Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu chỉ chọn một phương án.

Một chất điểm chuyển động theo quy luật $s\left( t \right) = {t^2} - \frac{1}{6}{t^3}\left( {\rm{m}} \right).$ Tìm thời điểm $t$ (giây) mà tại đó vận tốc $v\left( {{\rm{m/s}}} \right)$ của chuyển động đạt giá trị lớn nhất.

Một hộp đựng Chocolate bằng kim loại có hình dạng lúc mở nắp như hình vẽ dưới đây. Một phần tư thể tích phía trên của hộp được rải một lớp bơ sữa ngọt, phần còn lại phía dưới chứa đầy chocolate nguyên chất. Với kích thước như hình vẽ, gọi $x = {x_0}$ là giá trị làm cho hộp kim loại có thể tích lớn nhất, khi đó thể tích chocolate nguyên chất có giá trị ${V_0}$ bằng

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, chọn đúng hoặc sai.

Một sợi dây kim loại dài $a$ $\left( {{\rm{cm}}} \right)$. Người ta cắt đoạn dây đó thành hai đoạn có độ dài $x$ $\left( {{\rm{cm}}} \right)$được uốn thành đường tròn và đoạn còn lại được uốn thành hình vuông $\left( {a > x > 0} \right).$

a) Bán kính đường tròn: $r = \frac{x}{\pi }$.

b) Diện tích hình vuông: ${\left( {\frac{{a - x}}{4}} \right)^2}$.

c) Tổng diện tích hai hình: $\frac{{\left( {4 + \pi } \right).{x^2} - 2a\pi x + \pi {a^2}}}{{16\pi }}$.

d) Khi $x = \frac{{a\pi }}{{2 + \pi }}$ thì hình vuông và hình tròn tương ứng có tổng diện tích nhỏ nhất.

Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục $Ox$. Toạ độ của chất điểm tại thời điểm $t$ được xác định bởi hàm số $x(t) = {t^3} - 6{t^2} + 9t$ với $t \ge 0$. Khi đó $x'(t)$ là vận tốc của chất điểm tại thời điểm $t$, kí hiệu $v(t);v'(t)$ là gia tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm $t$, kí hiệu $a(t)$.

a) Hàm $v(t) = 3{t^2} - 12t + 9$.

b) Hàm $a(t) = 6t - 12$.

c) Trong khoảng từ $t = 0$ đến $t = 2$ thì vận tốc của chất điểm tăng.

d) Từ $t = 2$ trở đi thì vận tốc của chất điểm giảm.

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được $x$ mét vải lụa $(1 \le x \le 18)$. Tổng chi phí sản xuất $x$ mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí:$C(x) = {x^3} - 3{x^2} - 20x + 500.$ Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn đồng/mét. Gọi $B(x)$ là số tiền bán được và $L(x)$ là lợi nhuận thu được khi bán $x$ mét vải lụa.

a) Biểu thức tính $B(x)$ theo $x$ là $B(x) = 220x$(nghìn đồng).

b) Biểu thức tính $L(x)$ theo $x$là $L(x) = - {x^3} + 3{x^2} + 220x - 500$ (nghìn đồng).

c) Hộ làm nghề dệt này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày 10 mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa.

d) Lợi nhuận tối đa của hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm có thể đạt được là 1000 nghìn đồng.

Thể tích nước của một bể bơi sau $t$ phút bơm được tính theo công thức $V\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( {30{t^3} - \frac{{{t^4}}}{4}} \right)$(${{\rm{m}}^{\rm{3}}}$) $\left( {0 \le t \le 90} \right)$. Tốc độ bơm nước tại thời điểm $t$ được tính bởi $v\left( t \right) = V'\left( t \right)$.

a) Thể tích nước sau $10$ phút là 80 (${{\rm{m}}^{\rm{3}}}$).

b) Tốc độ bơm nước tại thời điểm $t = 20$ phút là 280 (${{\rm{m}}^{\rm{3}}}$/phút).

c) Sau $60$ phút, tốc độ bơm nước giảm.

d) Tốc độ bơm nước cao nhất là $1000$ (${{\rm{m}}^{\rm{3}}}$/phút).

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số$f(t) = \frac{{5000}}{{1 + 5{e^{ - t}}}},t \ge 0,$trong đó thời gian $t$ được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm $f'(t)$ sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Một nhóm học sinh được giao nhiệm vụ làm một hộp không nắp làm bằng từ mảnh bìa như hình vẽ.

Hộp có đáy là một hình vuông cạnh $x$ ($cm$), đường cao là h ($cm$) và có thể tích là 100 $c{m^3}$. Tìm giá trị của $x$ sao diện tích của mảnh bìa là nhỏ nhất (làm tròn đến hàng phần trăm).

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở $A$ đến một hòn đảo ở $C$ như hình. Khoảng cách từ hòn đảo $C$ đến bờ biển là đoạn ${\rm{CB}}\,{\rm{ = }}\,4\,{\rm{km}}$. Bờ biển chạy thẳng từ $A$ đến $B$ với khoảng cách là $12\;{\rm{km}}$. Tổng chi phí lắp đặt cho 1 km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng. Hỏi cần đặt vị trí nối dây $M$ trên đoạn AB (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) cách nhà máy điện A bao nhiêu km để tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất.