TopStudy

Toán · Lớp 10

Bài tập Toán 10 Bài 3. Nhị thức Newtơn có đáp án

10 câu · 15 phút · Ngân hàng đề TopStudy. Đáp án và lời giải do TopStudy biên soạn, mở ngay dưới từng câu.

Làm bài

Nội dung đề

Phần I. Tự luận

Câu 1

1 điểm

Ở Trung học cơ sở, ta quen thuộc với các công thức khai triển:

(a + b)2^{2} = a2^{2} + 2ab + b2^{2};

(a + b)3^{3} = a3^{3} + 3a2^{2}b + 3ab2^{2} + b3^{3}.

Với số tự nhiên n > 3 thì công thức khai triển của biểu thức (a + b)n^{n} sẽ như thế nào?

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Sau bài học này ta sẽ trả lời được câu hỏi trên như sau:

Với n = 4, ta có:

(a + b)4^{4} = [(a + b)2^{2}]2^{2} = [a2^{2} + 2ab + b2^{2}]2^{2} = [(a2^{2} + b2^{2}) + 2ab]2^{2}

= a4^{4} + 2a2^{2}b2^{2} + b4^{4} + 2(a2^{2} + b2^{2}).2ab + 4a2^{2}b2^{2} = a4^{4} + 2a2^{2}b2^{2} + b4^{4} + 2a3^{3}b + 2ab3^{3} + 4a2^{2}b2^{2}

= a4^{4} + 2a3^{3}b + 6a2^{2}b2^{2} + 2ab3^{3} + b4^{4}.

(a + b)5^{5} = (a + b)3^{3}(a + b)2^{2} = (a3^{3} + 3a2^{2}b + 3ab2^{2} + b3^{3})(a2^{2} + 2ab + b2^{2})

= a5^{5} + 2a4^{4}b + a3^{3}b2^{2} + 3a4^{4}b + 6a3^{3}b2^{2} + 3a2^{2}b3^{3} + 3a3^{3}b2^{2} + 6a2^{2}b3^{3} + 3ab4^{4} + a2^{2}b3^{3} + 2ab4^{4} + b5^{5}

= a5^{5} + 5a4^{4}b + 10a3^{3}b2^{2} + 10a2^{2}b3^{3}+ 5ab4^{4} + b5^{5}

Với n là một số tự nhiên ta có công thức tổng quát:

(a + b)n^{n} = Cn0an.b0+Cn1an−1.b1+Cn2an−2.b2+...+Cnna0.bnC_n^0{a^n}.{b^0} + C_n^1{a^{n - 1}}.{b^1} + C_n^2{a^{n - 2}}.{b^2} + ... + C_n^n{a^0}.{b^n}.

Câu 2

1 điểm

a) Xét công thức khai triển (a + b)3^{3} = a3^{3} + 3a2^{2}b + 3ab2^{2} + b3^{3}.

i) Liệt kê các số hạng của khai triển trên.

ii) Liệt kê các hệ số của khai triển trên.

iii) Tính giá trị của C30;C31;C32;C33C_3^0;C_3^1;C_3^2;C_3^3 (có thể sử dụng máy tính) rồi so sánh với các hệ số trên. Có nhận xét gì?

b) Hoàn thành biến đổi sau đây để tìm công thức khai triển của (a + b)4^{4}:

(a + b)4^{4} = (a + b)(a + b)3^{3} = = a4^{4} + a3^{3}b2^{2} + a2^{2}b2^{2} + ab3^{3} + b4^{4}.

Tính giá trị của C40,C41,C42,C43,C44C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4, rồi so sánh với các hệ số của khai triển.

Từ đó, hãy sử dụng các kí hiệu C40,C41,C42,C43,C44C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4 để viết lại công thức khai triển trên.

c) Từ kết quả của câu a) và b), hãy dự đoán công thức khai triển của (a + b)5^{5}. Tính toán để kiểm tra dự đoán đó.

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Xét công thức khai triển (a + b)3^{3} = a3^{3} + 3a2^{2}b + 3ab2^{2} + b3^{3}, có:

i) Các số hạng của khai triển trên là: a3^{3}; 3a2^{2}b; 3ab2^{2}; b3^{3}.

ii) Tương ứng với các số hạng ta có các hệ số xuất hiện trong khai triển trên lần lượt là: 1; 3; 3; 1.

