Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 9 Chân trời sáng tạo có đáp án - Tự luận: đề, đáp án và lời giải

Câu 1

1 điểm

Cho đồ thị hàm số $y = {x^2}$ có đồ thị $\left( P \right)$ .

(a) Vẽ đồ thị $\left( P \right)$ .

(b) Tìm các điểm trên parabol có tung độ bằng $16.$

(c) Tìm các điểm trên parabol (khác gốc tọa độ) các đều hai trục của tọa độ.

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Ta có bảng giá trị của $y$ tương ứng với giá trị của $x$ trong bảng như sau:

Hình minh hoạ

Do đó, đồ thị hàm số $y = {x^2}$ đi qua các điểm có tọa độ $\left( { - 2;4} \right)$ ; $\left( { - 1;1} \right)$ ; $\left( {0;0} \right)$ ; $\left( {1;1} \right)$ ; $\left( {2;4} \right)$ .

Từ đây, ta có đồ thị hàm số $y = {x^2}$ như sau:

Hình minh hoạ

b) Ta có: ${x^2} = 16$ suy ra $x = 4$ hoặc $x = - 4$ .

Do đó, các điểm trên parabol có tung độ $16$ là $\left( {4;16} \right)$ và $\left( { - 4;16} \right)$ .

c) Gọi $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm thuộc $\left( P \right)$ cách đều hai trục tọa độ.

Ta có: $d\left( {A;Ox} \right) = \left| {{y_0}} \right| = x_0^2$ ; $d\left( {A;Oy} \right) = \left| {{x_0}} \right|$ . Theo giả thiết thì ta có: $x_0^2 = \left| {{x_0}} \right|$

Suy ra $\left| {{x_0}} \right| = 0$ (loại do khác gốc tọa độ) hoặc $\left| {{x_0}} \right| = 1$ .

Suy ra ${x_0} = 1$ hoặc ${x_0} = - 1$ .

Vậy $A\left( {1;1} \right)$ hoặc $A\left( { - 1;1} \right)$ là các điểm trên parabol cách đều hai trục tọa độ.

Câu 2

1 điểm

Cho hàm số $y = a{x^2}$ có đồ thị hàm số $\left( P \right)$ .

(a) Xác định $a$ biết $\left( P \right)$ đi qua điểm $A\left( {1; - 2} \right)$ .

(b) Vẽ đồ thị $\left( P \right)$ .

(c) Tìm điểm thuộc $\left( P \right)$ có hoành độ bằng $2$ .

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Thay $x = 1$ , $y = - 2$ vào $\left( P \right)$ , ta được: $a = - 2$ .

Vậy $\left( P \right):y = - 2{x^2}$ .

b) Ta có bảng giá trị của $y$ tương ứng với giá trị của $x$ trong bảng như sau:

Hình minh hoạ

Do đó, đồ thị hàm số $y = - 2{x^2}$ đi qua các điểm có tọa độ $\left( { - 2; - 8} \right)$ ; $\left( { - 1; - 2} \right)$ ; $\left( {0;0} \right)$ ; $\left( {1; - 2} \right)$ ; $\left( {2; - 8} \right)$ .

Từ đây, ta có đồ thị của hàm số $y = - 2{x^2}$ như sau:

Hình minh hoạ

c) Thay $x = 2$ vào $\left( P \right)$ , ta được: $y = - {2.2^2} = - 8$ .

Vậy điểm thuộc $\left( P \right)$ có hoành độ bằng $2$ là $\left( {2; - 8} \right)$ .

Câu 3

1 điểm

Cho hàm số $y = a{x^2}$ với $a \ne 0$ .

(1) Xác định $a$ để đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( { - 1;2} \right)$ .

(2) Với giá trị $a$ vừa xác định được, hãy:

(a) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.

(b) Tìm các điểm trên đồ thị có tung độ bằng $4$ .

(c) Tìm các điểm trên đồ thị và cách đều hai trục tọa độ.

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

1. Thay $x = - 1,y = 2$ vào hàm số $y = a{x^2}$ , ta được: $2 = a.{\left( { - 1} \right)^2}$ suy ra $a = 2$ .

Do đó, ta có hàm số $y = 2{x^2}$ .

