Đề kiểm tra Ba đường conic lớp 10 (có lời giải) - Đề 2

Từ phương trình Elip ta có: ${a^2} = 9,{b^2} = 6$ $\Rightarrow {c^2} = 3$ $\Rightarrow c = \sqrt 3$.

$\Rightarrow$ Tiêu cự bằng $2c = 2\sqrt 3$.

Chọn A

Gọi (E) có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1{\rm{ ( a > b > 0 )}}$

Theo giả thiết ta có: $\left\{ \begin{array}{l}ab = 3\sqrt 5 \\{a^2} - {b^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 5\end{array} \right.$

Vậy (E) cần tìm là $\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1.$.

Phương trình chính tắc của Elip có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)$

Độ dài trục bé là $2b = 8 \Rightarrow b = 4$

Tiêu cự $2c = 4 \Rightarrow c = 2$. Mà ${c^2} = {a^2} - {b^2} \Rightarrow {a^2} = 4 + 16 = 20$

Vậy phương trình chính tắc của Elip là $\frac{{{x^2}}}{{20}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$.

Xét đáp án A:

Ta thay $A\left( {\sqrt 3 ;\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$ vào$\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1$ ta được:

$\frac{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$.

Giả sử $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ do $A,B$đối xứng nhau qua $Ox$nên $B\left( {{x_0}; - {y_0}} \right)$.

Ta có: $A{B^2} = 4{y^2}_0$và $A{C^2} = {\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2$.

Vì $A \in \left( E \right)$nên $\frac{{{x_0}^2}}{4} + \frac{{{y_0}^2}}{1} = 1 \Rightarrow y_0^2 = 1 - \frac{{{x_0}^2}}{4}$ $\left( 1 \right)$

Vì $AB = AC$nên ${\left( {{x_0} - 2} \right)^2} + y_0^2 = 4y_0^2$ $\left( 2 \right)$

Thay $\left( 1 \right)$ vào $\left( 2 \right)$ ta được $7x_0^2 - 16{x_0} + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = \frac{2}{7}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{y_0} = 0\\{y_0} = \pm \frac{{4\sqrt 3 }}{7}\end{array} \right.$

Vì $A \ne C$và $A$có tung độ dương nên $A\left( {\frac{2}{7};\frac{{4\sqrt 3 }}{7}} \right)v\`a$ $B\left( {\frac{2}{7};\frac{{ - 4\sqrt 3 }}{7}} \right)$.

Thay $x = 4$ vào phương trình hypebol $\frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1$ ta được $\frac{{{4^2}}}{{{4^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Rightarrow y = 0$.

Ta có câu C là đáp án đúng.

Ta có ${a^2} = 16$, ${b^2} = 9$, nên $c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {16 + 9} = 5$.

Vậy hypebol có hai tiêu điểm là ${F_1}\left( { - 5;0} \right)$ và ${F_2}\left( {5;0} \right)$.

Chọn A

Phương trình chính tắc hypebol $\left( H \right)$có dạng$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\;\left( {a > 0,\;b > 0} \right)$

Chọn D

Phương trình chính tắc hypebol $\left( H \right)$có dạng$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\;\left( {a > 0,\;b > 0} \right)$

Ta có

Tiêu điểm ${F_2}\left( {10;0} \right)$$\Rightarrow c = 10$.

$A\left( {8;0} \right) \in \left( H \right) \Leftrightarrow \frac{{{8^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\; \Leftrightarrow {a^2} = {8^2}$.

$\Rightarrow {b^2} = {c^2} - {a^2} = 36$.

Vậy phương trình chính tắc hypebol $\left( H \right)$: $\frac{{{x^2}}}{{64}} - \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1$.

Gọi phương trình chính tắc của $\left( E \right)$ là $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ với $a > b > 0$.

Vì $\left( E \right)$ đi qua điểm $A\left( { - 3;0} \right)$ nên $\frac{9}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow {a^2} = 9 \Rightarrow a = 3$.

Lại có $e = \frac{c}{a} = \frac{5}{6} \Rightarrow c = \frac{{5a}}{6} = \frac{5}{2} \Rightarrow 2c = 5$.

Elip có đỉnh $\left( { - 3;\,0} \right)$$\Rightarrow a = 3$ và một tiêu điểm $\left( {1;\,0} \right)$$\Rightarrow c = 1$.

Ta có ${c^2} = {a^2} - {b^2}$$\Leftrightarrow {b^2} = {a^2} - {c^2} = 9 - 1 = 8$.

Vậy phương trình $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1$.