Khi đó ta thấy C30;C31;C32;C33C_3^0;C_3^1;C_3^2;C_3^3 lần lượt bằng hệ số của các số hạng a3^{3}; 3a2^{2}b; 3ab2^{2}; b3^{3} trong khai triển đã cho.

iii) Sử dụng máy tính ta có: C30=1C_3^0 = 1, C31=3C_3^1 = 3, C32=3C_3^2 = 3, C33=1C_3^3 = 1.

b) Ta có: (a + b)4^{4} = (a + b)(a + b)3^{3}

= (a + b)(a3^{3} + 3a2^{2}b + 3ab2^{2} + b3^{3})

= a4^{4} + 3a3^{3}b + 3a2^{2}b2^{2} + ab3^{3} + a3^{3}b + 3a2^{2}b2^{2} + 3ab3^{3} + b4^{4}

= a4^{4} + 4a3^{3}b + 6a2^{2}b2^{2} + 4ab3^{3} + b4^{4}

Bằng cách sử dụng máy tính, giá trị của C40,C41,C42,C43,C44C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4 lần lượt là:

C40=1,C41=4,C42=6,C43=4,C44=1C_4^0 = 1,C_4^1 = 4,C_4^2 = 6,C_4^3 = 4,C_4^4 = 1.

Khi đó ta thấy C40,C41,C42,C43,C44C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4 lần lượt bằng hệ số của các số hạng a4^{4}; 4a3^{3}b; 6a2^{2}b2^{2}; 4ab3^{3}; b4^{4} trong khai triển đã cho.

Bằng cách sử dụng các kí hiệu C40,C41,C42,C43,C44C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4, ta viết lại công thức khai triển trên như sau:

(a + b)4^{4} = C40C_4^0a4^{4} + C41C_4^1a3^{3}b + C42C_4^2a2^{2}b2^{2} + C43C_4^3ab3^{3} + C44C_4^4b4^{4}.

c) Từ kết quả câu câu a) và b) ta có dự đoán sau:

(a + b)5^{5} = C50C_5^0a5^{5}b0^{0} + C51C_5^1a4^{4}b1^{1} + C52C_5^2a3^{3}b2^{2} + C53C_5^3a2^{2}b3^{3} + C54C_5^4ab4^{4} + C55C_5^5b5^{5}

= a5^{5} + 5a4^{4}b + 10a3^{3}b2^{2} + 10a2^{2}b3^{3} + 5ab4^{4} + b5^{5}.

Kiểm tra dự đoán:

(a + b)5^{5} = (a + b)3^{3}.(a + b)2^{2} = (a3^{3} + 3a2^{2}b + 3ab2^{2} + b3^{3})(a2^{2} + 2ab + b2^{2})

= a5^{5} + 2a4^{4}b + a3^{3}b2^{2} + 3a4^{4}b + 6a3^{3}b2^{2} + 3a2^{2}b3^{3} + 3a3^{3}b2^{2} + 6a2^{2}b3^{3} + 3ab4^{4} + a2^{2}b3^{3} + 2ab4^{4} + b5^{5}

= a5^{5} + 5a4^{4}b + 10a3^{3}b2^{2} + 10a2^{2}b3^{3} + 5ab4^{4} + b5^{5}.

Câu 3

1 điểm

Khai triển các biểu thức sau:

a) (x – 2)4^{4};

b) (x + 2y)5^{5}.

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = x và b = -2, ta có:

(x – 2)4^{4} = C40C_4^0x4^{4} + C41C_4^1x3^{3}(-2) + C42C_4^2x2^{2}(-2)2^{2} + C43C_4^3x(-2)3^{3} + C44C_4^4(-2)4^{4}

= x4^{4} – 8x3^{3} + 24x2^{2} – 32x + 16.

Vậy (x – 2)4^{4} = x4^{4} – 8x3^{3} + 24x2^{2} – 32x + 16.

b) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = x và b = 2y, ta có:

(x + 2y)5^{5} = C50C_5^0x5^{5}(2y)0^{0} + C51C_5^1x4^{4}(2y)1^{1} + C52C_5^2x3^{3}(2y)2^{2} + C53C_5^3x2^{2}(2y)3^{3} + C54C_5^4x(2y)4^{4} + C55C_5^5(2y)5^{5}

= x5^{5} + 10x4^{4}y + 40x3^{3}y2^{2} + 80x2^{2}y3^{3} + 80xy4^{4} + 32y.

