Đề kiểm tra Bài tập cuối chương II lớp 11 (có lời giải) - Đề 2

Chọn D

Giả sử cấp số cộng có số hạng đầu là ${u_1}$ và công sai là $d$.

Khi đó, $\left\{ \begin{array}{l}{u_5} + 3{u_3} - {u_2} = - 21\\3{u_7} - 2{u_4} = - 34\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d + 3\left( {{u_1} + 2d} \right) - \left( {{u_1} + d} \right) = - 21\\3\left( {{u_1} + 6d} \right) - 2\left( {{u_1} + 3d} \right) = - 34\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{u_1} + 9d = - 21\\{u_1} + 12d = - 34\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d = - 3\end{array} \right.$.

Từ đó suy ra ${S_{15}} = \frac{{15}}{2}.\left[ {2.2 + \left( {15 - 1} \right).\left( { - 3} \right)} \right] = - 285$.

Chọn A

Ta có $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = 3$.

Do đó dãy số $3f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 12$ là một cấp số nhân với $10 = \int\limits_a^b {\left( {2x + 1} \right)f'\left( x \right){\rm{d}}x}$, công bội $q = 3$.

Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân là: ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$$= {3.3^{n - 1}}$$= {3^n}$.

Chọn A

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 13\\{u_4} - {u_1} = 26\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + q + {q^2}} \right) = 13\\{u_1}\left( {{q^3} - 1} \right) = 26\end{array} \right.$$\Rightarrow \frac{{\left( {{q^3} - 1} \right)}}{{\left( {1 + q + {q^2}} \right)}} = \frac{{26}}{{13}}$$\Rightarrow q - 1 = 2$$\Rightarrow q = 3$$\Rightarrow {u_1} = 1$.

${S_8} = \frac{{1\left( {1 - {3^8}} \right)}}{{1 - 3}} = 3280$.

Chọn A

Dãy số ở đáp án A thỏa ${u_{n + 1}} - {u_n} = 2$ với mọi $n \ge 1$ nên là cấp số cộng.

Chọn C

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ có tính chất ${u_{n + 1}} = {u_n} + d$ thì được gọi là một cấp số cộng.

Ta thấy dãy số: $1; - 3; - 7; - 11; - 15$ là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và công sai bằng $- 4.$

Chọn D

Theo công thức cấp số cộng ta có: $2(2{a^2} - 1) = (1 + 2a) + ( - 2a) \Leftrightarrow {a^2} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow a = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Chọn B

Ta có ${u_{n + 1}} - {u_n} = 3(n + 1) + 2018 - (3n + 2018) = 3 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = {u_n} + 3$.

Vậy dãy số trên là cấp số cộng có công sai $d = 3$.

Chọn C

Ta có ${u_5} = \frac{{{{2.5}^2} - 1}}{{{5^2} + 3}} = \frac{7}{4}$

Chọn D

Vì ${u_4} = {\left( { - 1} \right)^4}.2.4 = 8$

Chọn D

Ta có ${u_3} = {\left( { - 1} \right)^3}\frac{{{2^3}}}{3} = - \frac{8}{3}$

Chọn D

Dãy số : $1;{\rm{ }} - {x^2};{\rm{ }}{x^4};{\rm{ }} - {x^6}{\rm{; }}...$ là cấp số nhân có số hạng đầu ${u_1} = 1;{\rm{ }}$ công bội $q = - {x^2}$.

Chọn D

Theo định nghĩa cấp số cộng ta có: ${u_{n + 1}} = {u_n} + d \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = d,{\rm{ }}\forall n \ge 1,{\rm{ }}d = const$

Thử các đáp án ta thấy với dãy số: ${u_n} = 2n - 3,{\rm{ }}n \ge 1$ thì:

$\left\{ \begin{array}{l}{u_n} = 2n - 3\\{u_{n + 1}} = 2\left( {n + 1} \right) - 3 = 2n - 1\end{array} \right. \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = 2 = const$

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Gọi $q$ là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{u_1}{q^2} = 243.{u_1}{q^7}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{q^5} = \frac{1}{{243}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = \frac{1}{3}\\{u_1} = 2\end{array} \right.$

a) b) Năm số hạng đầu của cấp số là:

${u_1} = 2,{u_2} = \frac{2}{3},{u_3} = \frac{2}{9};{u_4} = \frac{2}{{27}},{u_5} = \frac{2}{{81}}$.

c) Tổng 10 số hạng đầu của cấp số

${S_{10}} = {u_1}\frac{{{q^{10}} - 1}}{{q - 1}} = 2.\frac{{{{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}} - 1}}{{\frac{1}{3} - 1}} = 3\left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}} \right] = \frac{{59048}}{{19683}}$.

d) Ta có: ${u_n} = \frac{2}{{{3^{n - 1}}}} \Rightarrow {u_n} = \frac{2}{{6561}} \Leftrightarrow {3^{n - 1}} = 6561 = {3^8} \Rightarrow n = 9$

Vậy $\frac{2}{{6561}}$ là số hạng thứ 9 của cấp số.

a) Đúng

b) Sai

c) Đúng

d) Sai

a) Từ giả thiết bài toán, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 4d + 3({u_1} + 2d) - ({u_1} + d) = - 21\\3({u_1} + 6d) - 2({u_1} + 3d) = - 34\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}+3d=-7 \\ {u}_{1}+12d=-34\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}=2 \\ d=-3\end{matrix}$

b) Số hạng thứ 100 của cấp số: ${u_{100}} = {u_1} + 99d = - 295$

c) Tổng của 15 số hạng đầu: ${S_{15}} = \frac{{15}}{2}\left[ {2{u_1} + 14d} \right] = - 285$

d) Ta có: $S = {u_4} + {u_5} + ... + {u_{30}} = \frac{{27}}{2}\left[ {2{u_4} + 26d} \right]$

$= 27\left( {{u_1} + 16d} \right) = - 1242$.

