Ngân hàng đề / … / Lớp 11 / Toán / Toán 11 – Kết nối tri thức / Chương II. Dãy số. Cấp số cộng và cấp số nhân / Bài tập cuối chương II
Nội dung đề
Phần I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn*.* Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Cho cấp số cộng ( u n ) \left( {{u_n}} \right) ( u n ) { u 5 + 3 u 3 − u 2 = − 21 3 u 7 − 2 u 4 = − 34 \left\{ \begin{array}{l}{u_5} + 3{u_3} - {u_2} = - 21\\3{u_7} - 2{u_4} = - 34\end{array} \right. { u 5 + 3 u 3 − u 2 = − 21 3 u 7 − 2 u 4 = − 34 15 15 15
A
Đáp án A: − 244 - 244 − 244
B
Đáp án B: − 274 - 274 − 274
C
Đáp án C: − 253 - 253 − 253
D
Đáp án D: − 285 - 285 − 285
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án: D
Chọn D
Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu là u 1 {u_1} u 1 d d d
Khi đó, { u 5 + 3 u 3 − u 2 = − 21 3 u 7 − 2 u 4 = − 34 \left\{ \begin{array}{l}{u_5} + 3{u_3} - {u_2} = - 21\\3{u_7} - 2{u_4} = - 34\end{array} \right. { u 5 + 3 u 3 − u 2 = − 21 3 u 7 − 2 u 4 = − 34 ⇔ { u 1 + 4 d + 3 ( u 1 + 2 d ) − ( u 1 + d ) = − 21 3 ( u 1 + 6 d ) − 2 ( u 1 + 3 d ) = − 34 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d + 3\left( {{u_1} + 2d} \right) - \left( {{u_1} + d} \right) = - 21\\3\left( {{u_1} + 6d} \right) - 2\left( {{u_1} + 3d} \right) = - 34\end{array} \right. ⇔ { u 1 + 4 d + 3 ( u 1 + 2 d ) − ( u 1 + d ) = − 21 3 ( u 1 + 6 d ) − 2 ( u 1 + 3 d ) = − 34 ⇔ { 3 u 1 + 9 d = − 21 u 1 + 12 d = − 34 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{u_1} + 9d = - 21\\{u_1} + 12d = - 34\end{array} \right. ⇔ { 3 u 1 + 9 d = − 21 u 1 + 12 d = − 34 ⇔ { u 1 = 2 d = − 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d = - 3\end{array} \right. ⇔ { u 1 = 2 d = − 3
Từ đó suy ra S 15 = 15 2 . [ 2.2 + ( 15 − 1 ) . ( − 3 ) ] = − 285 {S_{15}} = \frac{{15}}{2}.\left[ {2.2 + \left( {15 - 1} \right).\left( { - 3} \right)} \right] = - 285 S 15 = 2 15 . [ 2.2 + ( 15 − 1 ) . ( − 3 ) ] = − 285
Cho dãy số
u n {u_n} u n biết
{ u 1 = 3 u n + 1 = 3 u n \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = 3{u_n}\end{array} \right. { u 1 = 3 u n + 1 = 3 u n ,
∀ n ∈ N ∗ \forall n \in {\mathbb{N}^*} ∀ n ∈ N ∗ . Tìm số hạng tổng quát của dãy số
( u n ) \left( {{u_n}} \right) ( u n ) .
