Bộ 5 đề thi giữa kì 1 Toán 9 Cánh diều (Tự luận) có đáp án - Đề 4

a) $\left( {2x + 9} \right)\left( {\frac{2}{3}x - 5} \right) = 0$

$2x + 9 = 0$ hoặc $\frac{2}{3}x - 5 = 0$

$2x = - 9$ hoặc $\frac{2}{3}x = 5$

$x = - \frac{9}{2}$ hoặc $x = \frac{{15}}{2}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = - \frac{9}{2};\,\,x = \frac{{15}}{2}$.

b) Điều kiện xác định $x \ne - 1,\,\,x \ne 0$.

$\frac{{2x + 1}}{{x + 1}} + \frac{2}{x} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}$

$\frac{{\left( {2x + 1} \right)x}}{{x\left( {x + 1} \right)}} + \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}}$

$\left( {2x + 1} \right)x + 2\left( {x + 1} \right) = 2$

$2{x^2} + x + 2x + 2 = 2$

$2{x^2} + 3x = 0$

$x\left( {2x + 3} \right) = 0$

$x = 0$ hoặc $2x + 3 = 0$

$x = 0$ (không thỏa mãn) hoặc $x = - \frac{3}{2}$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $x = - \frac{3}{2}.$

a) $- 4x + 3 \le 3x - 1$

$$- 4x - 3x \le - 1 - 3$$

$$- 7x \le - 4$$

$$x \ge \frac{4}{7}.$$

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x \ge \frac{4}{7}.$

b) $\frac{{4x + 1}}{3} - \frac{{x - 5}}{4} \ge \frac{1}{2} - \frac{{3 - x}}{5}$

$$\frac{{20\left( {4x + 1} \right)}}{{60}} - \frac{{15\left( {x - 5} \right)}}{{60}} \ge \frac{{30 \cdot 1}}{{60}} - \frac{{12\left( {3 - x} \right)}}{{60}}$$

$$20\left( {4x + 1} \right) - 15\left( {x - 5} \right) \ge 30 \cdot 1 - 12\left( {3 - x} \right)$$

$$80x + 20 - 15x + 75 \ge 30 - 36 + 12x$$

$$65x + 95 \ge - 6 + 12x$$

$$53x \ge - 101$$

$x \ge - \frac{{101}}{{53}}$.

Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là $x \ge - \frac{{101}}{{53}}$.

a) Ta viết $y = mx + n$ về dạng $mx - y = - n$.

Do đó đồ thị hàm số $y = mx + n$ biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình bậc nhất một ẩn $mx - y = - n$.

Nghiệm tổng quát của phương trình đó là $\left( {x;\,\,mx + n} \right)$ với $x \in \mathbb{R}$ tùy ý.

b) Để đồ thị hàm số $y = mx + n$ đi qua điểm $A\left( {1;3} \right)$ thì tọa độ điểm $A$ thỏa mãn hàm số đã cho.

Thay $x = 1,\,\,y = 3$ vào hàm số $y = mx + n,$ ta được:

$3 = m \cdot 1 + n$ hay $m + n = 3$ (1)

Để đồ thị hàm số $y = mx + n$ đi qua điểm $B\left( { - 1; - 2} \right)$ thì tọa độ điểm $B$ thỏa mãn hàm số đã cho.

Thay $x = - 1,\,\,y = - 2$ vào hàm số $y = mx + n,$ ta được:

$- 2 = m \cdot \left( { - 1} \right) + n$ hay $- m + n = - 2$ (1)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}m + n = 3\\ - m + n = - 2\end{array} \right.$

Cộng từng vế hai phương trình của hệ phương trình trên, ta được:

$2n = 1$ suy ra $n = \frac{1}{2}.$

Thay $n = \frac{1}{2}$ vào phương trình $m + n = 3,$ ta được:

$m + \frac{1}{2} = 3,$ suy ra $m = \frac{5}{2}.$

Vậy $m = \frac{5}{2}$ và $n = \frac{1}{2}.$

Gọi $x{\rm{\;(kg)}}$ là khối lượng axit $X$ có trong dung dịch $A$ và $y{\rm{\;(kg)}}$ là khối lượng dung dịch chất $A$ $\left( {y > x > 0} \right)$.

