thẳng

x = 0,x = 4.

Ý a: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt x$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 0,x = 4$ là $S = \pi \int\limits_0^4 {xdx.}$
Ý b: Gọi $V$ là thể tích của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = 2{e^x}$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 0,x = 4$ khi quay quanh trục $Ox.$ Khi đó, $V = 2\pi \left( {{e^8} - 1} \right)$
Ý c: Diện tích của hình H là ${S_H} = 2{e^4} - \frac{{16}}{3}$ .
Ý d: Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi hình H khi quay quanh trục Ox là $2\pi \left( {{e^8} - 5} \right)$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 15

Câu 16

1 điểm

Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = \sqrt x$ , trục hoành $Ox$ và hai đường thẳng $x = 0,\,x = 4$ . Các khẳng định sau là đúng hay sai?

Hình minh hoạ

Gọi ${V_1}$ là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay tam giác $MOH$ quanh trục $Ox$ . Biết rằng $V = 2{V_1}$ . Khi đó $a = 3$ .

Ý a: Công thức tính diện tích hình phẳng $\left( H \right)$ là $\int_0^4 {\sqrt x dx}$ .
Ý b: Diện tích hình phẳng $\left( H \right)$ là $\frac{{19}}{6}$ .
Ý c: Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt x$ , $x = 0,\,x = 4$ và trục hoành $Ox$ là $8\pi$ .
Ý d: Gọi là thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quanh hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt x$ , $x = 0,\,x = 4$ và trục $Ox$ . Đường thẳng $x = a\left( {0 < a < 4} \right)$ cắt đồ thị hàm số $y = \sqrt x$ tại $M$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 16

Phần III. Tự luận

Câu 17

1 điểm

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

\left( P \right):y = {x^2} - 1

và hai tiếp tuyến của

\left( P \right)

tại

A\left( { - 1;0} \right)

và

B\left( {2;3} \right)

. ( làm tròn đến hàng phần trăm)

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 17

Phần IV. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 18

1 điểm

Gọi

S

là diện tích mặt phẳng giới hạn bởi parabol

y = {x^2} + 2x - 3

và đường thẳng

y = kx + 1

với

k

là tham số thực. Tìm

k

để

S

nhỏ nhất.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 18

Câu 19

1 điểm

Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường

y = \frac{{10}}{3}x - {x^2}

và

y = \left\{ \begin{array}{l} - x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \le 1\\x - 2\,\,\,\,\,khi\,\,x > 1\,\,\end{array} \right.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 19

Câu 20

1 điểm

Cho hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi các đường $y = \left| {{x^2} - 1} \right|$ và $y = k$ , với $0 < k < 1$ . Tìm $k$ để diện tích hình phẳng $\left( H \right)$ gấp hai lần diện tích hình phẳng được kẻ sọc ở hình vẽ bên. Khi đó $k = \sqrt[m]{n} - p$ thì giá trị của $m + n + p$ bằng bao nhiêu?

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 20

Câu 21

1 điểm

Một khối cầu có bán kính là $5\left( {{\rm{dm}}} \right)$ , người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc đường kính và cách tâm một khoảng $3\left( {{\rm{dm}}} \right)$ để làm một chiếc lu đựng nước. Tính thể tích nước mà chiếc lu chứa được ( quy tròn đến hàng đơn vị của decimét khối).