Phương trình chính tắc của elip: $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1.$

Độ dài trục lớn $2a = 10 \Leftrightarrow a = 5$

Tiêu cự $2c = 6 \Leftrightarrow c = 3$

Ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2} \Leftrightarrow {b^2} = {a^2} - {c^2} = 16$

Vậy phương trình chính tắc của elip là $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1.$

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{M \in (E)}\\{N \in (E)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\frac{{{5^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{(\sqrt 2 )}^2}}}{{{b^2}}} = 1}\\{\frac{{{0^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{2^2}}}{{{b^2}}} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{a^2} = 50}\\{{b^2} = 4}\end{array}} \right.} \right.} \right.$. Vậy elip $(E):\frac{{{x^2}}}{{50}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$.

a) Sai

b) Đúng

c) Đúng

d) Đúng

Gọi phương trình parabol $(P)$ có dạng: ${y^2} = 2px(p > 0)$.

Có $A \in (P) \Leftrightarrow {( - 9)^2} = 2 \cdot p \cdot \frac{3}{4} \Leftrightarrow 2p = 108$. Vậy parabol $(P):{y^2} = 108x$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Sai

d) Sai

a) Phương trình chính tác của đường elip là: $\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$.

b) Ta có: $a = 5,b = 3$ nên ${c^2} = {a^2} - {b^2} = 25 - 9 = 16$, suy ra $c = 4$.

Các tiêu điểm của elip có toạ độ là $( - 4;0)$ và $(4;0)$.

Vậy $M$ và $N$ chính là các tiêu điểm của elip. Vì vậy, tổng khoảng cách từ mọi điểm trên đường elip đến $M$ và $N$ luôn bằng $2a = 10\;m$ không đổi.

c) Gọi giao điểm của đường thẳng $OP$ và elip là $Q$.

Vì độ dài bán trục lớn là $5\;m$ nên $OQ \le 5$. Suy ra $OQ < OP = 6\;m$.

Vậy vị trí $P$ ở ngoài hồ.

d) Giả sử $C\left( {{x_0};{y_0}} \right)$. Ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\frac{{x_0^2}}{{25}} + \frac{{y_0^2}}{9} = 1}\\{|{y_0}| = 2}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\frac{{x_0^2}}{{25}} + \frac{4}{9} = 1}\\{|{y_0}| = 2}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\left| {{x_0}} \right| = \frac{{5\sqrt 5 }}{3}}\\{\left| {{y_0}} \right| = 2}\end{array}} \right.} \right.} \right.$

Vậy $C$ cách trục nhỏ một khoảng bằng $\frac{{5\sqrt 5 }}{3}\;m$.

a) Đúng

b) Đúng

c) Đúng

d) Sai

Ta có: $2p = 16$, suy ra tham số tiêu $p = 8$.

Tiêu điểm của $(P)$ là $F(4;0)$, phương trình đường chuẩn $\Delta$ là $x = - 4$.

Ta có: $MF = d(M,\Delta ) = 5 + 4 = 9$.

Đáp án: $\left( { - \frac{{4\sqrt {34} }}{5}; - \frac{9}{5}} \right),\left( { - \frac{{4\sqrt {34} }}{5};\frac{9}{5}} \right),\left( {\frac{{4\sqrt {34} }}{5}; - \frac{9}{5}} \right),\left( {\frac{{4\sqrt {34} }}{5};\frac{9}{5}} \right)$

Từ phương trình chính tắc của hypebol (H) ta có $a = 4,b = 3,c = 5$.

Hypebol $(H)$ có tiêu cự là ${F_1}{F_2} = 2c = 10$.

Gọi $N\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm cần tìm. Ta có $N \in (H)$ nên $\frac{{x_0^2}}{{16}} - \frac{{y_0^2}}{9} = 1.\quad$ (1)

Theo đề bài, ta có $\Delta N{F_1}{F_2}$ vuông tại $N$, có $O$ là trung điểm của ${F_1}{F_2}$ (với $O$ là gốc tọa độ) nên $ON = \frac{{{F_1}{F_2}}}{2} = c = 5 \Rightarrow O{N^2} = 25 \Rightarrow x_0^2 + y_0^2 = 25 \Rightarrow y_0^2 = 25 - x_0^2$ (2)

Thay (2) vào (1) ta được

$\frac{{x_0^2}}{{16}} - \frac{{25 - x_0^2}}{9} = 1 \Leftrightarrow 9x_0^2 - 400 + 16x_0^2 = 144 \Leftrightarrow 25x_0^2 = 544 \Leftrightarrow x_0^2 = \frac{{544}}{{25}}$

$\Leftrightarrow {x_0} = \frac{{4\sqrt {34} }}{5}$ hoặc ${x_0} = \frac{{ - 4\sqrt {34} }}{5}.$

Từ đó tính được $y_0^2 = \frac{{81}}{{25}} \Rightarrow {y_0} = \frac{9}{5}$ hoặc ${y_0} = \frac{{ - 9}}{5}$.

