Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 12 cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Ta có $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 2t - \frac{1}{2}{t^2}.$ Suy ra $v'\left( t \right) = 2 - t$ và $v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2.$

Bảng biến thiên

Vậy chất điểm đạt vận tốc lớn nhất tại thời điểm $t = 2$ (giây). Chọn A.

Ta có $v\left( t \right) = s' = - 6{t^2} + 48t + 9$. Xét hàm số $v\left( t \right) = - 6{t^2} + 48t + 9$, $t \in \left[ {0;10} \right]$.

Ta có $v'\left( t \right) = - 12t + 48 = 0 \Leftrightarrow t = 4$(Nhận). Ta có $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{v\left( 0 \right) = 9}\\{v\left( 4 \right) = 105}\\{v\left( {10} \right) = - 111}\end{array}} \right.$$\Rightarrow \mathop {\max }\limits_{t \in \left[ {0;10} \right]} v\left( t \right) = v\left( 4 \right) = 105$. Chọn B.

Ta có: $S = {t^3} - 3{t^2} - 9t + 2$

$\Rightarrow \{\begin{matrix}v=S'=3{t}^{2}-6t-9 \\ a=S"=6t-6\end{matrix}$

Khi vận tốc bị triệt tiêu tức $v = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 6t - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1 < 0\\t = 3\left( {tm} \right)\end{array} \right.$.

Khi đó gia tốc tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu là $a = 6.3 - 6 = 12\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right)$. Chọn D.

Gọi $x$ là chiều rộng của đáy thùng, $x > 0$, đơn vị ${\rm{m}}$.

$\Rightarrow$ chiều dài của đáy thùng là: $2x$.

Ta có $V = x.2x.h = 10$ $\Rightarrow h = \frac{5}{{{x^2}}}$.

Chi phí làm đáy thùng là: $2{x^2}.75 = 150{x^2}$ (đơn vị nghìn đồng).

Chi phí làm diện tích xung quanh là : $\left( {2x.\frac{5}{{{x^2}}} + 2.2x.\frac{5}{{{x^2}}}} \right).55 = \frac{{1650}}{x}$ (đơn vị nghìn đồng).

$\Rightarrow$ Chi phí làm thùng là : $T = 150{x^2} + \frac{{1650}}{x}$ (đơn vị nghìn đồng).

Xét hàm số $T = 150{x^2} + \frac{{1650}}{x}$, với $x > 0$.

Ta có $T'\left( x \right) = 300x - \frac{{1650}}{{{x^2}}}$ ; $T'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}$.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên $T\left( x \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = \sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}$.

Vậy chi phí ít nhất bằng $T = 150{\sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}^2} + \frac{{1650}}{{\sqrt[3]{{\frac{{11}}{2}}}}} \approx 1402000$ đồng. Chọn C.

Gọi $R$ và $h$ lần lượt là bán kính và chiều cao của bể chứa nước.

Ta có thể tích bể chứa nước là: $V = 1$$\Rightarrow \pi {R^2}h = 1 \Leftrightarrow h = \frac{1}{{\pi {R^2}}}$.

Diện tích nắp và mặt đáy bể chứa nước là: ${S_1} = \pi {R^2}$.

Diện tích xung quanh của bể chứa nước là: ${S_2} = 2\pi Rh = 2\pi R.{\mkern 1mu} \frac{1}{{\pi {R^2}}} = \frac{2}{R}$.

Chi phí làm bể chứa nước là: $f\left( R \right) = 6{\mkern 1mu} \pi {R^2} + 2{\mkern 1mu} \pi {R^2} + 4.{\mkern 1mu} \frac{2}{R} = 8\pi {R^2} + \frac{8}{R}$ (trăm nghìn đồng).

Ta có: $f'\left( R \right) = 16\pi R - \frac{8}{{{R^2}}}$. Xét $f'\left( R \right) = 0 \Leftrightarrow 16\pi R - \frac{8}{{{R^2}}} = 0$$\Leftrightarrow 2\pi {R^3} - 1 = 0 \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\frac{1}{{2\pi }}}}$.

