Chuyên đề Toán 11 KNTT Bài 6. Phép vị tự có đáp án

Lời giải:

a) Gọi O là giao điểm của AA' và BB'.

Xét tam giác OA'B' có AB // A'B', theo định lý Thales, ta có:

$\frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{1}{2}$.

Từ đó suy ra A, B lần lượt là trung điểm của OA' và OB'.

Gọi C" là giao điểm của BC và OC'. Vì BC // B'C' nên BC" // B'C'.

Xét tam giác OB'C' có BC" // B'C' và B là trung điểm của OB' nên BC" là đường trung bình của tam giác OB'C'. Suy ra BC" = $\frac{1}{2}$B'C' và C" là trung điểm của OC'.

Mặt khác theo giả thiết ta có BC = $\frac{1}{2}$B'C'. Do vậy C" trùng với C và C là trung điểm của OC'.

Chứng minh tương tự, ta được D là trung điểm của OD'.

Vậy các đường thẳng AA', BB', CC', DD' cùng đi qua một điểm O.

b) Vì A, B, C, D lần lượt là trung điểm của OA', OB', OC', OD' nên

$\frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{{OC}}{{OC'}} = \frac{{OD}}{{OD'}} = \frac{1}{2}$.

c) Dùng thước thẳng nối hai điểm tương ứng trên hai bức tranh, cụ thể, đầu mỏ trên của chú gà ở hai bức tranh, ta thấy đường thẳng này đi qua điểm O.

Lời giải:

- Phép vị tự V$_{(O, k)}$ biến điểm O thành điểm O.

- Nếu phép vị tự V$_{(O, k)}$ biến điểm M thành điểm M' thì phép vị tự ${V_{\left( {O,\,\frac{1}{k}} \right)}}$ biến điểm M' thành điểm M.

Thật vậy, nếu M' là ảnh M qua phép vị tự V$_{(O, k)}$ thì $\overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM} \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} = \frac{1}{k}\overrightarrow {OM'}$. Điều này có nghĩa là M là ảnh của M' qua phép vị tự ${V_{\left( {O,\,\frac{1}{k}} \right)}}$.

Lời giải:

+ Phép vị tự V$_{(O, 1)}$ biến điểm M thành điểm M' thỏa mãn $\overrightarrow {OM'} = \overrightarrow {OM}$. Khi đó M' trùng với M. Do đó, phép vị tự V$_{(O, 1)}$ là phép đồng nhất.

+ Phép vị tự V$_{(O, – 1)}$ biến điểm M thành điểm M" thỏa mãn . Khi đó O là trung điểm của MM". Do đó, M" là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O hay phép vị tự V$_{(O, – 1)}$ là phép đối xứng tâm O.

Lời giải:

Ta có: $\frac{{OA}}{{OA'}} = \frac{{OB}}{{OB'}} = \frac{{OC}}{{OC'}} = \frac{{OD}}{{OD'}} = \frac{1}{2}$ (theo HĐ1).

Suy ra $\overrightarrow {OA'} = 2\overrightarrow {OA} ;\,\overrightarrow {OB'} = 2\overrightarrow {OB} ;\,\overrightarrow {OC'} = 2\overrightarrow {OC} ;\,\overrightarrow {OD'} = 2\overrightarrow {OD}$.

Từ đó ta có các điểm A', B', C', D' lần lượt là ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép vị tự V$_{(O, 2)}$. Do đó, phép vị tự V$_{(O, 2)}$ biến hình chữ nhật ABCD thành hình chữ nhật A'B'C'D'.

Vậy phép vị tự V$_{(O, 2)}$biến bức tranh nhỏ thành bức tranh lớn. Khi đó, phép vị tự ${V_{\left( {O,\,\frac{1}{2}} \right)}}$ biến bức tranh lớn thành bức tranh nhỏ.

Lời giải:

a) Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M', điểm N thành điểm N' nên ta có $\overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {OM}$ và $\overrightarrow {ON'} = k\overrightarrow {ON}$.

b) Ta có: $\overrightarrow {M'N'} = \overrightarrow {ON'} - \overrightarrow {OM'} = k\overrightarrow {ON} - K\overrightarrow {OM} = k\left( {\overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} } \right) = k\overrightarrow {MN}$ (theo quy tắc hiệu).

Vậy $\overrightarrow {M'N'} = k\overrightarrow {MN}$.

Lời giải:

a) Ta có (C): (x – 1)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ = 25 hay (x – 1)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ = 5$^{2}$.

