Đề kiểm tra Ứng dụng hình học của tích phân lớp 12 (có lời giải) - Đề 1

Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {a\,;b} \right]$ có đồ thị như hình vẽ. Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f\left( x \right),\;y = 0,\;x = a,\;x = b$ quanh trục ${\rm{Ox}}$ được tính theo công thức nào sau đây:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}}$; $y = x$ và hai đường thẳng $x = 2;x = 3$ bằng\(a\ln 2 +

b\). Giá trị của $a + b$ bằng

Khi cắt một vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$, $\left( { - \sqrt 3 \le x \le \sqrt 3 } \right)$, mặt cắt

là hình vuông có độ dài các cạnh là $\sqrt {3 - {x^2}} \,$. Thể tích của vật thể đã cho bằng

Cho hình phẳng $D$ giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt {5 - x} ,x \le 5$, trục tung, trục hoành. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi

quay $D$quanh trục $Ox$là

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hình phẳng $D$ là hình thang $OABC$ có \(A\left( {0;2} \right),B\left( {3;3} \right),C\left( {3;0}

\right)\). Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang $OABC$quanh trục $Ox$bằng

Cho đồ thị hàm số $y = {x^3} - 2{x^2} - 3x + 4\,\left( C \right)$ và đường thẳng $d:y = 2x - 2$. Các khẳng định sau là đúng hay sai?

Khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ là $x$ $\left( {0 \le x \le 3} \right)$, ta được mặt cắt là một hình vuông có cạnh là $\sqrt {9 - {x^2}}$ (xem hình dưới). Tính thể tích của vật thể đã cho.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$. Đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ là đường cong trong hình dưới. Biết rằng diện tích của các phần hình phẳng $A$ và $B$ lần lượt là ${S_A} = 4$ và ${S_B} = 10$. Tính giá trị của $f\left( 3 \right)$, biết giá trị của $f\left( 0 \right) = 2$.

Nếu cắt chậu nước có hình dạng như hình bên bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy $x$(cm)($0 \le x \le 16$) thì mặt cắt là hình tròn có bán kính (10+$\sqrt x$)(cm). Tìm $x$(đơn vị cm, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) để dung tích nước trong chậu bằng nửa thể tích của chậu?

Một chiếc lều mái vòm có hình dạng như hình bên. Nếu cắt lều bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng $x$ (mét) ($0 \le x \le 3$) thì được hình chữ nhật có các kích thước lần lượt là $x$ và $\sqrt {9 - {x^2}}$. Tính thể tích cái lều (đơn vị m3).

Một cái lu đựng nước có dạng hình trụ như hình vẽ. Biết rằng khi lượng nước trong lu là x (dm) $\left( {0 < x \le 9} \right)$thì mặt nước lf hình tròn có bán kính là $x\left( {dm} \right)$. Hãy tính dung tích của cái lu nước trên