TopStudy

Đáp án và lời giải

Bài tập Toán 10 Bài 3. Nhị thức Newtơn có đáp án

Về trang đề

Câu 1

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Sau bài học này ta sẽ trả lời được câu hỏi trên như sau:

Với n = 4, ta có:

(a + b)4^{4} = [(a + b)2^{2}]2^{2} = [a2^{2} + 2ab + b2^{2}]2^{2} = [(a2^{2} + b2^{2}) + 2ab]2^{2}

= a4^{4} + 2a2^{2}b2^{2} + b4^{4} + 2(a2^{2} + b2^{2}).2ab + 4a2^{2}b2^{2} = a4^{4} + 2a2^{2}b2^{2} + b4^{4} + 2a3^{3}b + 2ab3^{3} + 4a2^{2}b2^{2}

= a4^{4} + 2a3^{3}b + 6a2^{2}b2^{2} + 2ab3^{3} + b4^{4}.

(a + b)5^{5} = (a + b)3^{3}(a + b)2^{2} = (a3^{3} + 3a2^{2}b + 3ab2^{2} + b3^{3})(a2^{2} + 2ab + b2^{2})

= a5^{5} + 2a4^{4}b + a3^{3}b2^{2} + 3a4^{4}b + 6a3^{3}b2^{2} + 3a2^{2}b3^{3} + 3a3^{3}b2^{2} + 6a2^{2}b3^{3} + 3ab4^{4} + a2^{2}b3^{3} + 2ab4^{4} + b5^{5}

= a5^{5} + 5a4^{4}b + 10a3^{3}b2^{2} + 10a2^{2}b3^{3}+ 5ab4^{4} + b5^{5}

Với n là một số tự nhiên ta có công thức tổng quát:

(a + b)n^{n} = Cn0an.b0+Cn1an−1.b1+Cn2an−2.b2+...+Cnna0.bnC_n^0{a^n}.{b^0} + C_n^1{a^{n - 1}}.{b^1} + C_n^2{a^{n - 2}}.{b^2} + ... + C_n^n{a^0}.{b^n}.

Câu 2

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Xét công thức khai triển (a + b)3^{3} = a3^{3} + 3a2^{2}b + 3ab2^{2} + b3^{3}, có:

i) Các số hạng của khai triển trên là: a3^{3}; 3a2^{2}b; 3ab2^{2}; b3^{3}.

ii) Tương ứng với các số hạng ta có các hệ số xuất hiện trong khai triển trên lần lượt là: 1; 3; 3; 1.

Khi đó ta thấy C30;C31;C32;C33C_3^0;C_3^1;C_3^2;C_3^3 lần lượt bằng hệ số của các số hạng a3^{3}; 3a2^{2}b; 3ab2^{2}; b3^{3} trong khai triển đã cho.

iii) Sử dụng máy tính ta có: C30=1C_3^0 = 1, C31=3C_3^1 = 3, C32=3C_3^2 = 3, C33=1C_3^3 = 1.

b) Ta có: (a + b)4^{4} = (a + b)(a + b)3^{3}

= (a + b)(a3^{3} + 3a2^{2}b + 3ab2^{2} + b3^{3})

= a4^{4} + 3a3^{3}b + 3a2^{2}b2^{2} + ab3^{3} + a3^{3}b + 3a2^{2}b2^{2} + 3ab3^{3} + b4^{4}

= a4^{4} + 4a3^{3}b + 6a2^{2}b2^{2} + 4ab3^{3} + b4^{4}

Bằng cách sử dụng máy tính, giá trị của C40,C41,C42,C43,C44C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4 lần lượt là:

C40=1,C41=4,C42=6,C43=4,C44=1C_4^0 = 1,C_4^1 = 4,C_4^2 = 6,C_4^3 = 4,C_4^4 = 1.

Khi đó ta thấy C40,C41,C42,C43,C44C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4 lần lượt bằng hệ số của các số hạng a4^{4}; 4a3^{3}b; 6a2^{2}b2^{2}; 4ab3^{3}; b4^{4} trong khai triển đã cho.

