Đề cương ôn tập giữa kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Tự luận

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{b}{{2.2}} = 1 \Leftrightarrow b = - 4.$

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $\left( {0;4} \right)$ suy ra $4 = {2.0^2} + b.0 + c \Leftrightarrow c = 4.$

Vậy $\left( P \right):y = 2{x^2} - 4x + 4.$

b) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm $A\left( {1; - 2} \right)$ và $B\left( {2;3} \right)$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l} - 2 = a - 4 + c\\3 = 4a - 8 + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + c = 2\\4a + c = 11\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\c = - 1\end{array} \right..$

c) Vì (P) có đỉnh $I\left( {1;4} \right)$ nên $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{2} = 1\\ - \frac{{{b^2} - 4c}}{4} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 2\\c = 5\end{array} \right..$

Vậy $\left( P \right):y = {x^2} - 2x + 5.$

d) (P) đi qua các điểm $A\left( {0; - 1} \right),B\left( {1; - 1} \right);\,C\left( { - 1;1} \right)$ nên $\left\{ \begin{array}{l} - 1 = c\\ - 1 = a + b + c\\\,\,\,\,1 = a - b + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - 1\\a = 1\\b = - 1\end{array} \right.$.

Vậy $\left( P \right):y = {x^2} - x - 1.$

e) Ta có $x = - \frac{b}{{2a}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a + b = 0$ (1)

và $\frac{3}{4} = a{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + b\left( {\frac{1}{2}} \right) + c \Leftrightarrow a + 2b + 4c = 3$ (2) và $a > 0.$

Hàm số nhận giá trị bằng 1 khi $x = 1$ nên $a + b + c = 1$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\a + 2b + 4c = 3\\a + b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 1\\c = 1\end{array} \right..$

Vậy $\left( P \right):y = {x^2} - x + 1.$

Hướng dẫn giải

a) Đồ thị hàm số có đỉnh $I\left( {3;4} \right)$ và điểm $\left( { - 1;0} \right)$ thuộc đồ thị.

Ta có:

$- \frac{b}{{2a}} = 3 \Leftrightarrow b = - 6a.$ (1); $- \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4a}} = 4$ (2); $0 = a - b + c$ (3)

Thay $b = - 6a$ vào (2) ta được: $\frac{{4ac - 36{a^2}}}{{4a}} = 4 \Leftrightarrow c - 9a = 4$ (vì $a \ne 0$) $\Rightarrow c = 4 + 9a.$

Thay $b = - 6a$ và $c = 4 + 9a$ vào (3) ta được: $a + 6a + 4 + 9a = 0 \Leftrightarrow a = - \frac{1}{4}.$

Từ đó $b = - 6a = \frac{3}{2}$ và $c = 4 + 9a = \frac{7}{4}.$

Vậy $y = - \frac{1}{4}{x^2} + \frac{3}{2}x + \frac{7}{4}.$

b) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm $\left( {0;2} \right)$ suy ra $c = 2.$

Trục đối xứng là $x = 1$ nên $- \frac{b}{{2a}} = 1$.

Mà đồ thị đi qua điểm $M\left( {3;4} \right)$ nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}c = 2\\b = - 2a\\4 = 9a + 3b + c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{2}{3}\\b = - \frac{4}{3}\\c = 2\end{array} \right..$

Vậy $y = \frac{2}{3}{x^2} - \frac{4}{3}x + 2.$

c) Parabol có đỉnh $I\left( {2;0} \right)$ và đi qua điểm $\left( {0;2} \right).$

Suy ra $c = 2;\,\,\, - \frac{b}{{2a}} = 2 \Rightarrow b = - 4a.$

$\Delta = {b^2} - 4ac = 0 \Rightarrow 16{a^2} - 8a = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$ (vì $a \ne 0$) và $b = - 4a = - 2.$

Vậy $y = \frac{1}{2}{x^2} - 2x + 2.$

a) Đỉnh $I\left( {\frac{7}{{12}};\frac{{169}}{{24}}} \right),$ $\left( C \right)$ giao với Oy tại $\left( {0;5} \right)$ và $\left( C \right)$ giao Ox tại $\left( {\frac{5}{3};0} \right),\,\left( {\frac{{ - 1}}{2};0} \right).$

b) Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm giữa parabol và đường thẳng $y = m.$

Nếu $m < \frac{{169}}{{24}}$ thì đường thẳng và parabol cắt nhau tại hai điểm phân biệt nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Nếu $m = \frac{{169}}{{24}}$ thì đường thẳng cắt parabol tại một điểm nên phương trình có một nghiệm.

Nếu $m > \frac{{169}}{{24}}$ thì đường thẳng không cắt parabol nên phương trình vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Hoành độ đỉnh: ${x_I} = - \frac{b}{{2a}} = \frac{{2m}}{{2m}} = 1$, suy ra ${y_I} = - 4m - 2$.

Để hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng $- 10$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}m > 0\\ - 4m - 2 = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2$ ( thỏa mãn).

Hướng dẫn giải

a) Khi $t = 3(s)$ thì $s\left( 3 \right) = - {(3 - 2)^2} + 16\, = 15\,\,\left( {{\rm{km}}} \right)$.

b) Viên đạn đạt độ cao $7\,{\rm{km}}$ khi $s\left( t \right) = 7 \Leftrightarrow - {(t - 2)^2} + 16\,\, = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 5\\t = - 1(KTM)\end{array} \right.$

Vậy khi bắn được $5s$thì viên độ có độ cao$7\,{\rm{km}}$.

c) Giá trị lớn nhất của $s\left( t \right) = - {(t - 2)^2} + 16\,\,$là $16\,$ khi $t = 2$.

Vậy khi bắn viên đạn được $2s$ thì viên đạn đạt độ cao lớn nhất là $16\,$km.

d) Ta có $- {(t - 2)^2} + 16\,\, = 0 \Leftrightarrow {(t - 2)^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 6\\t = - 2(KTM)\end{array} \right.$

Vậy sau $6s$thì viên đạn sẽ rơi xuống mặt đất.