Vậy có bốn điểm $N$ thoả yêu cầu bài toán là:

$\left( { - \frac{{4\sqrt {34} }}{5}; - \frac{9}{5}} \right),\left( { - \frac{{4\sqrt {34} }}{5};\frac{9}{5}} \right),\left( {\frac{{4\sqrt {34} }}{5}; - \frac{9}{5}} \right),\left( {\frac{{4\sqrt {34} }}{5};\frac{9}{5}} \right)$.

Đáp án: $\left( { \pm \frac{{4\sqrt 2 }}{3};\frac{1}{3}} \right),\left( { \pm \frac{{4\sqrt 2 }}{3}; - \frac{1}{3}} \right)$

Ta có ${a^2} = 4 \Rightarrow a = 2;{b^2} = 1 \Rightarrow b = 1;c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt 3 \Rightarrow {F_1}{F_2} = 2\sqrt 3$.

Gọi $M(x;y) \in (E)$ thì $M{F_1} = a + \frac{c}{a}x = 2 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}x,M{F_2} = a - \frac{c}{a}x = 2 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x$.

Ta có: ${F}_{1}{F}_{2}^{2}=M{F}_{1}^{2}+M{F}_{2}^{2}-2M{F}_{1}\cdot M{F}_{2}\cdot \cos {60}^{^{\circ}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(2\sqrt 3 )^2} = {\left( {2 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}x} \right)^2} + {\left( {2 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x} \right)^2} - 2\left( {2 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}x} \right)\left( {2 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x} \right) \cdot \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow 12 = 4 + 2\sqrt 3 x + \frac{3}{4}{x^2} + 4 - 2\sqrt 3 x + \frac{3}{4}{x^2} - \left( {4 - \frac{3}{4}{x^2}} \right) \Leftrightarrow 8 = \frac{9}{4}{x^2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{{4\sqrt 2 }}{3}.\end{array}$

Thay vào $(E)$, ta được: $\frac{{32}}{{9.4}} + {y^2} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow y = \pm \frac{1}{3}$.

Vậy có bốn điểm $M$ thỏa mãn là: $\left( { \pm \frac{{4\sqrt 2 }}{3};\frac{1}{3}} \right),\left( { \pm \frac{{4\sqrt 2 }}{3}; - \frac{1}{3}} \right)$.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ, gọi phương trình chính tắc elip là $(E):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(a > b > 0,y \ge 0)$. Ta có $:2a = 20 \Rightarrow a = 10,b = 8$.

Vậy phương trình elip mô tả nhà vòm là $(E):\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1(y \ge 0)$.

Gọi $M$ là điểm thuộc $(E)$ có hoành độ bằng 5 (hoặc $- 5$ ), chiều cao cần tìm chính là tung độ của điểm $M$.

Thay hoành độ $M$ vào phương trình $(E):\frac{{{{( \pm 5)}^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{64}} = 1$

$\Rightarrow {y^2} = 48 \Rightarrow y = 4\sqrt 3 \approx 6{,}928\;m.$

Gọi phương trình chính tắc của hypebol là $(H):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.

Ta có: $2c = 2\sqrt {13} \Rightarrow c = \sqrt {13} \Rightarrow {c^2} = {a^2} + {b^2} = 13 \Rightarrow {a^2} = 13 - {b^2}$ (1).

(H) qua $M\left( {\frac{{3\sqrt 5 }}{2}; - 1} \right)$ nên $\frac{{45}}{{4{a^2}}} - \frac{1}{{{b^2}}} = 1$. Suy ra: $\frac{{45}}{{4\left( {13 - {b^2}} \right)}} - \frac{1}{{{b^2}}} = 1$ $\Rightarrow 45{b^2} - 4\left( {13 - {b^2}} \right) = 4{b^2}\left( {13 - {b^2}} \right) \Rightarrow 4{b^4} - 3{b^2} - 52 = 0 \Rightarrow {b^2} = 4,{a^2} = 9$.

Vậy phương trình chính tắc của hypebol là $(H):\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1$.

Gọi phương trình chính tắc của elip $(E)$ là $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,{a^2} = {b^2} + {c^2}(a,b,c > 0)$.

Hai đỉnh trên trục nhỏ và hai tiêu điểm tạo thành một hình vuông nên $b = c$.

Mặt khác, diện tích hình vuông bằng 32 nên $2c.2b = 32 \Leftrightarrow {b^2} = 8$.

Suy ra ${a^2} = {b^2} + {c^2} = 16$.

Vậy Elip cần tìm có phương trình chính tắc $(E):\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1$.

Vẽ hệ trục $Oxy$ như hình vẽ:

Phương trình chính tắc của elip có dạng: $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(a > b > 0)$

Elip có chiều cao $5\;m$ nên $b = 5$.

Elip có chiều rộng $12\;m$ nên $2a = 12 \Rightarrow a = 6$.

Phương trình chính tắc của elip: $\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1$.