Bằng cách sử dụng các kí hiệu C40,C41,C42,C43,C44C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4, ta viết lại công thức khai triển trên như sau:

(a + b)4^{4} = C40C_4^0a4^{4} + C41C_4^1a3^{3}b + C42C_4^2a2^{2}b2^{2} + C43C_4^3ab3^{3} + C44C_4^4b4^{4}.

c) Từ kết quả câu câu a) và b) ta có dự đoán sau:

(a + b)5^{5} = C50C_5^0a5^{5}b0^{0} + C51C_5^1a4^{4}b1^{1} + C52C_5^2a3^{3}b2^{2} + C53C_5^3a2^{2}b3^{3} + C54C_5^4ab4^{4} + C55C_5^5b5^{5}

= a5^{5} + 5a4^{4}b + 10a3^{3}b2^{2} + 10a2^{2}b3^{3} + 5ab4^{4} + b5^{5}.

Kiểm tra dự đoán:

(a + b)5^{5} = (a + b)3^{3}.(a + b)2^{2} = (a3^{3} + 3a2^{2}b + 3ab2^{2} + b3^{3})(a2^{2} + 2ab + b2^{2})

= a5^{5} + 2a4^{4}b + a3^{3}b2^{2} + 3a4^{4}b + 6a3^{3}b2^{2} + 3a2^{2}b3^{3} + 3a3^{3}b2^{2} + 6a2^{2}b3^{3} + 3ab4^{4} + a2^{2}b3^{3} + 2ab4^{4} + b5^{5}

= a5^{5} + 5a4^{4}b + 10a3^{3}b2^{2} + 10a2^{2}b3^{3} + 5ab4^{4} + b5^{5}.

Câu 3

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = x và b = -2, ta có:

(x – 2)4^{4} = C40C_4^0x4^{4} + C41C_4^1x3^{3}(-2) + C42C_4^2x2^{2}(-2)2^{2} + C43C_4^3x(-2)3^{3} + C44C_4^4(-2)4^{4}

= x4^{4} – 8x3^{3} + 24x2^{2} – 32x + 16.

Vậy (x – 2)4^{4} = x4^{4} – 8x3^{3} + 24x2^{2} – 32x + 16.

b) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = x và b = 2y, ta có:

(x + 2y)5^{5} = C50C_5^0x5^{5}(2y)0^{0} + C51C_5^1x4^{4}(2y)1^{1} + C52C_5^2x3^{3}(2y)2^{2} + C53C_5^3x2^{2}(2y)3^{3} + C54C_5^4x(2y)4^{4} + C55C_5^5(2y)5^{5}

= x5^{5} + 10x4^{4}y + 40x3^{3}y2^{2} + 80x2^{2}y3^{3} + 80xy4^{4} + 32y.

Vậy (x + 2y)5^{5} = x5^{5} + 10x4^{4}y + 40x3^{3}y2^{2} + 80x2^{2}y3^{3} + 80xy4^{4} + 32y.

Câu 4

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) C40+2C41+22C42+23C43+24C44=81C_4^0 + 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 + {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 81

Ta có: (1+2)4=C40.14+C41.13.2+C42.12.22+C43.13.23+C44.1.24{\left( {1 + 2} \right)^4} = C_4^0{.1^4} + C_4^1{.1^3}.2 + C_4^2{.1^2}{.2^2} + C_4^3{.1^3}{.2^3} + C_4^4{.1.2^4}

⇔ 34=C40+C41.2+C42.22+C43.23+C44.24{3^4} = C_4^0 + C_4^1.2 + C_4^2{.2^2} + C_4^3{.2^3} + C_4^4{.2^4}

⇔ C40+2C41+22C42+23C43+24C44=81C_4^0 + 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 + {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 81 (đpcm).

b) C40−2C41+22C42−23C43+24C44=1C_4^0 - 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 - {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 = 1

Ta có: (1 – 2)4^{4} = C40.14+C41.13.(−2)+C42.12.(−2)2+C43.1.(−2)3+C44.(−2)4C_4^0{.1^4} + C_4^1{.1^3}.( - 2) + C_4^2{.1^2}.{( - 2)^2} + C_4^3.1.{\left( { - 2} \right)^3} + C_4^4.{( - 2)^4}

⇔ (-1)4^{4} = C40−C41+C42.22−C43.23+C44.24C_4^0 - C_4^1 + C_4^2{.2^2} - C_4^3{.2^3} + C_4^4{.2^4}

⇔ 1 = C40−2C41+22C42−23C43+24C44C_4^0 - 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 - {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4 (đpcm).

Câu 5

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Số lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó là:

C40+C41+C42+C43+C44C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 (lựa chọn).

Mà theo công thức nhị thức Newton, ta có:

C40+C41+C42+C43+C44=C40.14+C41.13.1+C42.12.12+C43.13.1+C44.1=(1+1)4=24=16C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 = C_4^0{.1^4} + C_4^1{.1^3}.1 + C_4^2{.1^2}{.1^2} + C_4^3{.1^3}.1 + C_4^4.1 = {\left( {1 + 1} \right)^4} = {2^4} = 16.