A
Đáp án A: u n = 3 n {u_n} = {3^n} u n = 3 n
B
Đáp án B: u n = 3 n + 1 {u_n} = {3^{n + 1}} u n = 3 n + 1
C
Đáp án C: u n = 3 n − 1 {u_n} = {3^{n - 1}} u n = 3 n − 1
D
Đáp án D: u n = n n + 1 {u_n} = {n^{n + 1}} u n = n n + 1
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án: A
Chọn A
Ta có u n + 1 u n = 3 \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = 3 u n u n + 1 = 3
Do đó dãy số 3 f ( 1 ) − f ( 0 ) = 12 3f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 12 3 f ( 1 ) − f ( 0 ) = 12 10 = ∫ a b ( 2 x + 1 ) f ′ ( x ) d x 10 = \int\limits_a^b {\left( {2x + 1} \right)f'\left( x \right){\rm{d}}x} 10 = a ∫ b ( 2 x + 1 ) f ′ ( x ) d x q = 3 q = 3 q = 3
Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u n = u 1 . q n − 1 {u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} u n = u 1 . q n − 1 = 3.3 n − 1 = {3.3^{n - 1}} = 3. 3 n − 1 = 3 n = {3^n} = 3 n
Cho cấp số nhân
( u n ) \left( {{u_n}} \right) ( u n ) thỏa mãn:
{ u 1 + u 2 + u 3 = 13 u 4 − u 1 = 26 \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 13\\{u_4} - {u_1} = 26\end{array} \right. { u 1 + u 2 + u 3 = 13 u 4 − u 1 = 26 . Tổng
8 8 8 số hạng đầu của cấp số nhân
( u n ) \left( {{u_n}} \right) ( u n ) là
A
Đáp án A: S 8 = 3280 {S_8} = 3280 S 8 = 3280
B
Đáp án B: S 8 = 9841 {S_8} = 9841 S 8 = 9841
C
Đáp án C: S 8 = 3820 {S_8} = 3820 S 8 = 3820
D
Đáp án D: S 8 = 1093 {S_8} = 1093 S 8 = 1093
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án: A
Chọn A
Ta có : { u 1 + u 2 + u 3 = 13 u 4 − u 1 = 26 \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 13\\{u_4} - {u_1} = 26\end{array} \right. { u 1 + u 2 + u 3 = 13 u 4 − u 1 = 26 ⇔ { u 1 ( 1 + q + q 2 ) = 13 u 1 ( q 3 − 1 ) = 26 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 13\\{u_1}\left( {{q^3} - 1} \right) = 26\end{array} \right. ⇔ { u 1 ( 1 + q + q 2 ) = 13 u 1 ( q 3 − 1 ) = 26 ⇒ ( q 3 − 1 ) ( 1 + q + q 2 ) = 26 13 \Rightarrow \frac{{\left( {{q^3} - 1} \right)}}{{\left( {1 + q + {q^2}} \right)}} = \frac{{26}}{{13}} ⇒ ( 1 + q + q 2 ) ( q 3 − 1 ) = 13 26 ⇒ q − 1 = 2 \Rightarrow q - 1 = 2 ⇒ q − 1 = 2 ⇒ q = 3 \Rightarrow q = 3 ⇒ q = 3 ⇒ u 1 = 1 \Rightarrow {u_1} = 1 ⇒ u 1 = 1
S 8 = 1 ( 1 − 3 8 ) 1 − 3 = 3280 {S_8} = \frac{{1\left( {1 - {3^8}} \right)}}{{1 - 3}} = 3280 S 8 = 1 − 3 1 ( 1 − 3 8 ) = 3280
Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng?
A
Đáp án A: ( u n ) : { u 1 = 1 u n + 1 = u n + 2 , ∀ n ≥ 1 \left( {{u_n}} \right):\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{u_1} = 1}\\{{u_{n + 1}} = {u_n} + 2,\,\,\forall n \ge 1}\end{array}} \right. ( u n ) : { u 1 = 1 u n + 1 = u n + 2 , ∀ n ≥ 1
B
Đáp án B: ( u n ) : { u 1 = 3 u n + 1 = 2 u n + 1 , ∀ n ≥ 1 \left( {{u_n}} \right):\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{u_1} = 3}\\{{u_{n + 1}} = 2{u_n} + 1,\,\,\forall n \ge 1}\end{array}} \right. ( u n ) : { u 1 = 3 u n + 1 = 2 u n + 1 , ∀ n ≥ 1
C
Đáp án C: ( u n ) : \left( {{u_n}} \right):\, ( u n ) : 1 1 1 3 3 3 6 6 6 10 10 10 15 15 15 … \ldots …
D
Đáp án D: ( u n ) : \left( {{u_n}} \right):\, ( u n ) : − 1 - 1 − 1 1 1 1 − 1 - 1 − 1 1 1 1 − 1 - 1 − 1 … \ldots …
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án: A
Chọn A
Dãy số ở đáp án A thỏa u n + 1 − u n = 2 {u_{n + 1}} - {u_n} = 2 u n + 1 − u n = 2 n ≥ 1 n \ge 1 n ≥ 1
Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?
