Bài tập Vận dụng kiến thức phương trình mặt phẳng vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tế lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Vì B(3k; 2k; k) (CBEF): z = 3 nên k = 3.

Suy ra B(9; 6; 3). Khi đó a + b + c = 18.

Đáp án đúng là: D

Do mặt dưới của mái nhà thuộc mặt phẳng vuông góc với trục Oz và đi qua A(3; 4; 33) nên phương trình mặt phẳng chứa mặt dưới của mái nhà là: z – 33 = 0.

Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng chứa mặt dưới của mái nhà bằng:

$\frac{{\left| {35 - 33} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = 2$.

Đáp án đúng là: B

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Ta có $OC = \sqrt {O{B^2} - B{C^2}} = 4$. Suy ra B(3; 4; 0).

Mặt phẳng chứa quỹ đạo đi qua O(0; 0; 0) và nhận $\overrightarrow k \left( {0;0;1} \right),\overrightarrow {OB} \left( {3;4;0} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Suy ra vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow k ,\overrightarrow {OB} } \right] = \left( { - 4;3;0} \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng chứa quỹ đạo của quả bóng là

−4(x – 0) + 3(y – 0) + 0(z – 0) = 0 4x – 3y = 0.

Do đó a + c = 4.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {3;1;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {6;2; - 1} \right)$.

Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( { - 1;3;0} \right)$ nên phương trình (ABC):

x – 3y + 3 = 0.

Vậy khoảng cách $d\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.6 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{9\sqrt {10} }}{{10}} \approx 2{,}85$.

Đáp án đúng là: A

Vì (Q) // (P) nên (Q) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {6;5;1} \right)$.

Nên phương trình mặt phẳng (Q): 6x + 5y + z – 12 = 0.

Do đó A + B + C + D = 0.

Đáp án đúng là: A

Gọi mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm pháo A(3; 0; 0), B(0; 1,5; 0), C(0; 0; −1,5) nên có phương trình là $\frac{x}{3} + \frac{y}{{1{,}5}} + \frac{z}{{ - 1{,}5}} = 1 \Leftrightarrow x + 2y - 2z - 3 = 0$.

Giả sử điểm G(x$_{G}$; y$_{G}$; z$_{G}$) là vị trí khi mục tiêu bay tới mặt phẳng (P) để tới vị trí N nên G ∈ (P).

Do $\overrightarrow {MG} ,\overrightarrow {MN}$ là 2 vectơ cùng hướng nên tồn tại số thực t > 0 sao cho $\overrightarrow {MG} = t\overrightarrow {MN}$.

Ta có $\overrightarrow {MG} = \left( {{x_G} - 5;{y_G} - 2;{z_G} - 4} \right);\overrightarrow {MN} = \left( { - 4; - 2; - 6} \right)$.

Nên $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} - 5 = - 4t\\{y_G} - 2 = - 2t\\{z_G} - 4 = - 6t\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = 5 - 4t\\{y_G} = 2 - 2t\\{z_G} = 4 - 6t\end{array} \right.$.

Vì G ∈ (P) 5 – 4t + 2(2 – 2t) – 2(4 – 6t) = 3 t = $\frac{1}{2}$ G(3; 1; 1).

Do đó $\overrightarrow {AG} = \left( {0;1;1} \right) \Rightarrow AG = \sqrt 2 \approx 1{,}41$.

Đáp án đúng là: C

Ta có phương trình mặt phẳng là (P): z – 4 = 0.

Khoảng cách từ đầu in đến khay đặt vật in là d(M, (P)) = $\frac{{\left| {24 - 4} \right|}}{1} = 20$.

Đáp án đúng là: A

Lấy A(0; 0; −4) ∈ (P), dễ thấy (P) // (Q)

Khi đó $d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = d\left( {A,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 4} \right) + 2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{6}{3} = 2$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $d\left( {A,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.2 - 1 - 2.5 + 13} \right|}}{{\sqrt {4 + 1 + 4} }} = 2$.

Đáp án đúng là: D

Giả sử A(1; 1; 10), B(4; 3; 1), C(3; 2; 5),

Có $\overrightarrow {AB} = \left( {3;2; - 9} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {2;1; - 5} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1; - 3; - 1} \right)$.

Mặt phẳng (ABC) đi qua A(1; 1; 10) và nhận $\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 1; - 3; - 1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: −(x – 1) – 3(y – 1) – (z – 10) = 0 x + 3y + z − 14 = 0.

Do đó m + n + p = 3 + 1 − 14 = 10.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Giả sử C(a; b; c) là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây đề hạ cánh nên C thuộc (P).

Mặt phẳng (P) có phương trình là $\frac{x}{8} + \frac{y}{{ - 8}} + \frac{z}{{0{,}8}} = 1 \Leftrightarrow x - y + 10z - 8 = 0$ .