2.

a) Ta có bảng giá trị của $y$ tương ứng với giá trị của $x$ trong bảng như sau:

Hình minh hoạ

Do đó, đồ thị hàm số $y = 2{x^2}$ đi qua các điểm có tọa độ $\left( { - 2;8} \right)$ ; $\left( { - 1;2} \right)$ ; $\left( {0;0} \right)$ ; $\left( {1;2} \right);$ $\left( {2;8} \right)$ .

Từ đây, ta có đồ thị của hàm số $y = 2{x^2}$ như sau:

Hình minh hoạ

c) Gọi $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số $y = 2{x^2}$ cách đều hai trục tọa độ.

Ta có: $d\left( {A;Ox} \right) = \left| {{y_0}} \right| = 2x_0^2$ ; $d\left( {A;Oy} \right) = \left| {{x_0}} \right|$ . Theo giả thiết thì ta có: $2x_0^2 = \left| {{x_0}} \right|$

Suy ra $\left| {{x_0}} \right| = 0$ hoặc $\left| {{x_0}} \right| = \frac{1}{2}$ .

Suy ra ${x_0} = \frac{1}{2}$ hoặc ${x_0} = - \frac{1}{2}$ ; ${x_0} = 0$

Vậy $A\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)$ ; $A\left( { - \frac{1}{2};\frac{1}{2}} \right)$ ; $A\left( {0;0} \right)$ là các điểm trên parabol cách đều hai trục tọa độ.

Câu 4

1 điểm

Cho hàm số $y = \left( {{m^2} - 1} \right){x^2}$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để:

(a) Đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( {\frac{1}{2};2} \right)$ .

(b) Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ biết $\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 3\\2x + y = 1\end{array} \right.$ .

(c) Vẽ đồ thị hàm số với các giá trị $m$ tìm được ở trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Thay $x = \frac{1}{2},y = 2$ vào hàm số $y = \left( {{m^2} - 1} \right){x^2}$ , ta được:

$\left( {{m^2} - 1} \right){\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = 2$ suy ra ${m^2} - 1 = 8$ nên ${m^2} = 9$ , do đó $m = 3$ hoặc $m = - 3$ .

b) Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 3\\2x + y = 1\end{array} \right.$ .

Từ phương trình $2x + y = 1$ ta được $y = 1 - 2x$ .

Thay $y = 1 - 2x$ vào phương trình $3x + 2y = 3$ , ta có: $3x + 2\left( {1 - 2x} \right) = 3$ , do đó $x = - 1.$

Với $x = - 1$ thì $y = 3$ .

Do đó, $\left( {{x_0};{y_0}} \right) = \left( { - 1;3} \right)$ .

Thay $x = - 1$ , $y = 3$ vào hàm số $y = \left( {{m^2} - 1} \right){x^2}$ , ta được: $\left( {{m^2} - 1} \right).{\left( { - 1} \right)^2} = 3$ ,

suy ra ${m^2} - 1 = 3$ hay ${m^2} = 4$ .

Do đó, $m = 2$ hoặc $m = - 2$ .

c) • Với $m = 2$ và $m = - 2$ thì ta có hàm số $y = 3{x^2}$ .

Ta có bảng giá trị của $y$ tương ứng với giá trị của $x$ trong bảng như sau:

Hình minh hoạ

• Với $m = 3$ và $m = - 3$ thì ta có hàm số $y = 8{x^2}$ .

Ta có bảng giá trị của $y$ tương ứng với giá trị của $x$ trong bảng như sau:

Hình minh hoạ

Do đó, ta có đồ thị hai hàm số $y = 3{x^2}$ , $y = 8{x^2}$ được biểu diễn như sau:

Hình minh hoạ

Câu 5

1 điểm

Cho hàm số $y = a{x^2}$ biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm $A\left( {2;4} \right)$ .

(a) Vẽ đồ thị hàm số đã cho.

(b) Tìm các điểm trên parabol có tung độ bằng $8$ .

(c) Tìm $m$ sao cho $B\left( {m;{m^3}} \right)$ thuộc parabol.

(d) Tìm các điểm trên parabol (khác gốc tọa độ) cách đều hai trục tọa độ.

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Thay $x = 2,y = 4$ vào hàm số $y = a{x^2}$ , ta được: $a.{\left( 2 \right)^2} = 4$ suy ra $a = 1$ .

Vậy hàm số đó là $y = {x^2}$ .