A
Đáp án A: 1 ; − 2 ; − 4 ; − 6 ; − 8 1; - 2; - 4; - 6; - 8 1 ; − 2 ; − 4 ; − 6 ; − 8
B
Đáp án B: 1 ; − 3 ; − 6 ; − 9 ; − 12. 1; - 3; - 6; - 9; - 12. 1 ; − 3 ; − 6 ; − 9 ; − 12.
C
Đáp án C: 1 ; − 3 ; − 7 ; − 11 ; − 15. 1; - 3; - 7; - 11; - 15. 1 ; − 3 ; − 7 ; − 11 ; − 15.
D
Đáp án D: 1 ; − 3 ; − 5 ; − 7 ; − 9 1; - 3; - 5; - 7; - 9 1 ; − 3 ; − 5 ; − 7 ; − 9
Lời giải do TopStudy biên soạn
Đáp án: C
Chọn C
Dãy số ( u n ) \left( {{u_n}} \right) ( u n ) u n + 1 = u n + d {u_{n + 1}} = {u_n} + d u n + 1 = u n + d
Ta thấy dãy số: 1 ; − 3 ; − 7 ; − 11 ; − 15 1; - 3; - 7; - 11; - 15 1 ; − 3 ; − 7 ; − 11 ; − 15 − 4. - 4. − 4.
Xác định
a a a để 3 số
1 + 2 a ; 2 a 2 − 1 ; − 2 a 1 + 2a;2{a^2} - 1; - 2a 1 + 2 a ; 2 a 2 − 1 ; − 2 a theo thứ tự thành lập một cấp số cộng?
A
Đáp án A: Không có giá trị nào của a a a
B
Đáp án B: a = ± 3 4 a = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{4} a = ± 4 3
C
Đáp án C: a = ± 3 a = \pm 3 a = ± 3
D
Đáp án D: a = ± 3 2 a = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2} a = ± 2 3
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?
A
Đáp án A: u n = 3 n 2 + 2017 {u_n} = 3{n^2} + 2017 u n = 3 n 2 + 2017
B
Đáp án B: u n = 3 n + 2018 {u_n} = 3n + 2018 u n = 3 n + 2018
C
Đáp án C: u n = 3 n {u_n} = \,\,{3^n} u n = 3 n
D
Đáp án D: u n = ( − 3 ) n + 1 {u_n} = {\left( { - 3} \right)^{n + 1}} u n = ( − 3 ) n + 1
Cho dãy số
( u n ) , \left( {{u_n}} \right), ( u n ) , biết
u n = 2 n 2 − 1 n 2 + 3 . {u_n} = \frac{{2{n^2} - 1}}{{{n^2} + 3}}. u n = n 2 + 3 2 n 2 − 1 . Tìm số hạng
u 5 . {u_5}. u 5 .
A
Đáp án A: u 5 = 1 4 . {u_5} = \frac{1}{4}. u 5 = 4 1 .
B
Đáp án B: u 5 = 17 12 . {u_5} = \frac{{17}}{{12}}. u 5 = 12 17 .
C
Đáp án C: u 5 = 7 4 . {u_5} = \frac{7}{4}. u 5 = 4 7 .
D
Đáp án D: u 5 = 71 39 . {u_5} = \frac{{71}}{{39}}. u 5 = 39 71 .
Cho dãy số
( u n ) , \left( {{u_n}} \right), ( u n ) , biết
u n = ( − 1 ) n .2 n . {u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.2n. u n = ( − 1 ) n .2 n . Mệnh đề nào sau đây sai?
A
Đáp án A: u 1 = − 2. {u_1} = - 2. u 1 = − 2.
B
Đáp án B: u 2 = 4. {u_2} = 4. u 2 = 4.
C
Đáp án C: u 3 = − 6. {u_3} = - 6. u 3 = − 6.