Vì $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ là hai vectơ cùng hướng nên tồn tại một số thực t > 0 sao cho

$\overrightarrow {AB} = \left( {1;8{,}5; - 1} \right)$, $\overrightarrow {AC} = t\overrightarrow {AB}$, $\overrightarrow {AC} = \left( {a - 3;b + 2;c - 1} \right)$.

Ta có hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a - 3 = t}\\{b + 2 = 8{,}5t}\\{c - 1 = - t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a = t + 3}\\{b = 8{,}5t - 2}\\{c = - t + 1}\end{array}} \right.$.

Do đó C(t + 3; 8,5t – 2; − t + 1).

Vì C thuộc (P) nên ta có t + 3 − 8,5t + 2 + 10∙(− t + 1) – 8 = 0 ⇔ t = $\frac{2}{5}$.

Vậy C(3,4; 1,4; 0,6).

Độ cao của máy bay khi máy bay xuyên qua đám mây là 0,6 km.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có:

(P): 2x + 2y – 4z + 15 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;2; - 4} \right) = 2 \cdot \left( {1;1; - 2} \right)$.

(Q): x + y – 2z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;1; - 2} \right)$.

$\overrightarrow {{n_P}} = 2\overrightarrow {{n_Q}}$ và 15 ≠ 2×1 nên (P) // (Q).

Chọn M(0; 1;1) thuộc mặt phẳng (Q). Do hai bức tường (P) và (Q) song song nên

d((Q), (P)) = d(M, (P)) = $\frac{{\left| {2 \cdot 0 + 2 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 15} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{13}}{{\sqrt {24} }} \approx 2{,}7$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Quả bóng rơi xuống điểm A($\sqrt {20}$; 0,5; 0).

Mặt phẳng (P): x + by + cz + d = 0 đi qua O nên d = 0, điểm A($\sqrt {20}$; 0,5; 0) thuộc (P) nên $\sqrt {20}$ + 0,5b = 0 ⇔ b = $- 4\sqrt 5$.

Vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 4\sqrt 5 ;c} \right)$, vectơ pháp tuyến của mặt đất (Oxy) là $\vec k = \left( {0;0;1} \right)$.

Mặt khác (P) vuông góc với mặt đất nên

$\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{n_{Oxy}}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_P}} \bot \vec k = 0 \Leftrightarrow 1 \cdot 0 + \left( { - 4\sqrt 5 } \right) \cdot 0 + c \cdot 1 = 0 \Leftrightarrow c = 0$.

Mặt phẳng (P) có phương trình là: x – 4$\sqrt 5$ = 0.

Vậy −2b$^{2}$ – c$^{2}$+ d$^{2}$ = − 160.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

d(M, (P)) = $\frac{{\left| {3 \cdot 2 + 4 \cdot 2 + 13 \cdot 1 - 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{24}}{3} = 8$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Do mặt dưới của mái nhà thuộc mặt phẳng vuông góc với trục Oz và đi qua điểm A(6; 9; 57) nên phương trình mặt phẳng chứa mặt dưới của mái nhà: z – 57 = 0.

Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng chứa dưới của mái nhà tầng bằng: $\frac{{\left| {51 - 57} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = 6$.

Vậy độ dày của mái nhà là 6 dm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Giả sử toạ độ của các điểm mái che là: A(0; 0; 8), B(0; 20; 8), D(15; 0; 14), C(15; 20; 14).

b) Sai. $\overrightarrow {AB} = \left( {0;20;0} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( {15;20;6} \right)$.

$\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {120;0; - 300} \right)$.

c) Sai. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD) là $\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {120;0; - 300} \right)$.

Mặt phẳng (ABCD) đi qua A(0; 0; 8) và chọn $\vec n = \left( {120;0; - 300} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 120(x – 0) + 0y – 300(z – 8) = 0 ⇔ 120x – 300z + 2400 = 0 hay 2x – 5z + 40 = 0.

d) Sai. Giả sử toạ độ G(8; 0; 4).

Khoảng cách từ điểm G(8; 0; 4) đến mặt phẳng (ABCD) chính là độ dài ngắn nhất từ thanh ngang GE với mái che được tính như sau:

d(G, (ABCD)) = $\frac{{\left| {8 \cdot 2 - 5 \cdot 4 + 40} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} }} = \frac{{36}}{{\sqrt {29} }} \approx 6{,}7$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Từ hệ trục toạ độ ta có O(0; 0; 0), A(100; 0; 0), D(0; 60; 0), G(100; 60; 0).

b) Đúng. $\overrightarrow {OB} = \left( {10;10;8} \right)$, $\overrightarrow {OD} = \left( {0;60;0} \right)$.

$\vec u = \left[ {\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OD} } \right] = \left( { - 480;0;600} \right) = 120 \cdot \left( { - 4;0;5} \right)$.