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy chi phí làm bể chứa nước thấp nhất khi $R = \sqrt[3]{{\frac{1}{{2\pi }}}}$. Chọn C.

Điều kiện: $0 < x < 6$.

Thể tích của hộp kim loại là: $V\left( x \right) = \left( {6 - x} \right)\left( {12 - 2x} \right)x = 2{x^3} - 24{x^2} + 72x$ (đvtt).

$V'\left( x \right) = 6{x^2} - 48x + 72,$$0 < x < 6$.

$V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 6\,\,\left( l \right)\end{array} \right.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra thể tích hộp kim loại lớn nhất khi và chỉ khi $x = 2$.

Vậy ${V_0} = \frac{3}{4}V\left( 2 \right) = \frac{3}{4}.64 = 48$(đvtt). Chọn D.

Gọi $x$ là giá thuê thực tế của mỗi căn hộ, ($x$: đồng; $x \ge 2000000$ đồng)

Ta có thể lập luận như sau:

Tăng giá 100000 đồng thì có 2 căn hộ bị bỏ trống.

Tăng giá $x - 2000000$ đồng thì có bao nhiêu căn hộ bị bỏ trống.

Ta có số căn hộ bị bỏ trống là: $\frac{{2\left( {x - 2000000} \right)}}{{100000}} = \frac{{x - 2000000}}{{50000}}$

Do đó khi cho thuê với giá $x$ đồng thì số căn hộ cho thuê là:

$$50 - \frac{{x - 2000000}}{{50000}} = - \frac{x}{{50000}} + 90$$

Gọi $F\left( x \right)$ là hàm lợi nhuận thu được khi cho thuê các căn hộ, ($F\left( x \right)$: đồng).

Ta có: $F\left( x \right) = \left( { - \frac{x}{{50000}} + 90} \right)x = - \frac{1}{{50000}}{x^2} + 90x$ ( bằng số căn hộ cho thuê nhân với giá cho thuê mỗi căn hộ).

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của $F\left( x \right) = - \frac{1}{{50.000}}{x^2} + 90x$, $x \ge 2000000$

$F'\left( x \right) = - \frac{1}{{25000}}x + 90$; $F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{{25000}}x + 90 = 0 \Leftrightarrow x = 2250000$.

Bảng biến thiên:

Suy ra $F\left( x \right)$ đạt giá trị lớn nhất khi $x = 2250000$

Vậy công ty phải cho thuê với giá 2250000 đồng mỗi căn hộ thì được lãi lớn nhất. Chọn A.

Gọi $x$ là số hành khách trên mỗi chuyến xe để số tiền thu được là lớn nhất $\left( {0 < x \le 60} \right)$.

Gọi $F\left( x \right)$ là hàm lợi nhuận thu được ($F\left( x \right)$: đồng)

Số tiền thu được: $F\left( x \right) = {\left( {300 - \frac{{5x}}{2}} \right)^2}.x = 90000x - 1500{x^2} + \frac{{25}}{4}{x^3}$

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

$F'\left( x \right) = 90000 - 3000x + \frac{{75}}{4}{x^2};\,F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 90000 - 3000x + \frac{{75}}{4}{x^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 120({\rm{ktm)}}\\x = 40(tm)\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên

Vậy để thu được số tiền lớn nhất thì trên mỗi chuyến xe khách đó phải chở 40 người. Chọn B.

Xét hàm số $N(t) = 1000 + 30{t^2} - {t^3}\,(0 \le t \le 30)$.

$N'\left( t \right) = 60t - 3{t^2}$.

$N'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 20\end{array} \right.$.

Với $t = 20$ giây thì số vi khuẩn lớn nhất. Chọn A.

