Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều (Tự luận) có đáp án - Đề 4

a) $\left( {2x + 9} \right)\left( {\frac{2}{3}x - 5} \right) = 0$

$2x + 9 = 0$ hoặc $\frac{2}{3}x - 5 = 0$

$2x = - 9$ hoặc $\frac{2}{3}x = 5$

$x = - \frac{9}{2}$ hoặc $x = \frac{{15}}{2}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = - \frac{9}{2};\,\,x = \frac{{15}}{2}$.

b) Điều kiện xác định $x \ne - 1,\,\,x \ne 0$.

$\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} + \frac{2}{x} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}$

$\frac{{\left( {2x + 1} \right)x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}$

$\left( {2x + 1} \right)x + 2\left( {x + 1} \right) = 2$

$2{x^2} + x + 2x + 2 = 2$

$2{x^2} + 3x = 0$

$x\left( {2x + 3} \right) = 0$

$x = 0$ hoặc $2x + 3 = 0$

$x = 0$ (không thỏa mãn) hoặc $x = - \frac{3}{2}$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = - \frac{3}{2}.$

a) $- 4x + 3 \le 3x - 1$

$$- 4x - 3x \le - 1 - 3$$

$$- 7x \le - 4$$

$$x \ge \frac{4}{7}.$$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x \ge \frac{4}{7}.$

b) $\frac{{4x + 1}}{3} - \frac{{x - 5}}{4} \ge \frac{1}{2} - \frac{{3 - x}}{5}$

$$\frac{{20\left( {4x + 1} \right)}}{{60}} - \frac{{15\left( {x - 5} \right)}}{{60}} \ge \frac{{30 \cdot 1}}{{60}} - \frac{{12\left( {3 - x} \right)}}{{60}}$$

$$20\left( {4x + 1} \right) - 15\left( {x - 5} \right) \ge 30 \cdot 1 - 12\left( {3 - x} \right)$$

$$80x + 20 - 15x + 75 \ge 30 - 36 + 12x$$

$$65x + 95 \ge - 6 + 12x$$

$$53x \ge - 101$$

$x \ge - \frac{{101}}{{53}}$.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x \ge - \frac{{101}}{{53}}$.

a) Ta viết $y = mx + n$ về dạng $mx - y = - n$.

Do đó đồ thị hàm số $y = mx + n$ biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn $mx - y = - n$.

Nghiệm tổng quát của phương trình đó là $\left( {x;\,\,mx + n} \right)$ với $x \in \mathbb{R}$ tùy ý.

b) Để đồ thị hàm số $y = mx + n$ đi qua điểm $A\left( {1;3} \right)$ thì tọa độ điểm $A$ thỏa mãn hàm số đã cho.

Thay $x = 1,\,\,y = 3$ vào hàm số $y = mx + n,$ ta được:

$3 = m \cdot 1 + n$ hay $m + n = 3$ (1)

Để đồ thị hàm số $y = mx + n$ đi qua điểm $B\left( { - 1; - 2} \right)$ thì tọa độ điểm $B$ thỏa mãn hàm số đã cho.

Thay $x = - 1,\,\,y = - 2$ vào hàm số $y = mx + n,$ ta được:

$- 2 = m \cdot \left( { - 1} \right) + n$ hay $- m + n = - 2$ (1)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}m + n = 3\\ - m + n = - 2\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:

$2n = 1$ suy ra $n = \frac{1}{2}.$

Thay $n = \frac{1}{2}$ vào phương trình $m + n = 3,$ ta được:

$m + \frac{1}{2} = 3,$ suy ra $m = \frac{5}{2}.$

Vậy $m = \frac{5}{2}$ và $n = \frac{1}{2}.$

Gọi $x{\rm{\;(kg)}}$ là khối lượng axit $X$ có trong dung dịch $A$ và $y{\rm{\;(kg)}}$ là khối lượng dung dịch chất $A$ $\left( {y > x > 0} \right)$.

Khi thêm $1$ kg nước vào dung dịch $A$ thì được dung dịch $B$ có khối lượng là: $y + 1{\rm{\;(kg)}}$.

Theo bài, nồng độ của dung dịch $B$ là $20\%$ nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{y + 1}} \cdot 100\% = 20\%$ hay $5x = y + 1$ suy ra $5x - y = 1$ (1)

Khi thêm $1$ kg axit vào dung dịch $B$ thì được dung dịch $C$ có khối lượng là: $y + 1 + 1 = y + 2{\rm{\;(kg)}}$ và khối lượng axit $X$ có trong dung dịch lúc này là $x + 1{\rm{\;(kg)}}$

Theo bài, nồng độ của dung dịch $C$ là $33\frac{1}{3}\%$ nên ta có phương trình:

$\frac{{x + 1}}{{y + 2}} \cdot 100\% = 33\frac{1}{3}\%$ hay $3\left( {x + 1} \right) = y + 2$ suy ra $3x - y = - 1$. (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2), ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 1\\3x - y = - 1\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$2x = 2,$ suy ra $x = 1$ (thỏa mãn).

Thay $x = 1$ vào phương trình $5x = y + 1$ ta được:

$5 \cdot 1 = y + 1$, suy ra $y = 4$ (thỏa mãn).

Vậy nồng độ axit của dung dịch $A$ là: $\frac{x}{y} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\% .$

a) Với chế độ ăn kiêng và luyện tập hợp lí, chị Hương có thể giảm $0{,}5$ kg mỗi tuần thì số kg chị Hương giảm được sau $x$ tuần là: $0{,}5x$ (kg).

Cân nặng của chị Hương sau $x$ tuần là: $55 - 0{,}5x$ (kg).

Theo bài, chị Hương muốn giảm cân sao cho cân nặng của mình không lớn hơn 45 kg nên ta có bất phương trình: $55 - 0{,}5x \le 45$.

Vậy từ dữ kiện đề bài, ta viết được bất phương trình: $55 - 0{,}5x \le 45$.

b) Giải bất phương trình:

$55 - 0{,}5x \le 45$

$10 \le 0{,}5x$

$x \ge 20$.

Vậy chị Hương phải thực hiện chế độ ăn kiêng và luyện tập ít nhất 20 tuần để đạt được mục tiêu của mình.