Ta có bảng giá trị của $y$ tương ứng với giá trị của $x$ trong bảng như sau:

Hình minh hoạ

Do đó, đồ thị hàm số $y = {x^2}$ đi qua các điểm có tọa độ $\left( { - 2;4} \right)$ ; $\left( { - 1;1} \right)$ ; $\left( {0;0} \right)$ ; $\left( {1;1} \right)$ ; $\left( {2;4} \right)$ .

Từ đây, ta có đồ thị hàm số $y = {x^2}$ như sau:

Hình minh hoạ

b) Thay $y = 8$ vào hàm số $y = {x^2}$ được ${x^2} = 8$ , suy ra $x = 2\sqrt 2$ hoặc $x = - 2\sqrt 2$ .

Vậy các điểm có tọa độ $\left( {2\sqrt 2 ;8} \right)$ và $\left( { - 2\sqrt 2 ;8} \right)$ .

c) Thay $x = m,y = {m^3}$ vào hàm số $y = {x^2}$ , ta được:

${m^2} = {m^3}$ , suy ra ${m^3} - {m^2} = 0$ hay ${m^2}\left( {m - 1} \right) = 0$ suy ra $m = 0$ hoặc $m = 1$ .

d) Gọi $A\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là điểm thuộc đồ thị hàm số $y = {x^2}$ cách đều hai trục tọa độ.

Ta có: $d\left( {A;Ox} \right) = \left| {{y_0}} \right| = x_0^2$ ; $d\left( {A;Oy} \right) = \left| {{x_0}} \right|$ . Theo giả thiết thì ta có: $x_0^2 = \left| {{x_0}} \right|$

Suy ra $\left| {{x_0}} \right| = 0$ (loại do khác gốc tọa độ) hoặc $\left| {{x_0}} \right| = 1$ .

Suy ra ${x_0} = 1$ hoặc ${x_0} = - 1$ .

Do đó, các điểm có tọa độ $\left( {1;1} \right)$ và $\left( { - 1;1} \right)$ cách đều các trục tọa độ.

Câu 6

1 điểm

Một hòn đá rơi xuống một cái hang, khoảng cách rơi xuống được cho bởi công thức $h = 4{,}9{t^2}{\rm{ m}}$ , trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây.

(a) Hãy tính độ sâu của hang nếu mất $3{\rm{s}}$ để hòn đá chạm đáy.

(b) Nếu hang sâu $122{,}5{\rm{ m}}$ thì phải mất bao lâu để hòn đá chạm tới đáy.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 6

Câu 7

1 điểm

Một cây cầu treo tháp đôi cao $75{\rm{ m}}$ so với mặt của cây cầu và cách nhau ${\rm{400 m}}{\rm{.}}$ Các dây cáp có dạng đồ thị của hàm số $y = a{x^2}$ và được treo trên các đỉnh tháp như hình vẽ.

Hình minh hoạ

(a) Tính độ dài đoạn $CH$ của dây cáp, biết điểm $H$ cách tâm $O$ của cây cầu là $100{\rm{ m}}{\rm{.}}$ (giả sử mặt cầu của cây cầu bằng phẳng)

(b) Nếu có đường thẳng vuông góc với trục $Oy$ tại điểm $E\left( {0;27} \right)$ và đồng thời cắt parabol hai điểm $M,N$ (như hình vẽ) thì khoảng cách hai điểm $M,N$ lần lượt đến tâm $O$ là bao nhiêu?

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 7

Câu 8

1 điểm

Thiết diện một hồ nước là hình parabol $y = a{x^2}$ (chọn hệ trục tọa độ vuông góc với $Oxy$ như hình vẽ), biết rằng bề ngang của thiết diện là $AB = 8{\rm{ m}}$ , bề sâu của thiết diện $OC = 4{\rm{ m}}$ .

Hình minh hoạ

(a) Xác định hệ số $a$ .

(b) Vẽ đồ thị hàm số với hệ số $a$ vừa tìm được trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 8

Câu 9

1 điểm

Đường đi của quả bóng theo quỹ đạo là một parabol $y = a{x^2}$ . Một cầu thủ ở vị trí $A$ (hình minh họa), đá một quả bóng bay bổng lên cao đến vị trí $O$ cách mặt đất $15{\rm{ m}}$ và rơi xuống vị trí $B$ cách $A$ $30{\rm{ m}}$ .