Chọn $\overrightarrow n = \frac{1}{{120}} \cdot \overrightarrow u$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OBED).

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (OBED) là $\vec n = \left( {4;0; - 5} \right)$.

c) Sai. Phương trình mặt phẳng (OBED) đi qua O(0; 0; 0) và nhận $\vec n = \left( {4;0; - 5} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 4(x – 0) + 0(y – 0) - 5(z – 0) = 0 hay

–4x + 5z = 0.

d) Đúng. Từ hệ trục toạ độ có B(10; 10; 8).

d(B, (OAG)) = d(B, (Oxy)) = 8.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Mặt phẳng (P): 2x + y – z – 10 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1; - 1} \right)$

Mặt phẳng (Q): 6x + 3y – 3z + 15 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {6;3; - 3} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {6;3; - 3} \right) = 3 \cdot \left( {2;1; - 1} \right) = 3 \cdot \overrightarrow {{n_P}}$ và 3∙(-10) ≠ 15.

Vậy (P) // (Q).

b) Đúng. Mặt phẳng (R): x − 3y – z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_R}} = \left( {1; - 3; - 1} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {{n_P}} \cdot \overrightarrow {{n_R}} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot \left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 1} \right) = 0$.

Vậy (P) $\bot$ (R).

c) Sai. Ta có (P) $\bot$ (R) và (P) // (Q).

Mặt phẳng (R): x − 3y – z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_R}} = \left( {1; - 3; - 1} \right)$

Mặt phẳng (Q): 6x + 3y – 3z + 15 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {6;3; - 3} \right)$.

$\overrightarrow {{n_R}} \cdot \overrightarrow {{n_Q}} = 6 \cdot 1 + 3 \cdot \left( { - 3} \right) + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 1} \right) = 0$.

Vậy (R) $\bot$ (Q).

Vậy (P), (Q), (R) không đôi một vuông góc.

d) Đúng. Chọn M(5; 0; 0) là điểm thuộc mặt phẳng (P).

Do (P) // (Q) nên:

d((P), (Q)) = d(M, (Q)) = $\frac{{\left| {5 \cdot 6 + 0 \cdot 3 - 0 \cdot 3 + 15} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {3^2} + {3^2}} }} = \frac{{45}}{{3\sqrt 6 }} = \frac{{15}}{{\sqrt 6 }}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ với O là trung điểm của AC.

Ta có A(0; − 1; 0), B($\sqrt 3$; 0; 0), C(0; 1; 0), A'(0; −1; 6).

b) Đúng. Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {\sqrt 3 ;1;0} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( {0;2;0} \right)$.

$\vec u = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {0;0;2\sqrt 3 } \right) = 2\sqrt 3 \cdot \left( {0;0;1} \right)$

Chọn $\vec k = \frac{1}{{2\sqrt 3 }} \cdot \overrightarrow u$ làm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Vậy mặt phẳng (ABC) nhận $\vec k = \left( {0;0;1} \right)$ là vectơ pháp tuyến.

c) Đúng. A'(0; −1; 6), B'($\sqrt 3$; 0; 5), C'(0; 1; 4).

$\overrightarrow {A'B'} = \left( {\sqrt 3 ;1; - 1} \right)$, $\overrightarrow {A'C'} = \left( {0;2; - 2} \right)$

$\overrightarrow {{n_1}} = \left[ {\overrightarrow {A'B'} ,\overrightarrow {A'C'} } \right] = \left( {0;2\sqrt 3 ;2\sqrt 3 } \right) = 2\sqrt 3 \cdot \left( {0;1;1} \right)$.

Chọn $\vec n = \frac{1}{{2\sqrt 3 }} \cdot \overrightarrow {{n_1}}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (A'B'C').

Vậy mặt phẳng (A'B'C') nhận $\vec n = \left( {0;1;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

d) Sai. Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ với O là trung điểm AC.

Ta có A(0; −1; 0), C(0; 1; 0), A'(0; −1; 6), C'(0; 1; 4).

$\overrightarrow {AC} = \left( {0;2;0} \right)$, $\overrightarrow {AC'} = \left( {0;2;4} \right)$.

$\vec n = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AC'} } \right] = \left( {8;0;0} \right)$.

Mặt phẳng (ACC'A') đi qua A(0; −1; 0) và nhận $\vec n = \left( {8;0;0} \right)$làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 8(x − 0) + 0(y + 1) + 0(z − 0) = 0 hay 8x = 0.

d(B', (ACC'A')) = d(B, (ACC'A')) = $\frac{{\left| {8 \cdot \sqrt 3 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{8^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \sqrt 3$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Khối rubik có cạnh bằng 3.

b) Sai. Điểm C không phải một đỉnh của khối rubik.

c) Đúng. Phương trình mặt phẳng (ABC) là $\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = 1$.

d) Sai. Phương trình mặt phẳng (ABC) là $\frac{x}{3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{2} = 1$ hay 2x + 2y + 3z – 6 = 0.