Chú ý: Ta có thể tính $S$ theo cách sau:

$S = {S_{30}} - {S_3} = 15\left( {2{u_1} + 29d} \right) - \frac{3}{2}\left( {2{u_1} + 2d} \right) = - 1242$.

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

Theo công thức truy hồi của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ ta có ${u_{n + 1}} - {u_n} = 3n - 2$.

Đặt ${v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}$$\Rightarrow {v_n} = 3n - 2$.

Ta có ${v_{n + 1}} - {v_n}$$= \left[ {3\left( {n + 1} \right) - 2} \right] - \left( {3n - 2} \right)$$= 3$,$\forall n \in {\mathbb{N}^*}$ nên $\left( {{v_n}} \right)$ là một cấp số cộng có số hạng đầu ${v_1} = 3.1 - 2 = 1$ và công sai $d = 3$.

Ta lại có: ${u_n} = \left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right) + \left( {{u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}} \right) + ... + \left( {{u_2} - {u_1}} \right) + {u_1}$$= {v_{n - 1}} + {v_{n - 2}} + ... + {v_1} + 2$.

Mà ${v_{n - 1}} + {v_{n - 2}} + ... + {v_1} = {S_{n - 1}}$$= \frac{{n - 1}}{2}\left[ {2{v_1} + \left( {n - 2} \right)d} \right]$$= \frac{{\left[ {2 + 3\left( {n - 2} \right)} \right]\left( {n - 1} \right)}}{2}$$= \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2}$

Vậy ${u_n} = \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {3n - 4} \right)}}{2} + 2$$\Rightarrow {u_{101}} = \frac{{100.299}}{2} + 2 = 14952$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Ta có năm số hạng đầu của dãy

${u_1} = \frac{{{1^2} + 3.1 + 7}}{{1 + 1}} = \frac{{11}}{2}$, ${u_2} = \frac{{17}}{3},{u_3} = \frac{{25}}{4},{u_4} = 7,{u_5} = \frac{{47}}{6}$

Ta có: ${u_n} = n + 2 + \frac{5}{{n + 1}}$, do đó ${u_n}$ nguyên khi và chỉ khi $\frac{5}{{n + 1}}$ nguyên hay $n + 1$ là ước của 5.

Điều đó xảy ra khi $n + 1 = 5 \Leftrightarrow n = 4$

Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là ${u_4} = 7$

${u_3} = 2{u_2} + 3{u_1} + 5 = 12$ ${u_4} = 2{u_3} + 3{u_2} + 5 = 35$ ${u_5} = 2{u_4} + 3{u_3} + 5 = 111$

${u_6} = 2{u_5} + 3{u_4} + 5 = 332$ ${u_7} = 2{u_6} + 3{u_5} + 5 = 1002$ ${u_8} = 2{u_7} + 3{u_6} + 5 = 3005$

Theo tính chất cấp số cộng ta có: $\left( {10 - 3x} \right) + \left( {7 - 4x} \right) = 2\left( {2{x^2} + 3} \right)$

$\Leftrightarrow 17 - 7x = 4{x^2} + 6 \Leftrightarrow 4{x^2} + 7x - 11 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \vee {\rm{ }}x = - \frac{{11}}{4}$.

$${u_n} = 4 + \left( {n - 1} \right)\left( { - 10} \right) = - 10{\rm{ }}n + 14$$

Vậy công thức số hạng tổng quát ${u_n} = - 10n + 14$

Dân số qua các năm là:

$\begin{array}{l}{u_{2011}} = P\\{u_{2012}} = P + aP = P(1 + a) = {u_{2011}} \cdot (1 + a)\\{u_{2013}} = P(1 + a) + aP(1 + a) = P{(1 + a)^2} = {u_{2012}} \cdot (1 + a)\\ \ldots ..\\{u_{n + 1}} = {u_n}(1 + a)\end{array}$

Vậy dân số các năm tạo thành cấp số nhân có công bội là $1 + a$

Từ giả thiết ta có:

$\begin{array}{l}{u_1} = \frac{1}{2}\\{u_2} = {u_1} + 2.2\\{u_3} = {u_2} + 2.3\\...\\{u_{50}} = {u_{49}} + 2.50\end{array}$

Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được:

${u_{50}} = \frac{1}{2} + 2.(2 + 3 + \,...\, + 50) = \frac{1}{2} + 2.\sum\limits_{x = 2}^{50} {x = 2548{,}5}$

Vì có ${v}_{n}={u}_{n}+3\text{(1)}\Rightarrow {v}_{n+1}={u}_{n+1}+3\text{(2)}$

Theo đề ${u_{n + 1}} = 4{u_n} + 9 \Rightarrow {u_{n + 1}} + 3 = 4\left( {{u_n} + 3} \right)$ (3).

Thay (1) và (2) vào (3) được: ${v_{n + 1}} = 4{v_n},\forall n \ge 1 \Rightarrow \frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = 4$(không đổi). Kết luận $\left( {{v_n}} \right)$ là cấp số nhân với công bội $q = 4$ và số hạng đầu ${v_1} = {u_1} + 3 = 5$.