Vậy khách hàng có 16 lựa chọn mua một số vé trong số các vé xổ số đó.

Câu 6

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = 3x và b = y, ta có:

(3x + y)4^{4} = C40.(3x)4+C41.(3x)3.y+C42.(3x)2.y2+C43.(3x)1.y3+C44.y4C_4^0.{\left( {3x} \right)^4} + C_4^1.{\left( {3x} \right)^3}.y + C_4^2.{\left( {3x} \right)^2}.{y^2} + C_4^3.{\left( {3x} \right)^1}.{y^3} + C_4^4.{y^4}

=81x4+108x3y+54x2y2+12xy3+y4= 81{x^4} + 108{x^3}y + 54{x^2}{y^2} + 12x{y^3} + {y^4}.

Vậy (3x + y)4^{4} =81x4+108x3y+54x2y2+12xy3+y4= 81{x^4} + 108{x^3}y + 54{x^2}{y^2} + 12x{y^3} + {y^4}.

b) Áp dụng khai triển nhị thức Newton với a = x và b = 2\sqrt{2}, ta có:

(x−2)5{\left( {x - \sqrt 2 } \right)^5} = C50C_5^0x5^{5} + C51C_5^1x4^{4}.(−2)1{\left( { - \sqrt 2 } \right)^1}+ C52C_5^2x3^{3}(−2)2{\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} + C53C_5^3x2^{2}(−2)3{\left( { - \sqrt 2 } \right)^3} + C54C_5^4x(−2)4{\left( { - \sqrt 2 } \right)^4} + C55C_5^5(−2)5{\left( { - \sqrt 2 } \right)^5}

= x5^{5} – 525\sqrt 2x4^{4}+ 20x3^{3} – 20220\sqrt 2x2^{2} + 20x – 424\sqrt 2.

Vậy (x−2)5{\left( {x - \sqrt 2 } \right)^5} = C50C_5^0x5^{5} – 525\sqrt 2x4^{4}+ 20x3^{3} – 20220\sqrt 2x2^{2} + 20x – 424\sqrt 2.

Câu 7

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

a) (2+2)4{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4}= C4024+C41.23(2)+C42.22(2)2+C43.2.(2)3+C44.(2)4C_4^0{2^4} + C_4^1{.2^3}\left( {\sqrt 2 } \right) + C_4^2{.2^2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + C_4^3.2.{\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + C_4^4.{\left( {\sqrt 2 } \right)^4}

= 16 + 322\sqrt 2 + 48 + 162\sqrt 2 + 4
=68+482= 68 + 48\sqrt 2.

Vậy (2+2)4=68+482{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4} = 68 + 48\sqrt 2.

b) Ta có: (2−2)4{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^4}= C4024+C41.23(−2)+C42.22(−2)2+C43.2.(−2)3+C44.(−2)4C_4^0{2^4} + C_4^1{.2^3}\left( { - \sqrt 2 } \right) + C_4^2{.2^2}{\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} + C_4^3.2.{\left( { - \sqrt 2 } \right)^3} + C_4^4.{\left( { - \sqrt 2 } \right)^4}

= 16 – 322\sqrt 2 + 48 – 162\sqrt 2 + 4.

=68−482= 68 - 48\sqrt 2.

Khi đó: (2+2)4+(2−2)4=68+482+68−402=136.{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^4} = 68 + 48\sqrt 2 + 68 - 40\sqrt 2 = 136.

c) (1−3)5{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^5}.

=C50.15+C51.14(−3)+C52.13(−3)2+C53.12.(−3)3+C54.11(−3)4+C55.(−3)5= C_5^0{.1^5} + C_5^1{.1^4}\left( { - \sqrt 3 } \right) + C_5^2{.1^3}{\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} + C_5^3{.1^2}.{\left( { - \sqrt 3 } \right)^3} + C_5^4{.1^1}{\left( { - \sqrt 3 } \right)^4} + C_5^5.{\left( { - \sqrt 3 } \right)^5}

=1−53+30−303+45−93= 1 - 5\sqrt 3 + 30 - 30\sqrt 3 + 45 - 9\sqrt 3

=76−443= 76 - 44\sqrt 3.

Vậy (1−3)5=76−443.{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^5} = 76 - 44\sqrt 3 .