Thay tọa độ D(1; 1; 1) vào phương trình mặt phẳng (ABC), ta có:

2×1 + 2×1 + 3×1 – 6 = 1 ≠ 0.

Vậy D không thuộc mặt phẳng (ABC).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( {2;2;0} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( {4;2; - 1} \right)$.

$\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( { - 2;2; - 4} \right)$.

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(2; 1; 3) và nhận $\vec n = \left( { - 2;2; - 4} \right)$ làm vectơ pháp tuyến: − 2(x – 2) + 2(y – 1) – 4(z – 3) = 0 hay – 2x + 2y – 4z + 14 = 0.

Vì A, B, C, D đồng phẳng nên D thuộc (ABC). Thay toạ độ điểm D vào phương trình mặt phẳng (ABC) ta có: −2∙k + 2∙0 − 4∙3k + 14 = 0 hay k = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Những điểm thuộc đường nóc nhà có toạ độ thoả mãn hệ:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x - 3y + 4 = 0}\\{x - 3y - z + 1 = 0}\end{array}} \right.$.

Chọn x = 2 nên y = 2.

Thay x = 2, y = 2 vào phương trình x − 3y – z + 1 = 0.

Ta có: 2 – 2∙3 – z + 1 = 0 ⟺ z = −3.

Vậy điểm A(2; 2; −3) là một điểm thuộc đường nóc nhà.

Khi đó chiều cao cần tìm của ngôi nhà là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oxy) bằng 3m

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 26

Xét ba điểm A(2; 1; 10), B(3; 4; 1), C(2; 5; 3).

$\overrightarrow {AB} = \left( {1;3; - 9} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( {0;4; - 7} \right)$.

$\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {15;7;4} \right)$.

Mặt phẳng (ABC) đi qua A(2; 1; 10) và nhận $\vec n = \left( {15;7;4} \right)$ làm vectơ pháp tuyến là: 15(x – 2) + 7(y – 1) + 4(z – 10) = 0 hay 15x + 7y + 4z – 77 = 0.

Vậy a + b + c = 15 + 7 + 4 = 26.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 15

$\overrightarrow {PQ} = \left( {50;50;5} \right)$, $\overrightarrow {PR} = \left( {0;50;5} \right)$.

$\vec u = \left[ {\overrightarrow {PQ} ,\overrightarrow {PR} } \right] = \left( {0; - 250;2500} \right) = 250 \cdot \left( {0; - 1;10} \right)$.

Chọn $\vec n = \frac{1}{{250}} \cdot \vec u$ làm vectơ pháp tuyến của mặt đáy.

Phương trình mặt đáy qua P và nhận $\vec n = \left( {0; - 1;10} \right)$ làm vectơ pháp tuyến:

0(x – 0) – 1(y – 0) + 10(z + 20) = 0 hay – y + 10z + 200 = 0.

d(A, (PQR)) = $\frac{{\left| {0 \cdot 50 - 1 \cdot 50 + 10 \cdot 0 + 200} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{10}^2}} }} = \frac{{150}}{{\sqrt {101} }} \approx 15$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0,5

Gọi I là trung điểm của AB do đó $I\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{3}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right)$ và (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB.

Khi đó mặt phẳng (Q) qua điểm $I\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{3}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 1;1} \right)$ nên có phương trình là:

$- 3 \cdot \left( {x + \frac{1}{2}} \right) - 1 \cdot \left( {y - \frac{3}{2}} \right) + 1 \cdot \left( {z + \frac{1}{2}} \right) = 0$ hay – 3x – y + z + $\frac{1}{2}$ = 0.

Vì MA = MB nên M thuộc mặt phẳng (Q).

Ta có hệ phương trình:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x - 2y + z + 4 = 0}\\{ - 3x - y + z + \frac{1}{2} = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{ - 2y + z = - x - 4}\\{ - y + z = 3x - \frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{y = 4x + \frac{7}{2}}\\{z = 7x + 3}\end{array}} \right.$.

Do đó $M\left( {x;4x + \frac{7}{2};7x + 3} \right)$.

Có $MA = \frac{{\sqrt {11} }}{2} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {4x + \frac{3}{2}} \right)^2} + {\left( {7x + 4} \right)^2} = \frac{{11}}{4}$.

$\Leftrightarrow 66{x^2} + 66x + \frac{{66}}{4} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{2}$.

Nên $M\left( {\frac{{ - 1}}{2};\frac{3}{2};\frac{{ - 1}}{2}} \right)$.

Vậy a + b + c = $\frac{1}{2}$.