Vậy (x + 2y)5^{5} = x5^{5} + 10x4^{4}y + 40x3^{3}y2^{2} + 80x2^{2}y3^{3} + 80xy4^{4} + 32y.

Câu 4

1 điểm

Sử dụng công thức nhị thức Newton, chứng tỏ rằng:

a) C40+2C41+22C42+23C43+24C44=81C_4^0 + 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 + {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 81;

b) C40−2C41+22C42−23C43+24C44=1C_4^0 - 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 - {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 1.

Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) C40+2C41+22C42+23C43+24C44=81C_4^0 + 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 + {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 81

Ta có: (1+2)4=C40.14+C41.13.2+C42.12.22+C43.13.23+C44.1.24{\left( {1 + 2} \right)^4} = C_4^0{.1^4} + C_4^1{.1^3}.2 + C_4^2{.1^2}{.2^2} + C_4^3{.1^3}{.2^3} + C_4^4{.1.2^4}

⇔ 34=C40+C41.2+C42.22+C43.23+C44.24{3^4} = C_4^0 + C_4^1.2 + C_4^2{.2^2} + C_4^3{.2^3} + C_4^4{.2^4}

⇔ C40+2C41+22C42+23C43+24C44=81C_4^0 + 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 + {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 81 (đpcm).

b) C40−2C41+22C42−23C43+24C44=1C_4^0 - 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 - {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 1

Ta có: (1 – 2)4^{4} = C40.14+C41.13.(−2)+C42.12.(−2)2+C43.1.(−2)3+C44.(−2)4C_4^0{.1^4} + C_4^1{.1^3}.( - 2) + C_4^2{.1^2}.{( - 2)^2} + C_4^3.1.{\left( { - 2} \right)^3} + C_4^4.{( - 2)^4}

⇔ (-1)4^{4} = C40−C41+C42.22−C43.23+C44.24C_4^0 - C_4^1 + C_4^2{.2^2} - C_4^3{.2^3} + C_4^4{.2^4}

⇔ 1 = C40−2C41+22C42−23C43+24C44C_4^0 - 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 - {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 (đpcm).

Câu 5

1 điểm
Trên quầy còn 4 vé xổ số khác nhau. Một khách hàng có bao nhiêu lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó? Tính cả trường hợp mua không vé, tức là không mua vé nào.
Xem đáp án và lời giải

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Số lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó là:

C40+C41+C42+C43+C44C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 (lựa chọn).

Mà theo công thức nhị thức Newton, ta có:

C40+C41+C42+C43+C44=C40.14+C41.13.1+C42.12.12+C43.13.1+C44.1=(1+1)4=24=16C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 = C_4^0{.1^4} + C_4^1{.1^3}.1 + C_4^2{.1^2}{.1^2} + C_4^3{.1^3}.1 + C_4^4.1 = {\left( {1 + 1} \right)^4} = {2^4} = 16.

Vậy khách hàng có 16 lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó.

Câu 6

1 điểm

Sử dụng công thức nhị thức Newton, khai triển các biểu thức sau:

a) (3x + y)4^{4};

b) (x−2)5{\left( {x - \sqrt 2 } \right)^5}.

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 6

Câu 7

1 điểm

Khai triển và rút gọn các biểu thức sau:

a) (2+2)4{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4};

b) (2+2)4+(2−2)4{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^4};

c) (1−3)5{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^5}.

Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 7

Câu 8

1 điểm
Tìm hệ số của x3^{3} trong khai triển (3x – 2)5^{5}.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 8

Câu 9

1 điểm
Chứng minh rằng C50−C51+C52−C53+C54−C55=0C_5^0 - C_5^1 + C_5^2 - C_5^3 + C_5^4 - C_5^5 = 0.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 9

Câu 10

1 điểm
Cho A = {a1_{1}; a2_{2}; a3_{3}; a4_{4}; a5_{5}} là một tập hợp có 5 phần tử. Chứng minh rằng số tập hợp con có số lẻ (1; 3; 5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0; 2; 4) phần tử của A.
Xem đáp án và lời giải
Mở lời giải câu 10
Làm bài

Đề cùng chủ đề

Tất cả đề Nhị thức Newton · Các bộ sách Toán Lớp 10