Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Tự luận

a) Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Có $y' = - 3{x^2} + 6x$.

Có $y' = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2) và nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞).

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ và ${y_{CT}} = - 4$.

Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$ và .

b) Tập xác định: D = ℝ.

Có $y' = 4{x^3} + 12{x^2}$; $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 3\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 3} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( { - 3; + \infty } \right)$.

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 3$ và ${y_{CT}} = - 28$.

Hàm số không có cực đại.

a) Tập xác định của hàm số $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

Ta có $y' = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 1$.

Vậy hàm số đồng biến trên $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( { - 1; + \infty } \right)$.

Hàm số không có cực trị.

b) Tập xác định của hàm số $\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$.

Có $y' = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$, $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.$.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( {0; + \infty } \right)$.

Hàm số nghịch biến trên $\left( { - 2; - 1} \right)$ và $\left( { - 1;0} \right)$.

Hàm số đạt cực đại tại $x = - 2$ và .

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0$ và ${y_{CT}} = 2$.

a) Tập xác định của hàm số là $D = \left( { - \infty ;3} \right)$.

Có $y' = 2x - \frac{4}{{3 - x}} = \frac{{ - 2{x^2} + 6x - 4}}{{3 - x}}$; $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

+) Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2) và nghịch biến trên các khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {2;3} \right)$.

+) Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$ và ${y_{CT}} = 1 + 4\ln 2$.

+) Hàm số đạt cực đại tại $x = 2$ và .

b) Tập xác định của hàm số là $D = \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$.

Ta có $y' = \frac{{x - 1}}{{\sqrt {{x^2} - 2x} }},\forall x \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.

Có $y' = 0 \Leftrightarrow x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \notin D$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$.

Hàm số không có cực trị.

a) Có $f'\left( x \right) = - 3{x^2} + 6x$$\Leftrightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 6x = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \in \left[ { - 3;1} \right]\\x = 2 \notin \left[ { - 3;1} \right]\end{array} \right.$.

Ta có $f\left( { - 3} \right) = 64,f\left( 0 \right) = 10,f\left( 1 \right) = 12$.

Suy ra $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 3;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( { - 3} \right) = 64;\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 3;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 10$.

b) Ta có $f'\left( x \right) = - 8{x^3} + 8x$; $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 8{x^3} + 8x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right.$.

Có $f\left( 0 \right) = 3,f\left( 1 \right) = 5,f\left( 2 \right) = - 13$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = 5;\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = - 13$.

a) Có $f'\left( x \right) = - \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in \left[ {0;4} \right]$. Suy ra hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn $[0;4]$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = 3;\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 4 \right) = \frac{{11}}{5}$.

b) Có $f'\left( x \right) = \frac{{ - 4{x^2} - 6x + 4}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}$; $f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 4{x^2} - 6x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: $\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) = 1;\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} f\left( x \right) = f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 6$.