D
Đáp án D: u 4 = − 8. {u_4} = - 8. u 4 = − 8.
Cho dãy số
( u n ) , \left( {{u_n}} \right), ( u n ) , biết
u n = ( − 1 ) n . 2 n n . {u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.\frac{{{2^n}}}{n}. u n = ( − 1 ) n . n 2 n . Tìm số hạng
u 3 . {u_3}. u 3 .
A
Đáp án A: u 3 = 8 3 . {u_3} = \frac{8}{3}. u 3 = 3 8 .
B
Đáp án B: u 3 = 2. {u_3} = 2. u 3 = 2.
C
Đáp án C: u 3 = − 2. {u_3} = - 2. u 3 = − 2.
D
Đáp án D: u 3 = − 8 3 . {u_3} = - \frac{8}{3}. u 3 = − 3 8 .
Chọn cấp số nhân trong các dãy số sau:
A
Đáp án A: 1 ; 0,2 ; 0,04 ; 0,0008 ; . . . 1;{\rm{ }}0{,}2;{\rm{ }}0{,}04;{\rm{ 0{,}0008; }}... 1 ; 0 , 2 ; 0 , 04 ; 0 , 0008 ; ...
B
Đáp án B: 2 ; 22 ; 222 ; 2222 ; . . . 2;{\rm{ 22}};{\rm{ 222}};2222{\rm{; }}... 2 ; 22 ; 222 ; 2222 ; ...
C
Đáp án C: x ; 2 x ; 3 x ; 4 x ; . . . x;{\rm{ }}2x;{\rm{ }}3x;{\rm{ }}4x{\rm{; }}... x ; 2 x ; 3 x ; 4 x ; ...
D
Đáp án D: 1 ; − x 2 ; x 4 ; − x 6 ; . . . 1;{\rm{ }} - {x^2};{\rm{ }}{x^4};{\rm{ }} - {x^6}{\rm{; }}... 1 ; − x 2 ; x 4 ; − x 6 ; ...
Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là một cấp số cộng?
A
Đáp án A: u n = n 2 + 1 , n ≥ 1 {u_n} = {n^2} + 1,\quad n \ge 1 u n = n 2 + 1 , n ≥ 1
B
Đáp án B: u n = 2 n , n ≥ 1 {u_n} = {2^n},\quad n \ge 1 u n = 2 n , n ≥ 1
C
Đáp án C: u n = n + 1 , n ≥ 1 {u_n} = \sqrt {n + 1} ,n \ge 1 u n = n + 1 , n ≥ 1
D
Đáp án D: u n = 2 n − 3 , n ≥ 1 {u_n} = 2n - 3,\quad n \ge 1 u n = 2 n − 3 , n ≥ 1
Phần II. Tự luận
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho cấp số nhân ( u n ) ({u_n}) ( u n ) { u 4 = 2 27 u 3 = 243 u 8 \left\{ \begin{array}{l}{u_4} = \frac{2}{{27}}\\{u_3} = 243{u_8}\end{array} \right. { u 4 = 27 2 u 3 = 243 u 8
a) Số hạng thứ 3 của dãy là 2 9 \frac{2}{9} 9 2
b) Số hạng thứ 5 của dãy là 2 81 \frac{2}{{81}} 81 2
c) T ổng 10 số hạng đầu của cấp số là 59048 19683 \frac{{59048}}{{19683}} 19683 59048
d) Số 2 6561 \frac{2}{{6561}} 6561 2
Cho cấp số cộng ( u n ) ({u_n}) ( u n ) { u 5 + 3 u 3 − u 2 = − 21 3 u 7 − 2 u 4 = − 34 \left\{ \begin{array}{l}{u_5} + 3{u_3} - {u_2} = - 21\\3{u_7} - 2{u_4} = - 34\end{array} \right. { u 5 + 3 u 3 − u 2 = − 21 3 u 7 − 2 u 4 = − 34
a) Công sai của cấp số cộng là d = − 3 d = - 3 d = − 3
b) S ố hạng thứ 100 của cấp số là u 100 = − 290 {u_{100}} = - 290 u 100 = − 290
c) T ổng 15 số hạng đầu của cấp số bằng − 285 - 285 − 285
d) Tổng S = u 4 + u 5 + . . . + u 30 = − 1542 S = {u_4} + {u_5} + ... + {u_{30}} = - 1542 S = u 4 + u 5 + ... + u 30 = − 1542
