Bài tập Vận dụng kiến thức phương trình mặt phẳng vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tế lớp 12 (có lời giải)

Hình dưới đây là hình ảnh minh họa của một tòa nhà trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục theo mét). Biết A(50; 0; 0), D(0; 20; 0), B(3k; 2k; k) với k > 0 và (CBEF) có phương trình z = 3. Biết rằng tọa độ điểm B(a; b; c). Khi đó giá trị a + b + c bằng bao nhiêu?

Hai đứa trẻ đang chơi với một quả bóng. Bé giá ném quả bóng cho bé trai. Quả bóng di chuyển trong không khí, uốn cong 3 m về bên phải và rơi cách bé giá 5 m (xem hình)

Biết rằng mặt phẳng chứa quỹ đạo của quả bóng vuông góc với mặt đất và phương trình tổng quát của nó có dạng ax −3y + c = 0. Tính a + c?

Một công trình đang xây dựng được gắn hệ trục Oxyz như hình vẽ dưới (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mỗi cột bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều và có tâm của mặt đáy trên lần lượt là A(3; 2; 3), B(6; 3; 3), C(9; 4; 2), D(6; 0; $\frac{5}{2}$).

Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC). (làm tròn đến hàng phần trăm).

Trên bản thiết kế đồ họa 3D của một cánh đồng điện mặt trời (như hình dưới đây) trong không gian Oxyz, một tấm pin nằm trên mặt phẳng (P): 6x + 5y + z + 2 = 0; một tấm pin khác nằm trên mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(1; 1; 1) và song song với (P). Biết phương trình mặt phẳng (Q) có dạng Ax + By + Cz + D = 0. Tính A + B + C + D.

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là kilomet), một máy bay đang ở vị trí A(3; −2; 1) và hạ cánh ở vị trí B(4; 6,5; 0) trên đường băng. Có một lớp mây được mô phỏng bởi mặt phẳng (P) đi qua ba điểm M(8; 0; 0), N(0; −8; 0), P(0; 0; 0,8). Độ cao của máy bay khi máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh là bao nhiêu km?

Một công trình đang xây dựng được gắn hệ trục Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét). Hai bức tường lần lượt thuộc các mặt phẳng (P), (Q) (như hình vẽ) của toà nhà lần lượt có phương trình: (P): 2x + 2y – 4z + 15 = 0, (Q): x + y – 2z + 1 = 0. Tính khoảng cách giữa hai bức tường (P) và (Q) của toà nhà (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Trong giờ thể dục học về kỹ thuật chuyền bóng da, Bình và Mạnh tập chuyền bóng cho nhau. Ở một động tác Bình chuyền bóng cho Mạnh, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang bên trái của Mạnh và rơi xuống vị trí cách chỗ Mạnh đứng 0,5m và cách chỗ Bình 4,5m. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho gốc toạ độ O tại vị trí của Bình, vị trí của Mạnh nằm trên tia Ox và mặt phẳng Oxy là mặt đất (tham khảo hình vẽ). Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng (P): x + by + cz + d = 0 và (P) vuông góc với mặt đất. Khi đó, giá trị của − b$^{2}$ – c$^{2}$ + 3d$^{2}$ bằng bao nhiêu?

Phần mềm điều khiển máy in 3D cho biết đầu in phun của máy đàn đặt tại điểm M(3; 4; 13) (đơn vị: cm). Tính khoảng cách từ đầu in đến khay đặt vật in có phương trình 2x + 2y + z – 3 = 0.

Người ta thiết kế một mái che hình chữ nhật ABCD phía trên sân khấu như hình vẽ. Một cổng chào hình chữ nhật EFHG cao 4 m dựng vuông góc với mặt đất. Người ta muốn làm các đoạn dây nối thanh ngang GE với mái che để gắn hoa và đèn. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ sau (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là m).

Khi đó:

Một sân golf được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt OAGD. BCFE có hai đáy song song với nhau. Mặt sân OAGD là hình chữ nhật và được gắn hệ trục Oxyz như hình vẽ dưới (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét). Mặt sân OAGD có chiều dài OA = 100(m), chiều rộng OD = 60(m) và toạ độ điểm B(10; 10; 8).

Khi đó:

Một công trường xây dựng trường học đã thiết lập hệ toạ độ Oxyz. Các mặt kính của toà nhà được kí hiệu là (P), (Q), (R), biết:

(P): 2x + y – z – 10 = 0.

(Q): 6x + 3y – 3z + 15 = 0.

(R): x − 3y – z + 1 = 0.

Khi đó:

Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ. Các cây cột trụ vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là 6m, 5m, 4m (tham khảo hình vẽ). Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài 2m. Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ với B ∈ Ox, C ∈ Oy, tia Oz cùng hướng với vectơ $\overrightarrow {AA'}$. Chọn gốc toạ độ O trùng với trung điểm của AC và mỗi đơn vị trên trục có độ dài 1m.

Khối rubik được gắn với hệ toạ độ Oxyz có đơn vị bằng độ dài cạnh hình lập phương nhỏ. Xét bốn điểm A(3; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 2) và D(1; 1; 1).

Khi đó:

Hình vẽ minh hoạ một khu nhà đang xây dựng được gắn hệ trục toạ độ Oxyz (đơn vị trên các trục là mét). Mỗi cột bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều và tâm của mặt đáy trên lần lượt là các điểm A(2; 1; 3), B(4; 3; 3), C(6; 3; 2), D(k; 0; 3k). Biết rằng bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng, tính giá của k.

Trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục toạ độ là mét), một ngôi nhà như hình vẽ dưới đây có sàn nhà nằm trên mặt phẳng (Oxy). Hai mái nhà lần lượt nằm trên các mặt phẳng (P): x − 3y + 4 = 0, (Q): x − 3y – z + 1 = 0. Hỏi chiều cao của ngôi nhà tính từ sàn nhà đến nóc nhà (điểm cao nhất của mái nhà) là bao nhiêu?

Một chiếc canô di chuyển trong một vùng nước có mặt đáy phẳng nhưng hơi dốc lên. Các điểm P(0; 0; −20), Q(50; 50; −15) và R(0; 50; −15) là các điểm thuộc mặt đáy. Trên canô có một cảm biến đo tiếng vọng đặt ở mặt nước. Khoảng cách từ cảm biến đến mặt đáy là bao nhiêu khi cảm biến ở điểm A(50; 50; 0)? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trong một quảng trường, có hai bức tượng nghệ thuật được đặt cố định tại các vị trí A(1; 2; −1) và B(−2; 1; 0). Một trụ đèn chiếu sáng thông minh được lắp đặt trên một tấm kính lớn cố định, có phương trình (P): x – 2y + z + 4 = 0. Gọi toạ độ điểm đặt trụ đèn là M(a; b; c). Để tạo hiệu ứng ánh sáng đối xứng hoàn hảo giữa hai bức tượng, qua tính toán người thiết kế yêu cầu trụ đèn phải cách đều hai điểm A và B sao cho MA2 = MB2 = 2,75. Tính giá trị của a + b + c?