5 câu Trắc nghiệm Toán 10 chân trời sáng tạo Nhị thức Newton (Vận dụng) có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Số hạng tổng quát của khai triển (x$^{3}$ + xy)$^{22}$ là:

${C}_{22}^{k}{({x}^{3})}^{22-k}{(xy)}^{k}$ (với 0 ≤ k ≤ 22 và k ∈ ℤ)

$={C}_{22}^{k}.{x}^{66-3k}.{x}^{k}.{y}^{k}={C}_{22}^{k}.{x}^{66-2k}.{y}^{k}$

(x$^{3}$ + xy)$^{22}$ có số mũ là 22 nên khai triển này có 23 số hạng.

Do đó số hạng chính giữa là số hạng thứ 12 ứng với k = 11.

Vậy số hạng chính giữa của khai triển là ${C}_{22}^{12}.{x}^{42}.{y}^{12}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta thấy tập hợp M có 4 phần tử.

• Mỗi tập con của M có k phần tử (với 1 ≤ k ≤ 4) là một tổ hợp chập k của 4 phần tử.

Do đó số tập con như vậy bằng ${C}_{4}^{k}$.

• Mặt khác, có một tập con của M không có phần tử nào (tập rỗng).

Tức là, có ${C}_{4}^{0}=1$ tập con như vậy.

Do đó số tập con của tập hợp M là:

${C}_{4}^{0}+{C}_{4}^{1}+{C}_{4}^{2}+{C}_{4}^{3}+{C}_{4}^{4}$ = 16 (tập con).

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có ${A}_{n}^{3}+2{A}_{n}^{2}=100$

$\Leftrightarrow \frac{n!}{(n-3)!}+2.\frac{n!}{(n-2)!}=100$

$\Leftrightarrow \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{(n-3)!}+2.\frac{n(n-1)(n-2)!}{(n-2)!}=100$

⇔ n(n – 1)(n – 2) + 2n(n – 1) = 100

⇔ n(n – 1)(n – 2 + 2) = 100

⇔ (n$^{2}$ – n)n = 100

⇔ n$^{3}$ – n$^{2}$ – 100 = 0

⇔ n = 5 (thỏa mãn).

Khi đó ta có khai triển (2 + x)$^{5}$.

(2 + x)$^{5}$

= 2$^{5}$ + 5.2$^{4}$.x + 10.2$^{3}$.x$^{2}$ + 10.2$^{2}$.x$^{3}$ + 5.2.x$^{4}$ + x$^{5}$

= 32 + 80x + 80x$^{2}$ + 40x$^{3}$ + 10x$^{4}$ + x$^{5}$

Vậy số hạng của x$^{3}$ trong khai triển biểu thức (2 + x)$^{5}$ là 40x$^{3}$.

Do đó ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

${(1+x)}^{5}$

$={C}_{5}^{0}{.1}^{5}+{C}_{5}^{1}{.1}^{4}.x+{C}_{5}^{2}{.1}^{3}.{x}^{2}+{C}_{5}^{3}{.1}^{2}.{x}^{3}+{C}_{5}^{4}.1.{x}^{4}+{C}_{5}^{5}.{x}^{5}$

$={C}_{5}^{0}+{C}_{5}^{1}.x+{C}_{5}^{2}.{x}^{2}+{C}_{5}^{3}.{x}^{3}+{C}_{5}^{4}.{x}^{4}+{C}_{5}^{5}.{x}^{5}$

Cho x = 3, ta có:

${(1+3)}^{5}={C}_{5}^{0}+{C}_{5}^{1}.3+{C}_{5}^{2}{.3}^{2}+{C}_{5}^{3}{.3}^{3}+{C}_{5}^{4}{.3}^{4}+{C}_{5}^{5}{.3}^{5}$.

Suy ra $S={C}_{5}^{0}+3{C}_{5}^{1}+{3}^{2}{C}_{5}^{2}+{3}^{3}{C}_{5}^{3}+{3}^{4}{C}_{5}^{4}+{3}^{5}{C}_{5}^{5}={4}^{5}$.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có (1 + x + x$^{2}$ + x$^{3}$)$^{5}$ = [1 + x + x$^{2}$(1 + x)]$^{5}$

= [(1 + x)(1 + x$^{2}$)]$^{5}$ = (1 + x)$^{5}$.(1 + x$^{2}$)$^{5}$.

Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

⦁ A = (1 + x)$^{5}$

= 1$^{5}$ + 5.1$^{4}$.x + 10.1$^{3}$.x$^{2}$ + 10.1$^{2}$.x$^{3}$ + 5.1.x$^{4}$ + x$^{5}$

= 1 + 5x + 10x$^{2}$ + 10x$^{3}$ + 5x$^{4}$ + x$^{5}$.

⦁ B = (1 + x$^{2}$)$^{5}$

= 1$^{5}$ + 5.1$^{4}$.x$^{2}$ + 10.1$^{3}$.(x$^{2}$)$^{2}$ + 10.1$^{2}$.(x$^{2}$)$^{3}$ + 5.1.(x$^{2}$)$^{4}$ + (x$^{2}$)$^{5}$

= 1 + 5x$^{2}$ + 10x$^{4}$ + 10x$^{6}$ + 5x$^{8}$ + x$^{10}$.

Suy ra (1 + x + x$^{2}$ + x$^{3}$)$^{5}$ = A.B

Khi đó ta có số hạng chứa x$^{10}$ trong khai triển (1 + x + x$^{2}$ + x$^{3}$)$^{5}$ là:

x$^{i}$.x$^{j}$ = x$^{10}$ hay x$^{i + j}$ = x$^{10}$ với x$^{i}$ là lũy thừa của số hạng trong A, x$^{j}$ là lũy thừa của số hạng trong B (i ∈ {0; 1; 2; 3; 4; 5} và j ∈ {0; 2; 4; 6; 8; 10}).

Do đó ta có bảng sau:

Từ bảng ta có số hạng chứa x$^{10}$ trong khai triển là:

1.x$^{10}$ + 10x$^{2}$.5x$^{8}$ + 5x$^{4}$.10x$^{6}$

= x$^{10}$ + 50x$^{10}$ + 50x$^{10}$ = 101x$^{10}$.

Vậy hệ số của số hạng chứa x$^{10}$ trong khai triển (1 + x + x$^{2}$ + x$^{3}$)$^{5}$ là 101.

Do đó ta chọn phương án C.