Khi thêm $1$ kg nước vào dung dịch $A$ thì được dung dịch $B$ có khối lượng là: $y + 1{\rm{\;(kg)}}$.

Theo bài, nồng độ của dung dịch $B$ là $20\%$ nên ta có phương trình:

$\frac{x}{{y + 1}} \cdot 100\% = 20\%$ hay $5x = y + 1$ suy ra $5x - y = 1$ (1)

Khi thêm $1$ kg axit vào dung dịch $B$ thì được dung dịch $C$ có khối lượng là: $y + 1 + 1 = y + 2{\rm{\;(kg)}}$ và khối lượng axit $X$ có trong dung dịch lúc này là $x + 1{\rm{\;(kg)}}$

Theo bài, nồng độ của dung dịch $C$ là $33\frac{1}{3}\%$ nên ta có phương trình:

$\frac{{x + 1}}{{y + 2}} \cdot 100\% = 33\frac{1}{3}\%$ hay $3\left( {x + 1} \right) = y + 2$ suy ra $3x - y = - 1$. (2)

Từ phương trình (1) và phương trình (2), ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}5x - y = 1\\3x - y = - 1\end{array} \right.$

Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ trên, ta được:

$2x = 2,$ suy ra $x = 1$ (thỏa mãn).

Thay $x = 1$ vào phương trình $5x = y + 1$ ta được:

$5 \cdot 1 = y + 1$, suy ra $y = 4$ (thỏa mãn).

Vậy nồng độ axit của dung dịch $A$ là: $\frac{x}{y} \cdot 100\% = \frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\% .$

a) Với chế độ ăn kiêng và luyện tập hợp lí, chị Hương có thể giảm $0{,}5$ kg mỗi tuần thì số kg chị Hương giảm được sau $x$ tuần là: $0{,}5x$ (kg).

Cân nặng của chị Hương sau $x$ tuần là: $55 - 0{,}5x$ (kg).

Theo bài, chị Hương muốn giảm cân sao cho cân nặng của mình không lớn hơn 45 kg nên ta có bất phương trình: $55 - 0{,}5x \le 45$.

Vậy từ dữ kiện đề bài, ta viết được bất phương trình: $55 - 0{,}5x \le 45$.

b) Giải bất phương trình:

$55 - 0{,}5x \le 45$

$10 \le 0{,}5x$

$x \ge 20$.

Vậy chị Hương phải thực hiện chế độ ăn kiêng và luyện tập ít nhất 20 tuần để đạt được mục tiêu của mình.

Ta mô hình hóa bài toán như hình vẽ sau:

Do mặt đất là phương ngang nên $\widehat {BCA} = \widehat {CBx} = 30^\circ$ và $\widehat {BDA} = \widehat {ABx} - \widehat {DBx} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$AC = AB \cdot \cot \widehat {BCA} = AB \cdot \cot 30^\circ = AB\sqrt 3$.

Xét $\Delta ABD$ vuông tại $A$, ta có:

$AD = AB \cdot \cot \widehat {BDA} = AB \cdot \cot 60^\circ = \frac{{AB\sqrt 3 }}{3}$.

Suy ra $CD = AC - AD = AB\sqrt 3 - \frac{{AB\sqrt 3 }}{3} = AB\left( {\sqrt 3 - \frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right) = AB \cdot \frac{{2\sqrt 3 }}{3} = \frac{{2AB\sqrt 3 }}{3} = 2AD$.

Như vậy, quãng đường $CD$ gấp đôi quãng đường $DA.$ Mà thời gian di chuyển tỉ lệ thuận với quãng đường đi được khi vận tốc không đổi nên thời gian xe máy di chuyển từ $C$ đến $D$ gấp đôi thời gian xe máy di chuyển từ $D$ về $A$.

Vậy thời gian để xe máy chạy từ $D$ đến tòa nhà là $\frac{6}{2} = 3$ (phút).

a) Xét $\Delta KEB$ vuông tại $K$ , ta có:

$\sin \widehat {EBK} = \frac{{EK}}{{EB}}$; $\cos \widehat {EBK} = \frac{{KB}}{{EB}}$

$\tan \widehat {EBK} = \frac{{EK}}{{KB}};\,\,\cos \widehat {EBK} = \frac{{KB}}{{EK}}$.

