Chuyên đề Toán 11 KNTT Bài 6. Phép vị tự có đáp án

Lời giải:

a) Gọi O là giao điểm của AA' và BB'.

Xét tam giác OA'B' có AB // A'B', theo định lý Thales, ta có:

$\frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{1}{2}$.

Từ đó suy ra A, B lần lượt là trung điểm của OA' và OB'.

Gọi C" là giao điểm của BC và OC'. Vì BC // B'C' nên BC" // B'C'.

Xét tam giác OB'C' có BC" // B'C' và B là trung điểm của OB' nên BC" là đường trung bình của tam giác OB'C'. Suy ra BC" = $\frac{1}{2}$B'C' và C" là trung điểm của OC'.

Mặt khác theo giả thiết ta có BC = $\frac{1}{2}$B'C'. Do vậy C" trùng với C và C là trung điểm của OC'.

Chứng minh tương tự, ta được D là trung điểm của OD'.

Vậy các đường thẳng AA', BB', CC', DD' cùng đi qua một điểm O.

b) Vì A, B, C, D lần lượt là trung điểm của OA', OB', OC', OD' nên

$\frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{{OC}}{{OC'}} = \frac{{OD}}{{OD'}} = \frac{1}{2}$.

c) Dùng thước thẳng nối hai điểm tương ứng trên hai bức tranh, cụ thể, đầu mỏ trên của chú gà ở hai bức tranh, ta thấy đường thẳng này đi qua điểm O.

Lời giải:

- Phép vị tự V$_{(O, k)}$ biến điểm O thành điểm O.

- Nếu phép vị tự V$_{(O, k)}$ biến điểm M thành điểm M' thì phép vị tự ${V_{\left( {O,\,\frac{1}{k}} \right)}}$ biến điểm M' thành điểm M.

Thật vậy, nếu M' là ảnh M qua phép vị tự V$_{(O, k)}$ thì $\overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} = \frac{1}{k}\overrightarrow {OM'}$. Điều này có nghĩa là M là ảnh của M' qua phép vị tự ${V_{\left( {O,\,\frac{1}{k}} \right)}}$.

Lời giải:

+ Phép vị tự V$_{(O, 1)}$ biến điểm M thành điểm M' thỏa mãn $\overrightarrow {OM'} = \overrightarrow {OM}$. Khi đó M' trùng với M. Do đó, phép vị tự V$_{(O, 1)}$ là phép đồng nhất.

+ Phép vị tự V$_{(O, – 1)}$ biến điểm M thành điểm M" thỏa mãn . Khi đó O là trung điểm của MM". Do đó, M" là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O hay phép vị tự V$_{(O, – 1)}$ là phép đối xứng tâm O.

Lời giải:

Ta có: $\frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{{OC}}{{OC'}} = \frac{{OD}}{{OD'}} = \frac{1}{2}$ (theo HĐ1).

Suy ra $\overrightarrow {OA'} = 2\overrightarrow {OA} ;\,\overrightarrow {OB'} = 2\overrightarrow {OB} ;\,\overrightarrow {OC'} = 2\overrightarrow {OC} ;\,\overrightarrow {OD'} = 2\overrightarrow {OD}$.

Từ đó ta có các điểm A', B', C', D' lần lượt là ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép vị tự V$_{(O, 2)}$. Do đó, phép vị tự V$_{(O, 2)}$ biến hình chữ nhật ABCD thành hình chữ nhật A'B'C'D'.

Vậy phép vị tự V$_{(O, 2)}$biến bức tranh nhỏ thành bức tranh lớn. Khi đó, phép vị tự ${V_{\left( {O,\,\frac{1}{2}} \right)}}$ biến bức tranh lớn thành bức tranh nhỏ.

Lời giải:

a) Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M', điểm N thành điểm N' nên ta có $\overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM}$ và $\overrightarrow {ON'} = k\overrightarrow {ON}$.

b) Ta có: $\overrightarrow {M'N'} = \overrightarrow {ON'} - \overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {ON} - K\overrightarrow {OM} = k\left( {\overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} } \right) = k\overrightarrow {MN}$ (theo quy tắc hiệu).

Vậy $\overrightarrow {M'N'} = k\overrightarrow {MN}$.