Bài tập Tích của một số với một vectơ có đáp án

+) Ta có: $AB=|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{a}|$; $BC=|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{a}|$

AC = AB + BC = $|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{a}|=2.|\overrightarrow{a}|$

Có: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

Do đó: $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{AC}|\text{= A}C=2.|\overrightarrow{a}|$.

Vậy vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}$ có độ dài là $2.|\overrightarrow{a}|$ và có cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ (theo hướng đi từ trái qua phải).

+) Ta có: $DE=|\overrightarrow{DE}|=|-\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{a}|$; $EF=|\overrightarrow{EF}|=|-\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{a}|$

DF = DE + EF = $|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{a}|=2.|\overrightarrow{a}|$

Có: $(-\overrightarrow{a})+(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{DF}$

Do đó: $|(-\overrightarrow{a})+(-\overrightarrow{a})|=|\overrightarrow{DF}|=DF=2.|\overrightarrow{a}|$.

Vậy vectơ $(-\overrightarrow{a})+(-\overrightarrow{a})$ có độ dài là $2.|\overrightarrow{a}|$ và ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$.

a) Ta có: $\overrightarrow{MN}=3\overrightarrow{a}$ nên vectơ $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ và có độ dài bằng $3.|\overrightarrow{a}|$.

Qua M ta vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ $\overrightarrow{a}$ và lấy điểm N trên đường thẳng đó cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{a}$ thỏa mãn MN = $3.|\overrightarrow{a}|$.

Lại có: $\overrightarrow{MP}=-3\overrightarrow{b}$ nên vectơ $\overrightarrow{MP}$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{b}$ và có độ dài bằng $|-3|.|\overrightarrow{b}|=3.|\overrightarrow{b}|$.

Qua M ta vẽ đường thẳng song song với giá của vectơ $\overrightarrow{b}$ và lấy điểm P trên đường thẳng đó ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{b}$ thỏa mãn $MP=3.|\overrightarrow{b}|$.

b) Mỗi ô vuông có cạnh bằng 1 nên đường chéo của mỗi ô vuông có độ dài là $\sqrt{2}$.

Ta có vectơ $\overrightarrow{a}$ có độ dài là $|\overrightarrow{a}|=2$, vectơ $\overrightarrow{b}$ có độ dài là $|\overrightarrow{b}|=\sqrt{2}$.

Ta có: $|3\overrightarrow{b}|=3.|\overrightarrow{b}|=3.\sqrt{2}=3\sqrt{2}$; $|-3\overrightarrow{b}|=|-3|.|\overrightarrow{b}|=3\sqrt{2}$.

Lại có: $2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=2(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})$ (1).

Ta kí hiệu như hình vẽ dưới với $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BA},\ \overrightarrow{a}=\overrightarrow{AC}$.

Ta có: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra: $2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{BC}$.

Nên $|2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=|2\overrightarrow{BC}|=2|\overrightarrow{BC}|=2BC$.

Ta có: $\widehat{BAC}=45^{\circ}+90^{\circ}=135^{\circ}$

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ABC ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ – 2 . AB . AC . cosA

= ${(\sqrt{2})}^{2}$ + 2$^{2}$ – 2 . $\sqrt{2}$ . 2 . cos135° = 10

Suy ra BC = $\sqrt{10}$.

Vậy $|2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|=|2\overrightarrow{BC}|=2|\overrightarrow{BC}|=2BC=2\sqrt{10}$.

+) Giả sử tam giác ABC có trọng tâm G, ta cần chứng minh $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

Với điểm M bất kì ta có: $\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}$, $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}$, $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}$.

Khi đó:

$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC})$

$=3\overrightarrow{MG}+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})$ $=3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{0}=3\overrightarrow{MG}$.

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

+) Giả sử tam giác ABC có 2 điểm M, G thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$, ta cần chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-3\overrightarrow{MG}=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow (\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MG})+(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MG})+(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MG})=\overrightarrow{0}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

Vậy G là trọng tâm của tam giác ABC.

Tàu A đi theo hướng từ đông sau tây, tàu B đi theo hướng từ tây sang đông nên hai tàu đi ngược hướng nhau. Do đó vectơ vận tốc của tàu A là $\overrightarrow{a}$ và vectơ vận tốc của tàu B là $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ ngược hướng.

Ta có: $|\overrightarrow{a}|=20$ hải lí/giờ, $|\overrightarrow{b}|=50$ hải lí/giờ.

Suy ra: $\frac{|\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}=\frac{50}{20}=\frac{5}{2}\Rightarrow |\overrightarrow{b}|=\frac{5}{2}|\overrightarrow{a}|$.

Vì hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng và $|\overrightarrow{b}|=\frac{5}{2}|\overrightarrow{a}|$.

Do vậy $\overrightarrow{b}=-\frac{5}{2}\overrightarrow{a}$.

Vì $|\overrightarrow{a}|\ge 0,\ |\overrightarrow{b}|>0$ (độ dài của vectơ và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$).

Nên $\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}\ge 0$.

Mà $\overrightarrow{c}=\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}.\overrightarrow{b}$ nên vectơ $\overrightarrow{c}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{b}$.

Do đó vectơ $\overrightarrow{c}$ cùng phương với $\overrightarrow{b}$, mà vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$.

Nên hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ cùng phương.

Ta lại có: $|\overrightarrow{c}|=|\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}.\overrightarrow{b}|=\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{b}|}.|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|$.

Vậy hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{c}$ cùng độ dài và cùng phương.