Tốc độ truyền bệnh là $f'\left( t \right)\, = \,36t - {t^2};\forall t \in \left[ {0;30} \right]$

$\Rightarrow \,f''\left( t \right) = 36 - 2t$; $\,f''\left( t \right) = \,0\, \Leftrightarrow 36 - 2t = 0 \Leftrightarrow t = 18 \in \,\left( {0;30} \right)$.

Khi đó $f'\left( 0 \right) = 0;\,f'\left( {18} \right) = 324\,;f'\left( {30} \right) = 180$.

$\mathop { \Rightarrow Max\,}\limits_{\left[ {0;30} \right]} f'\left( t \right) = 324$ khi $t = 18$

Vậy tốc độ truyền bệnh lớn nhất là $324$ người/ngày tại ngày thứ $18$. Chọn A.

a) Do $x$ là độ dài của đoạn dây cuộn thành hình tròn $\left( {0 < x < a} \right)$.

Suy ra chiều dài đoạn còn lại là $a - x$.

Chu vi đường tròn: $2\pi r = x$$\Rightarrow r = \frac{x}{{2\pi }}$. Diện tích hình tròn: ${S_1} = \pi .{r^2}$$= \frac{{{x^{\rm{2}}}}}{{4\pi }}$.

b) Diện tích hình vuông: ${S_2} = {\left( {\frac{{a - x}}{4}} \right)^2}$.

c) Tổng diện tích hai hình: $S = \frac{{{x^2}}}{{4\pi }} + {\left( {\frac{{a - x}}{4}} \right)^2}$$= \frac{{\left( {4 + \pi } \right).{x^2} - 2a\pi x + \pi {a^2}}}{{16\pi }}$.

Đạo hàm: $S' = \frac{{\left( {4 + \pi } \right).x - a\pi }}{{8\pi }}$; $S' = 0$$\Leftrightarrow x = \frac{{a\pi }}{{4 + \pi }}$.

d) Hàm $S$ chỉ có một cực trị và là cực tiểu tại $x = \frac{{a\pi }}{{4 + \pi }}$ suy ra ${S_{\min }} \Leftrightarrow$$x = \frac{{a\pi }}{{4 + \pi }}$.

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; c) Sai.

a) Hàm $v(t) = x'(t) = 3{t^2} - 12t + 9$.

b) Hàm $a(t) = v'(t) = 6t - 12$.

c) d) Tập xác định: $D = [0; + \infty ]$; $a(t) = 0 \Leftrightarrow t = 2$

Bảng biến thiên:

Vậy trong khoảng từ $t = 0$ đến $t = 2$ thì vận tốc của chất điểm giảm, từ $t = 2$ trở đi thì vận tốc của chất điểm tăng.

Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; c) Sai.

Khi bán $x$ mét vải lụa:

a) Số tiền thu được là: $B(x) = 220x$ (nghìn đồng).

b) Lợi nhuận thu được là: $L(x) = B(x) - C(x) = - {x^3} + 3{x^2} + 240x - 500$ (nghìn đồng).

c) Hàm số $L(x)$ xác định trên $[1;18]$.

$L'(x) = - 3{x^2} + 6x + 240;L'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 10$ hoặc $x = - 8$ (loại).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hộ làm nghề dệt này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày 10 mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa.

d) Dựa vào bảng biến thiên ta có lợi nhuận tối đa của hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm có thể đạt được là 1200 nghìn đồng.

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; c) Sai.

a) Thể tích nước sau $10$ phút là $V\left( {10} \right) = \frac{1}{{100}}\left( {{{30.10}^3} - \frac{{{{10}^4}}}{4}} \right)$$= 275$(${{\rm{m}}^{\rm{3}}}$).

b) Tốc độ bơm nước tại thời điểm $t$ được tính bởi $v\left( t \right) = V'\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( {90{t^2} - {t^3}} \right)$

Tốc độ bơm nước tại thời điểm $t = 20$ phút là $v\left( {20} \right) = \frac{1}{{100}}\left( {{{90.20}^2} - {{20}^3}} \right) = 280$(${{\rm{m}}^{\rm{3}}}$/phút).

c) Xét hàm số $v\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( {90{t^2} - {t^3}} \right)$ là hàm số biểu thị tốc độ bơm nước tại thời điểm $t$.