Hình minh hoạ

Xác định tọa độ các điểm $A$ và $B$ trong hệ trục $Oxy$ này và tìm giá trị của hệ số $a$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 9

Câu 10

1 điểm

Quãng đường đi (đơn vị là mét) của một xe ô tô đi được trong thời gian $t$ giây được cho bởi công thức $y = a{t^2}$ . Giả sử ô tô trên đi được quãng đường $225{\rm{ m}}$ sau khoảng thời gian $5$ giây.

a) Xác định hệ số $a$ .

b) Hỏi xe ô tô đi trong bao lâu thì được quãng đường $3{,}6{\rm{ km}}$ so với vị trí ban đầu?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 10

Câu 11

1 điểm

Giải các phương trình sau:

(a) $5{x^2} - 7x = 0$ ;

(b) $- 3{x^2} + 9 = 0$ ;

(c) $- \sqrt 3 {x^2} - 7x = 0$ ;

(d) $- \frac{3}{5}{x^2} - \frac{7}{2} = 0$ ;

(e) ${\left( {x + 1} \right)^2} = 4$ ;

(f) ${\left( {x - 5} \right)^2} - 11 = 0$ ;

(g) $- {x^2} - 7x - 6 = 0$ ;

(h) ${x^2} - 3x + 2 = 0$ ;

(i) $9{x^2} - 12x + 4 = 0$ ;

(k) ${x^2} - 6x + 8 = 0$ ;

(l) $2{x^2} - 6x + 3 = 0$ ;

(m) ${x^2} - 3x + 3 = 0$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 11

Câu 12

1 điểm

Giải các phương trình sau:

(a) ${x^2} + \sqrt 8 x = 2$ ;

(b) ${x^2} + 2\sqrt 2 x + 2 = 0$ ;

(c) $2{x^2} + 2\sqrt {11} x - 7 = 0$ ;

(d) $3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0$ ;

(e) $\sqrt 3 {x^2} - \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x - 1 = 0$ ;

(f) $- 3{x^2} + 4\sqrt 6 x + 4 = 0$ ;

(g) $3{x^2} - 4x = \sqrt 2 {x^2} - 2$ ;

(h) ${x^2} = \sqrt 2 x + 2\sqrt 2$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 12

Câu 13

1 điểm

Giải các phương trình sau:

(a) ${\left( {x + 1} \right)^2} - 4\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = 0$ ;

(b) ${x^2} + 7x - 3 = x\left( {x - 1} \right) - 1$ ;

(c) $2{x^2} - 5x - 3 = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 3$ ;

(d) $5{x^2} - x - 3 = 2x\left( {x - 1} \right) - 1 + {x^2}$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 13

Câu 14

1 điểm

Cho phương trình $m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3 = 0$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để phương trình:

(a) Có hai nghiệm phân biệt.

(b) Có nghiệm kép.

(c) Vô nghiệm.

(d) Có đúng một nghiệm.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 14

Câu 15

1 điểm

Cho phương trình $\left( {2m - 3} \right){x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x - 1 = 0$ với $m$ là tham số.

(a) Giải phương trình với $m = 2$ .

(b) Chứng minh rằng với mọi $m \in \mathbb{R}$ , phương trình luôn có nghiệm.

(c) Với giá trị nào của $m$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 15

Câu 16

1 điểm

Cho phương trình $\left( {m - 2} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + m = 0$ với $m$ là tham số. Tìm các giá trị của $m$ để phương trình:

(a) Có hai nghiệm phân biệt.

(b) Có nghiệm kép.

(c) Vô nghiệm.

(d) Có đúng một nghiệm.

(e) Có nghiệm.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 16

Câu 17

1 điểm

Cho phương trình: ${x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 3m + 5 = 0$ .

(a) Giải phương trình với $m = 3$ .

(b) Tìm các giá trị của $m$ để phương trình có một trong các nghiệm bằng $- 4$ .

(c) Tìm các giá trị của $m$ để phương trình trên có nghiệm kép.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 17

Câu 18

1 điểm

Chứng minh rằng với mọi $m$ các phương trình sau luôn có nghiệm:

(a) ${x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x - m - 7 = 0$ ;

(b) ${x^2} - 4m{x^2} - 4m - 2 = 0$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 18

Câu 19

1 điểm

Cho phương trình

{x^2} + 5x - 4 = 0

. Gọi

{x_1};{x_2}

là hai nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức

Q = x_1^2 + x_2^2 + 6{x_1}{x_2}

.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 19

Câu 20

1 điểm

Giả sử ${x_1};{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${x^2} - 5x - 1 = 0$ . Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

