Đề cương ôn tập cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Tự luận

Tính các giới hạn sau:

a) $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{{ - {n^2} + 7n - 9}}{{5{n^2} + 2n}}} \right)$;

b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 4} \frac{{\sqrt {x + 21} - 5}}{{2x - 8}}$;

c) $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\sqrt {4{n^2} + n} + 2n - 3}}{{n + 5}}$;

d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {2023x + 1} .\sqrt[3]{{2024x + 1}} - 1}}{x}$.

Một hình vuông ${C_1}$ cạnh bằng $8$. Chia mỗi cạnh hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để được hình vuông ${C_2}$ (như hình vẽ bên dưới). Tiếp tục như thế ta được dãy các hình vuông ${C_1},{C_2},...,{C_n},...$ Giả sử cách dựng trên có thể tiến ra vô hạn. Gọi ${S_i}$ là diện tích của các hình vuông ${C_i}(i = 1{,}2,...)$. Tính tổng diện tích $S$ của tất cả các hình vuông ${C_1},{C_2},...,{C_n},...$

Cho tam giác vuông cân $OBM$ tại $O$ có $OB = OM = 1$. Lấy ${B_1},\,{A_1},\,{M_1}$ lần lượt là trung điểm của các các cạnh $OB,\,OM,\,MB$ rồi tô màu tam giác ${A_1}{M_1}M$. Lấy ${B_2},\,{A_2},\,{M_2}$ lần lượt là trung điểm các cạnh ${B_1}B,\,{B_1}{M_1},\,{M_1}B$ rồi tô màu tam giác ${A_2}{M_2}{M_1}$. Tiếp tục quá trình đó ta được một dãy các tam giác được tô màu (tham khảo hình vẽ bên dưới). Tính tổng diện tích các hình tam giác được tô màu.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang, có $AD\,{\rm{//}}\,BC$ và $AD = 2BC$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $SAD$.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$.

b) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Chứng minh $OG\,{\rm{//}}\,\left( {SAB} \right)$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $I$. Gọi $M$ là trung điểm của $SB$, $G$ là trọng tâm tam giác $SAD$.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$.

b) Chứng minh $IM$// $\left( {SAD} \right)$.

c) Gọi $Q$ là giao điểm của đường thẳng $DA$ và mặt phẳng $\left( {IMG} \right)$. Tính tỉ số $\frac{{QD}}{{QA}}$.

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình thang với $AB\;{\rm{//}}\;CD$ và $AB = 2CD$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB,\;BC$.

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $\left( {SMN} \right)$ và mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$.

b) Gọi $E$ và $G$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAB$ và $SBC$. Chứng minh $EG\;{\rm{//}}\;\left( {ABCD} \right)$.

c) Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng đi qua đường thẳng $EG$ và song song với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. Xác định giao điểm của $\left( \alpha \right)$ với đường thẳng $SD$ (gọi là điểm $K$) và tính diện tích tam giác $EGK$, biết rằng diện tích hình thang $ABCD$ bằng $27$.

Một khối gỗ có các mặt đều là một phần của mặt phẳng với $(ABCD){\rm{//}}(EFMH)$, $CK{\rm{//}}DH$. Khối gỗ bị hỏng một góc (hình bên). Bác thợ mộc muốn làm đẹp khối gỗ bằng cách cắt khối gỗ theo mặt phẳng $(R)$ đi qua $K$ và song song với mặt phẳng $(ABCD)$. Hãy giúp bác thợ mộc xác định cách cắt khối gỗ để cắt được chính xác.