Ta có: $v'\left( t \right) = \frac{1}{{100}}\left( {180t - 3{t^2}} \right)$

$v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 3{t^2} + 180t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 60\end{array} \right.$

Bảng biến thiên

Vậy sau $60$ phút, tốc độ bơm nước giảm.

d) Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $v\left( t \right)$ta thấy tốc độ bơm nước cao nhất là $1080$ (${{\rm{m}}^{\rm{3}}}$/phút).

Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; c) Sai.

Ta có: $f'(t) = \frac{{ - 5000{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}} = \frac{{25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}$

Tốc độ bán hàng là lớn nhất khi $f'(t)$ lớn nhất.

Đặt $h(t) = \frac{{25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2}}}$.

$h'(t) = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^2} - 2 \cdot \left( { - 5{e^{ - t}}} \right) \cdot \left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right) \cdot 25000{e^{ - t}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}}$

$\begin{array}{l} = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)\left( {1 + 5{e^{ - t}} - 10{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^4}}} = \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}}\\h'(t) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 25000{e^{ - t}}\left( {1 - 5{e^{ - t}}} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - t}}} \right)}^3}}} = 0 \Leftrightarrow 1 - 5{e^{ - t}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - t}} = \frac{1}{5} \Leftrightarrow t = \ln 5(tm)\end{array}$

Ta có bảng biến thiên với $t \in [0; + \infty )$:

Vậy sau khi phát hành khoảng $\ln 5 \approx 1{,}6$ năm thì thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.

Trả lời: 1,6.

$V = {x^2}.h = 100 \Rightarrow h = \frac{{100}}{{{x^2}}}$

Gọi $S(x)$là diện tích của mảnh bìa $S(x) = {x^2} + 4xh = {x^2} + \frac{{400}}{x};x > 0$.

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất $S(x)$trên $(0; + \infty )$

$S'(x) = \frac{{2({x^3} - 200)}}{{{x^2}}};S'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{{200}}$

Lập bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên diện tích của mảnh bìa nhỏ nhất tại điểm $x = \sqrt[3]{{200}} \approx 5{,}85$ (cm).

Trả lời: 5,85.

Gọi khoảng cách BM là $x\left( {{\rm{km}}} \right),\left( {0 \le x \le 12} \right)$.

Khi đó khoảng cách AM là $12 - x$ (km).

Khoảng cách ${\rm{CM}}$ là $\sqrt {16 + {x^2}} (\;{\rm{km}})$.

Khi đó chi phí lắp đặt dây điện là: $f(x) = 30(12 - x) + 50\sqrt {16 + {x^2}}$ (triệu đồng).

Bài toán trở thành tìm $x \in \left[ {0;12} \right]$ để $f(x)$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có, ${\rm{ }}f'(x) = - 30 + \frac{{50x}}{{\sqrt {16 + {x^2}} }}$

Có $f'(x)=0$ $\Leftrightarrow - 30 + \frac{{50x}}{{\sqrt {16 + {x^2}} }} = 0$$\Leftrightarrow - 30\sqrt {16 + {x^2}} + 50x = 0$$\Leftrightarrow 3\sqrt {16 + {x^2}} = 5x$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\9\left( {16 + {x^2}} \right) = 25{x^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow x = 3 \in \left( {0;12} \right)$

Ta có $f(0) = 560;\,\,f(3) = 520;\,\,f(12) = 200\sqrt {10}$.

Do đó chi phí nhỏ nhất để lắp dây điện là 520 triệu đồng khi ${\rm{M}}$ cách A một đoạn 9 km trên đoạn AB.

Trả lời: 9.