(a) $A = x_1^2 + x_2^2 - {x_1} - {x_2}$ ;

(b) $B = x_1^4 + x_2^4$ ;

(c) $C = \frac{1}{{x_1^3}} + \frac{1}{{x_2^3}}$ ;

(d) $D = \left| {{x_1} - {x_2}} \right|$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 20

Câu 21

1 điểm

Tìm hai số $x$ và $y$ biết:

(a) $x + y = 18$ và $xy = 77$ ; (b) $x + y = - 3$ và $xy = 5$ ;

(c) $x - y = 2\sqrt 3$ và $xy = 1$ ; (d) ${x^2} + {y^2} = 34$ và $xy = - 15$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 21

Câu 22

1 điểm

Cho phương trình

{x^2} - 6x + m = 0

. Tìm

m

để phương trình có hai nghiệm phân biệt

{x_1};{x_2}

sao cho

{x_1} - {x_2} = 4

.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 22

Câu 23

1 điểm

Cho phương trình

{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} = 0

. Tìm

m

để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng

- 2

.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 23

Câu 24

1 điểm

Cho phương trình

{x^2} - \left( {4m - 1} \right)x + 3{m^2} - 2m = 0

. Tìm

m

để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

x_1^2 + x_2^2 = 7

.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 24

Câu 25

1 điểm

Cho phương trình

{x^2} - 2x + m - 3 = 0

. Tìm

m

để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn

x_1^3{x_2} + {x_1}x_2^3 = - 6

.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 25

Câu 26

1 điểm

Một tổ công nhân dự định làm

240

sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng khi thực hiện, nhờ cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày tổ đã làm thêm được

10

sản phẩm so với dự định. Do đó mỗi tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định

2

ngày. Hỏi khi thực thực hiện, mỗi ngày tổ đã làm được bao nhiêu sản phẩm?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 26

Câu 27

1 điểm

Một người đi xe máy từ huyện Ba Vì đến huyện Mỹ Đức cách nhau

100{\rm{ km}}

. Khi về người đó tăng vận tốc thêm

10{\rm{ km/h}}

so với lúc đi, do đó thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc lúc đi của xe máy.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 27

Câu 28

1 điểm

Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng

{\rm{6 m}}

. Diện tích của khu vườn là

{\rm{216 }}{{\rm{m}}^2}

. Tính chiều rộng và chiều dài mảnh vườn đó.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 28

Câu 29

1 điểm

Bai công nhân cùng làm một công việc thì hoàn thành công việc đó trong 6 giờ 40 phút. Nếu họ làm riêng thì công nhân thứ nhất hoàn thành công việc đó ít hơn công nhân thứ hai 3 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi công nhân phải làm trong bao lâu thì xong công việc?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 29

Câu 30

1 điểm

Một đội xe cần vận chuyển

{\rm{160}}

tấn gạo với khối lượng mỗi xe chở bằng nhau. Khi sắp khởi hành thì được bổ sung thêm 4 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn dự định lúc đầu là

2

tấn gạo (khối lượng mỗi xe chở vẫn bằng nhau). Hỏi đội xe ban đầu có bao nhiêu chiếc?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 30

Câu 31

1 điểm

Cho tam giác

ABC

vuông tại

A

có

AB = 4a

và đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC

có bán kính

R = \frac{{5a}}{2}

. Tính cạnh

AC

theo

a

.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 31

Câu 32

1 điểm

Đường tròn nội tiếp tam giác đều $ABC$ có bán kính bằng $4{\rm{ dm}}$ .

(a) Tính diện tích tam giác $ABC$ .

(b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 32

Câu 33

1 điểm

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều $ABC$ có bán kính bằng $R = \frac{{4a\sqrt 3 }}{3}$ .

(a) Tính cạnh của tam giác $ABC$ theo $a$ .

(b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp của $ABC$ theo $a$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 33

Câu 34

1 điểm

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 5{\rm{ cm}}$ , $AC = 12{\rm{ cm}}$ , $BC = 13{\rm{ cm}}$ .

(a) Tính diện tích tam giác $ABC$ .