Xét $\Delta KEC$ vuông tại $K$, ta có:

$EK = EC \cdot \sin C = 16 \cdot \sin 30^\circ = 8{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta ABE$ vuông tại $A$ có $AE = AB$ nên $\Delta ABE$ vuông cân tại $A.$ Do đó $\widehat {AEB} = 45^\circ .$

Xét $\Delta EBC$ có $\widehat {EBK}$ là góc ngoài nên $\widehat {EBK} = \widehat {AEB} + \widehat {C\,} = 45^\circ + 30^\circ = 75^\circ .$

Theo câu a, ta có $\sin \widehat {EBK} = \frac{{EK}}{{EB}}$.

Suy ra $EB = \frac{{EK}}{{\sin \widehat {EBK}}} = \frac{8}{{\sin 75^\circ }} \approx 8{,}3{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

Xét $\Delta ABE$ vuông tại $A$ ta có $AB = EB \cdot \sin \widehat {AEB} \approx 8{,}3 \cdot \sin 45^\circ \approx 5{,}9{\rm{\;(cm)}}{\rm{.}}$

c) Xét $\Delta AEQ$ vuông tại $A$ ta có: $AQ = QE \cdot \sin \widehat {CEQ}.$

Xét $\Delta ACQ$ vuông tại $A$ ta có: $AQ = CQ \cdot \sin \widehat {QCE}$.

Suy ra $QE \cdot \sin \widehat {CEQ} = CQ \cdot \sin \widehat {QCE}$

Do đó $\frac{{QE}}{{\sin \widehat {QCE}}} = \frac{{CQ}}{{\sin \widehat {CEQ}}}.$ (1)

Chứng minh tương tự ta có:

$CK = CQ \cdot \sin \widehat {EQC} = EC \cdot \sin \widehat {CEQ}$

Suy ra $\frac{{EC}}{{\sin \widehat {EQC}}} = \frac{{CQ}}{{\sin \widehat {CEQ}}}.$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $\frac{{QE}}{{\sin \widehat {QCE}}} = \frac{{EC}}{{\sin \widehat {EQC}}} = \frac{{CQ}}{{\sin \widehat {CEQ}}}.$

Giá thuê mỗi phòng sau khi tăng giá phòng lên $x\%$ là: $480 + 480 \cdot x\% = 480 + 4{,}8x$ (nghìn đồng).

Số phòng cho thuê lúc giá phòng tăng $x\%$ là: O10-2024-GV154...$100 - 100 \cdot \frac{{4x}}{5}\%$$= 100 - \frac{{4x}}{5}$ (phòng).

Tổng doanh thu tương ứng là:

$A\left( x \right) = \left( {100 - \frac{{4x}}{5}} \right)\left( {480 + 4{,}8x} \right)$$= 3{,}84\left( {125 - x} \right)\left( {100 + x} \right)$ (nghìn đồng).

Để nhà nghỉ đạt doanh thu cao nhất thì ta tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A\left( x \right)$.

⦁ Chứng minh bất đẳng thức: $ab \le {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2}\,\,\,\,\left( * \right)$ với $a,\,\,b$ là các số không âm.

Thật vậy, xét hiệu ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} - ab = \frac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{4} = \frac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{4} = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2}$

Với mọi $a,\,\,b$ là các số không âm, ta có:

${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0$ nên $\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0$ suy ra ${\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^2} \ge ab$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b.$ Như vậy bất đẳng thức $\left( * \right)$ đã được chứng minh.

⦁ Áp dụng bất đẳng thức $\left( * \right)$ cho biểu thức $A\left( x \right) = 3{,}84\left( {125 - x} \right)\left( {100 + x} \right),$ ta được:

$A\left( x \right) = 3{,}84\left( {125 - x} \right)\left( {100 + x} \right) \le 3{,}84 \cdot {\left( {\frac{{125 - x + 100 + x}}{2}} \right)^2} = 48\,\,600$.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $125 - x = 100 + x$ hay $x = 12{,}5$.

Vậy giá phòng niêm yết là $480 + 4{,}8 \cdot 12{,}5 = 540$ (nghìn đồng) thì khách sạn đạt doanh thu cao nhất là $48\,\,600$ nghìn đồng $(48\,\,600\,\,000$ đồng).