Cho dãy số ( u n ) \left( {{u_n}} \right) ( u n ) { u 1 = 2 u n + 1 = u n + 3 n − 2 ( n ∈ N ∗ ) \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 3n - 2\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\end{array} \right. { u 1 = 2 u n + 1 = u n + 3 n − 2 ( n ∈ N ∗ )
a) u 3 = 3 {u_3} = 3 u 3 = 3
b) u 4 = 10 {u_4} = 10 u 4 = 10
c) u 6 = 37 {u_6} = 37 u 6 = 37
d) u 101 = 14952 {u_{101}} = 14952 u 101 = 14952
Cho dãy số ( u n ) ({u_n}) ( u n ) u n = n 2 + 3 n + 7 n + 1 {u_n} = \frac{{{n^2} + 3n + 7}}{{n + 1}} u n = n + 1 n 2 + 3 n + 7
a) Số hạng đầu tiên của dãy là u 1 = 11 2 {u_1} = \frac{{11}}{2} u 1 = 2 11
b) Số hạng thứ 3 của dãy là u 3 = 25 4 {u_3} = \frac{{25}}{4} u 3 = 4 25
c) Tổng 5 số hạng đầu của dãy bằng 127 4 \frac{{127}}{4} 4 127
d) Dãy số có duy nhất một số hạng nguyên
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Cho dãy số ( u n ) ({u_n}) ( u n ) { u 1 = 1 ; u 2 = 2 u n + 2 = 2 u n + 1 + 3 u n + 5 \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1;\,{u_2} = 2\\{u_{n + 2}} = 2{u_{n + 1}} + 3{u_n} + 5\end{array} \right. { u 1 = 1 ; u 2 = 2 u n + 2 = 2 u n + 1 + 3 u n + 5 u 8 {u_8} u 8
Định x để 3 số
10 − 3 x , 2 x 2 + 3,7 − 4 x 10 - 3x,2{x^2} + 3{,}7 - 4x 10 − 3 x , 2 x 2 + 3 , 7 − 4 x theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng.
Cho
( u n ) \left( {{u_n}} \right) ( u n ) là cấp số cộng với số hạng đầu
u 1 = 4 {u_1} = 4 u 1 = 4 và công sai
d = − 10 d = - 10 d = − 10 . Viết công thức số hạng tổng quát
u n {u_n} u n .
Một quốc gia có dân số năm 2011 là
P P P triệu người. Trong 10 năm tiếp theo, mỗi năm dân số tăng
a % a\% a % . Chứng minh rằng dân số các năm từ năm 2011 đến năm 2021 của quốc gia đó tạo thành cấp số nhân. Tìm công bội của cấp số nhân này.
Cho dãy số
( u n ) ({u_n}) ( u n ) được xác định bởi:
{ u 1 = 1 2 u n + 1 = u n + 2 n \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = \frac{1}{2}\\{u_{n + 1}} = {u_n} + 2n\end{array} \right. { u 1 = 2 1 u n + 1 = u n + 2 n . Tìm số hạng
u 50 {u_{50}} u 50 .
Cho dãy số
( u n ) \left( {{u_n}} \right) ( u n ) được xác định bởi
{ u 1 = 2 u n + 1 = 4 u n + 9 , ∀ n ≥ 1 \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = 4{u_n} + 9\end{array} \right.,\forall n \ge 1 { u 1 = 2 u n + 1 = 4 u n + 9 , ∀ n ≥ 1 . Chứng minh rằng dãy số
( v n ) \left( {{v_n}} \right) ( v n ) xác định bởi
v n = u n + 3 , ∀ n ≥ 1 {v_n} = {u_n} + 3,\forall n \ge 1 v n = u n + 3 , ∀ n ≥ 1 là một cấp số nhân. Hãy xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.
Tất cả đề Bài tập cuối chương II · Các bộ sách Toán Lớp 11