Do đó, đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 5.

b) Đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự tâm A(3; 5), tỉ số 2 nên tâm I' của đường tròn (C') là ảnh của tâm I của đường tròn (C) qua phép vị tự V$_{(A, 2)}$ và bán kính R' của đường tròn (C') bằng 2 lần bán kính R của đường tròn (C) hay R' = 2 . 5 = 10.

Ta có: $\overrightarrow {AI} = \left( {1 - 3;\,2 - 5} \right) = \left( { - 2;\, - 3} \right)$.

Vì I' là ảnh của I qua phép vị tự V$_{(A, 2)}$ nên $\overrightarrow {AI'} = 2\overrightarrow {AI}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} - {x_A} = 2.\left( { - 2} \right)\\{y_{I'}} - {y_A} = 2.\left( { - 3} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} - 3 = - 4\\{y_{I'}} - 5 = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = - 1\\{y_{I'}} = - 1\end{array} \right.$.

Vậy I'(– 1; – 1) và R' = 10.

c) Phương trình đường tròn (C') là (x + 1)$^{2}$ + (y + 1)$^{2}$ = 10$^{2}$ hay (x + 1)$^{2}$ + (y + 1)$^{2}$ = 100.

Lời giải:

Quan sát Hình 1.47, ta thấy hình b) có hình dạng khác hẳn so với 2 hình còn lại (về cây ở góc trên bên phải, về mây và núi). Mà phép vị tự thì chỉ thay đổi về kích thước mà không thay đổi về hình dạng, do đó hình b) không phải là ảnh của hình lớn qua một phép vị tự.

Lời giải:

+ Vì ABCD là hình thang có hai đáy AB và CD nên AB // CD. Theo định lí Thales trong tam giác OCD ta có: $\frac{{OA}}{{OD}} = \frac{{OB}}{{OC}} = \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{1}{2}$.

Suy ra $\overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OA} ;\,\,\overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OB}$.

Do đó, D và C tương ứng là ảnh của A và B qua phép vị tự V$_{(O, 2)}$. Vậy đoạn thẳng DC là ảnh của đoạn thẳng AB qua phép vị tự V$_{(O, 2)}$.

+ Vì AB // CD nên theo hệ quả của định lí Thales trong tam giác ICD ta có:

$\frac{{IA}}{{IC}} = \frac{{IB}}{{ID}} = \frac{{AB}}{{CD}} = \frac{1}{2}$.

Suy ra $\overrightarrow {IC} = - 2\overrightarrow {IA} ;\,\,\overrightarrow {ID} = - 2\overrightarrow {IB}$.

Do đó, C và D tương ứng là ảnh của A và B qua phép vị tự V$_{(I, – 2)}$. Vậy đoạn thẳng CD là ảnh của đoạn thẳng AB qua phép vị tự V$_{(I, – 2)}$.

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của AB, ta có I(2; 4) là tâm của đường tròn đường kính AB với bán kính là R = IA = $\sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 4} \right)}^2}} = \sqrt 5$.

Gọi I' và R' lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C).

Vì đường tròn (C) là ảnh của đường tròn đường kính AB qua phép vị tự V$_{(O, 3)}$ nên I' là ảnh của I qua phép vị tự V$_{(O, 3)}$ và R' = 3R = $3\sqrt 5$.

Khi đó ta có: $\overrightarrow {OI'} = 3\overrightarrow {OI}$. Từ đó suy ra I'(6; 12).

Phương trình đường tròn (C) là (x – 6)$^{2}$ + (y – 12)$^{2}$ = ${\left( {3\sqrt 5 } \right)^2}$hay (x – 6)$^{2}$ + (y – 12)$^{2}$ = 45.

Lời giải:

Vì A', B', C', D', E' tương ứng là trung điểm của các đoạn thẳng IA, IB, IC, ID, IE nên ta suy ra $\overrightarrow {IA'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {IA} ;\,\overrightarrow {IB'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {IB} ;\,\overrightarrow {IC'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {IC} ;\,\overrightarrow {ID'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {ID} ;\,\,\overrightarrow {IE'} = \frac{1}{2}\overrightarrow {IE}$. Do đó, A', B', C', D', E' tương ứng là ảnh của các điểm A, B, C, D, E qua phép vị tự tâm I, tỉ số $\frac{1}{2}$.

Từ Hình 1.48, ta thấy các điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn. Vậy các điểm A', B', C', D', E' đều cùng thuộc một đường tròn là ảnh của đường tròn đi qua 5 điểm A, B, C, D, E qua phép vị tự tâm I, tỉ số $\frac{1}{2}$.

Lời giải:

Hình nhỏ 2 là ảnh của hình lớn qua một phép vị tự.