(b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 34

Câu 35

1 điểm

Cho tam giác

ABC

vuông tại

A

, có

AB = 6{\rm{ cm}}

và

AC = 8{\rm{ cm}}

ngoại tiếp đường tròn

I

bán kính

r

. Tính

r

.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 35

Câu 36

1 điểm

Dựa vào hình vẽ sau, hãy tính số đo các góc của tứ giác $ABCD$ , biết $\widehat {DCx} = 135^\circ .$

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 36

Câu 37

1 điểm

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn. Vẽ các đường cao $BD$ và $CE$ của tam giác $ABC$ . Gọi $H$ là giao điểm của $BD$ và $CE$ .

(a) Chứng minh $ADHE$ là tứ giác nội tiếp.

(b) Chứng minh $BCDE$ là tứ giác nội tiếp.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 37

Câu 38

1 điểm

Cho tam giác

ABC

vuông tại

A

. Kẻ đường cao

AH

và phân giác trong

AD

của góc

HAC

. Phân giác trong của

\widehat {ABC}

cắt

AH

,

AD

lần lượt tại

M,N

. Chứng minh rằng:

MHDN

là tứ giác nội tiếp.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 38

Câu 39

1 điểm

Cho đường tròn tâm $O$ , đường kính $AB$ , dây $CD$ vuông góc với $AB$ tại $F$ . Gọi $M$ là một điểm thuộc cung nhỏ $BC$ ( $M$ khác $B,C$ ), hai đường thẳng $AM$ và $CD$ cắt nhau $E$ .

(a) Chứng minh tứ giác $BMEF$ nội tiếp.

(b) Chứng minh tia $MA$ là phân giác của góc $\widehat {CMD}$ .

(c) Chứng minh $A{C^2} = AE.AM.$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 39

Câu 40

1 điểm

Cho đường tròn $O$ đường kính $AB$ . Dây cung $MN$ vuông góc với $AB$ , $\left( {AM < BM} \right)$ . Hai đường thẳng $BM$ và $NA$ cắt nhau tại $K$ . Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $K$ đến đường thẳng $AB$ .

(a) Chứng minh tứ giác $AHKM$ nội tiếp trong một đường tròn.

(b) Chứng minh rằng $NB.HK = AN.HB.$

(c) Chứng minh $HM$ là tiếp tuyến của đường tròn $O$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 40

Câu 41

1 điểm

Cho điểm $M$ nằm ngoài đường tròn tâm $O$ . Vẽ tiếp tuyến $MA,MB$ của đường tròn với $A,B$ là các tiếp điểm. Vẽ cát tuyến $MCD$ không đi qua tâm $O$ ( $C$ nằm giữa $M$ và $D$ ); $OM$ cắt $AB$ và $\left( O \right)$ lần lượt tại $H,I$ . Gọi $E$ là trung điểm của $DC$ .

(a) Chứng minh: $MAOB,ABOE$ nội tiếp.

(b) Chứng minh $MC.MD = M{A^2}$ và $\widehat {MHC} = \widehat {MDO}$ .

(c) Chứng minh: $OH.OM + MC.MD = M{O^2}$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 41

Câu 42

1 điểm

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nội tiếp $\left( O \right)$ . Từ một điểm $D$ trên cạnh $BC$ kẻ đường thẳng vuông góc với $BC$ cắt $AC$ tại $F$ và cắt tia đối của tia $AB$ tại $E$ . Gọi $H$ là giao điểm của $BF$ và $CE$ , tia $HD$ cắt $\left( O \right)$ tại $K$ .

(a) Chứng minh tứ giác $AECD$ nội tiếp.

(b) Chứng minh $BF.BH = BD.BC$ và $AK \bot BC$ .

(c) Gọi $I$ là trung điểm của $EF$ . Chứng minh $OI \bot AH$ .

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 42

Câu 43

1 điểm

Cho đường tròn $\left( O \right)$ có dây cung $AB$ cố định. Kẻ đường kính $IK$ vuông góc với $AB$ tại $N$ ( $I$ thuộc cung lớn $AB$ ). Lấy điểm $M$ bất kì trên cung lớn $AB$ , $MK$ cắt $AB$ tại $D$ . Hai đường thẳng $IM$ và $AB$ cắt nhau tại $C$ .

(a) Chứng minh rằng $INDM$ là tứ giác nội tiếp.

(b) Chứng minh $ND.NC = NI.NK$ .

(c) Gọi $E$ là giao điểm của đường thẳng $ID$ và $CK$ . Chứng minh $E \in \left( O \right)$ .

(d) Xác định vị trí của $M$ trên cung lớn $AB$ để tích $DM.DK$ đạt giá trị lớn nhất.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 43

Câu 44

1 điểm

Một lục giác đều và một ngũ giác đều chung cạnh $AD$ như hình vẽ. Tính các góc của tam giác $ABC$ .

