Đề kiểm tra Ứng dụng hình học của tích phân lớp 12 (có lời giải) - Đề 2

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {{\rm{e}}^x}$, $y = {x^2} - 1$, $x = - 1,\;x = 1$ (tham khảo hình bên dưới) bằng

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \cos x,\;y = x + 1,\;x = \frac{\pi }{2},\;x = \pi$ (tham khảo hình bên dưới) bằng

Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính bằng 1 (hình vẽ). Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ $\left( { - 1 \le x \le 1} \right)$ thì được thiết diện là một tam giác đều. Thể tích của vật thể đó là

Cho hàm số$y = \sqrt {{x^3} - 3}$ có đồ thị hàm số được biểu diễn trong hình bên dưới. Cho $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trên và hai đường thẳng $x = 2$ và $x = 3$. Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay $D$ quanh trục $Ox$ bằng

Cho tam giác $ABC$ với tọa độ các điểm $A\left( {0;\,0} \right)$, $B\left( {2;\,4} \right)$ và $C\left( {4;0} \right)$. Thể tích hình tròn xoay khi quay tam giác $ABC$ quanh trục $Ox$ bằng

Biết rằng $y = F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $y = f(x).$ Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ được biểu diễn trong hình bên dưới.

Biết rằng diện tích các phần hình phẳng $A$và $B$lần lượt là ${S_A} = 5,\,{S_B} = 2.$ Nếu $F( - 2) = 1$ thì $F(1)$ bằng bao nhiêu?

Một dụng cụ đựng nước có dạng như hình bên. Nếu cắt dụng cụ bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng $x$(cm) $(0 \le x \le 5)$ thì được thiết diện là hình chữ nhật có chiều dài là $2x$ (cm) và chiều rộng là $\sqrt {x + 3}$(cm). Dung tích của dụng cụ trên là bao nhiêu ? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân hàng phần chục).

Một chiếc đèn cói có hình như bên. Nếu cắt đèn bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng $x$(dm) $(0 \le x \le 4)$ thì được thiết diện là hình tròn có bán kính $\sqrt {4 - x}$(dm). Thể tích của chiếc đèn cói là bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân hàng phần chục).

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ vẽ nửa đường tròn tâm $O$, bán kính $r = 2$ nằm phía trên trục $Ox$. Gọi $D$ là hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn, trục $Ox$ và đường thẳng $x = 1$(Hình 6) . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay $D$ quanh trục $Ox$.

Một bình chứa nước có dạng như hình dạng như hình vẽ. Biết rằng khi nước trong bình có chiều cao $x{\rm{ }}(dm)$$(0 \le x \le {\rm{6)}}$ thì mặt nước là hình vuông có cạnh $\sqrt {2 + \frac{{{x^2}}}{6}} {\rm{ }}(dm)$. Tính dung tích của bình.