Câu 8

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Ta có: (3x – 2)5^{5} = =C50.(3x)5+C51.(3x)4.(−2)+C52.(3x)3(−2)2+C53.(3x)2.(−2)3+C54.(3x)1(−2)4+C55.(−2)5= C_5^0.{\left( {3x} \right)^5} + C_5^1.{\left( {3x} \right)^4}.\left( { - 2} \right) + C_5^2.{\left( {3x} \right)^3}{\left( { - 2} \right)^2} + C_5^3.{\left( {3x} \right)^2}.{\left( { - 2} \right)^3} + C_5^4.{\left( {3x} \right)^1}{\left( { - 2} \right)^4} + C_5^5.{\left( { - 2} \right)^5}

= 243x5^{5} – 810x4^{4} + 1080x3^{3} – 720x2^{2} + 240x – 32

Suy ra (3x – 2)5^{5} = 243x5^{5} – 810x4^{4} + 1080x3^{3} – 720x2^{2} + 240x – 32.

Khi đó hệ số của x3^{3} trong khai triển là 1 080.

Vậy hệ số của x3^{3} trong khai triển là 1 080.

Câu 9

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Ta có: C50−C51+C52−C53+C54−C55C_5^0 - C_5^1 + C_5^2 - C_5^3 + C_5^4 - C_5^5

=C50.15+C51.14.(−1)1+C52.13.(−1)2+C53.12.(−1)3+C54.11.(−1)4+C55.(−1)5= C_5^0{.1^5} + C_5^1{.1^4}.{\left( { - 1} \right)^1} + C_5^2{.1^3}.{\left( { - 1} \right)^2} + C_5^3{.1^2}.{\left( { - 1} \right)^3} + C_5^4{.1^1}.{\left( { - 1} \right)^4} + C_5^5.{\left( { - 1} \right)^5}

= (1 – 1)5^{5} = 0 (nhị thức Newton).

Câu 10

Hướng dẫn chấm do TopStudy biên soạn, mang tính gợi ý

Tập con có 0 phần tử của tập hợp A gồm 1 tập là tập ∅\emptyset.

Tập con có 1 phần tử của tập hợp A gồm 5 tập là các tập hợp {a1_{1}}, {a2_{2}}, {a3_{3}}, {a4_{4}}, {a5_{5}}.

Tập con có 2 phần tử của tập hợp A gồm 10 tập là các tập hợp {a1_{1}; a2_{2}}, {a1_{1}; a3_{3}}, {a1_{1}; a4_{4}}, {a1_{1}; a5_{5}}, {a2_{2}; a3_{3}}, {a2_{2}; a4_{4}}, {a2_{2}; a5_{5}}, {a3_{3}; a4_{4}}, {a3_{3}; a5_{5}}, {a4_{4}; a5_{5}}.

Tập con có 3 phần tử của tập hợp A gồm 10 tập là các tập hợp {a1_{1}; a2_{2}; a3_{3}}, {a1_{1}; a2_{2}; a4_{4}}, {a1_{1}; a2_{2}; a5_{5}}, {a1_{1}; a3_{3}; a4_{4}}, {a1_{1}; a3_{3}; a5_{5}}, {a1_{1}; a4_{4}; a5_{5}}, {a2_{2}; a3_{3}; a4_{4}}, {a2_{2}; a3_{3}; a5_{5}}, {a2_{2}; a4_{4}; a5_{5}}, {a3_{3}; a4_{4}; a5_{5}}.

Số tập con có 4 phần tử của tập hợp A gồm 5 tập là các tập hợp {a1_{1}; a2_{2}; a3_{3}; a4_{4}}, {a1_{1}; a2_{2}; a4_{4}; a5_{5}}, {a1_{1}; a2_{2}; a3_{3}; a5_{5}}, {a1_{1}; a3_{3}; a4_{4}; a5_{5}}, {a2_{2}; a3_{3}; a4_{4}; a5_{5}}.

Số tập con có 5 phần tử của tập hợp A gồm 1 tập là tập A = {a1_{1}; a2_{2}; a3_{3}; a4_{4}; a5_{5}}.

Suy ra số tập hợp con có số lẻ (1; 3; 5) phần tử của A là 5 + 10 + 1 = 16 tập, số tập hợp con có số chẵn (0; 4; 6) phần tử của A là 1 + 10 + 5 = 16 tập.

Vậy số tập hợp con có số lẻ (1; 3; 5) phần tử của A bằng số tập hợp con có số chẵn (0; 2; 4) phần tử của A.