Hình minh hoạ

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 44

Câu 45

1 điểm

Cho ngũ giác đều $ABCDE$ . Gọi $I$ là giao điểm của $AD$ và $BE$ . Chứng minh rằng:

(a) $DIBC$ là hình bình hành;

(b) $D{I^2} = AI.AD.$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 45

Câu 46

1 điểm

Đường tròn tâm $O$ nội tiếp hình vuông $ABCD$ , tiếp điểm trên $AB$ là $M$ . Một tiếp tuyến với $\left( O \right)$ cắt các cạnh $BC,CD$ lần lượt ở $E,F$ . Chứng minh rằng

(a) Các tam giác $DFO$ và $BOE$ đồng dạng.

(b) $ME\parallel AF.$

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 46

Câu 47

1 điểm

Cho ngũ giác đều $ABCDE$ có tâm $O$ .

(a) Phép quay thuận chiều $O$ biến điểm $A$ thành điểm $C$ thì các điểm $B,C,D,E$ tương ứng biến thành điểm nào?

(b) Chỉ ra các phép quay tâm $O$ giữ nguyên hình ngũ giác đều đã cho.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 47

Câu 48

1 điểm

Cho các số

a,b,c

dương thỏa mãn

2ab + c\left( {a + b} \right) = 6

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P = \frac{{2a + 2b + c}}{{\sqrt {4{a^2} + 12} + \sqrt {4{b^2} + 12} + \sqrt {{c^2} + 12} }}

.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 48

Câu 49

1 điểm

Cho

a,b,c

là các số thực dương thỏa mãn

a + b + c = 1

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A = \frac{{ab}}{{\sqrt {c + ab} }} + \frac{{bc}}{{\sqrt {a + bc} }} + \frac{{ca}}{{\sqrt {b + ca} }}

.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 49

Câu 50

1 điểm

Một gia đình muốn xây một bể chứa nước dạng hình hộp với chiều dài

x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)

, chiều rộng

x{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)

và chiều cao

{\rm{h }}\left( {\rm{m}} \right)

có thể tích bằng

{\rm{4 }}{{\rm{m}}^3}

. Để xây dựng bể chứa nước này, gia đình đó cần phải trả

500\,\,000

đồng cho mỗi mét vuông để xây hai mặt đáy của bể và

1\,\,000\,\,000

đồng cho mỗi mét vuông để xây bốn mặt bể. Tính chi phí tối thiểu gia đình đó phải trả để xây bể chứa nước.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 50

Câu 51

1 điểm

Một người nông dân muốn rào một khu đất hình chữ nhật có chu vi là

600{\rm{ m}}

để xây dựng một vườn hoa. Với chiều rộng

x

của khu vườn, tìm

x

để diện tích vườn hoa xây được là lớn nhất.

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 51

Câu 52

1 điểm

Nhận dịp Tết Trung Thu, câu lạc bộ sinh viên muốn kinh doanh đèn ông sao. Chi phí để hoàn thiện mỗi chiếc đèn ông sao là

7

nghìn đồng. Với giá bán

25

nghìn đồng cho mỗi chiếc đèn ông sao, câu lạc bộ bán được

200

chiếc đèn. Để bán được nhiều đèn ông sao, câu lạc bộ sinh viên dự định giảm giá bán và ước tính rằng theo tỉ lệ cứ giảm giá

1

nghìn đồng mỗi chiếc đèn thì số lượng bán ra tăng thêm

20

chiếc. Vậy câu lạc bộ nên bán mỗi chiếc đèn với giá bao nhiêu để sau khi giảm giá thu được lợi nhuận cao nhất?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 52

Câu 53

1 điểm

Kim cương là một khoáng sản quý, có rất nhiều giá trị và được sử dụng với nhiều mục đích khác nhau. Giá bán của một viên kim cương tỉ lệ với bình phương khối lượng của nó. Khi đem một viên kim cương cắt thành ba phần và vẫn bán với giá như trên (theo đúng tỉ lệ trên) thì tổng số tiền thu được tăng hay giảm? Trong trường hợp nào giá kim cương ban đầu giảm nhiều nhất?

Xem đáp án và lời giải

Mở lời giải câu 53

Nội dung đề

Phần I. Tự luận

Đề cùng chủ đề